【结构力学矩阵位移法】[位移法例题]矩阵位移法例题

范文一：9矩阵位移法习题

第9章矩阵位移法习题解答

习题9.1 是非判断题

（1）矩阵位移法既可计算超静定结构，又可以计算静定结构。（ T ）（2）矩阵位移法基本未知量的数目与位移法基本未知量的数目总是相等的。（ T ）F （3）单元刚度矩阵都具有对称性和奇异性。（ F ）

（4）在矩阵位移法中，整体分析的实质是建立各结点的平衡方程。（ T ）（5）结构刚度矩阵与单元的编号方式有关。（ F ）

（6）原荷载与对应的等效结点荷载使结构产生相同的内力和变形。（ F ）【解】（1）正确。

（2）错误。位移法中某些不独立的杆端位移不计入基本未知量。（3）错误。不计结点线位移的连续梁单元的单刚不具奇异性。（4）正确。

（5）错误。结点位移分量统一编码会影响结构刚度矩阵，但单元或结点编码则不会。（6）错误。二者只产生相同的结点位移。习题9.2 填空题

（1）矩阵位移法分析包含三个基本环节，其一是结构的________，其二是________分析，其三是________分析。

（2）已知某单元○e的定位向量为[3 5 6 7 8 9]T，则单元刚度系数k35应叠加到结构刚度

矩阵的元素____中去。

（3）将非结点荷载转换为等效结点荷载，等效的原则是________________。

（4）矩阵位移法中，在求解结点位移之前，主要工作是形成________________矩阵和________________列阵。

（5）用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为Δ2?[u2v2?2]T=[0.8 0.3 0.5]T，单元①的始、末端结点码为3、2，单元定位向量为λ(1)?[000345]T，设单元与x轴之间的夹角为??

，则2

(1)?________________。

（6）用矩阵位移法求得平面刚架某单元在单元坐标系中的杆端力为

e?[7.5?48?70.9?7.548?121.09]T，则该单元的轴力FN=______kN。

【解】（1）离散化，单元，整体；（2）k68；

（3）结点位移相等；

（4）结构刚度，综合结点荷载；（5）[0 0 0 0.3 -0.8 0.5]T；（6）-7.5。

(1)

习题9.3 根据单元刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.3图所示刚架的(1)中元素11、

(1)(1)(1)(1)(1)

23、35的值以及K(1)中元素k11、k23、k35的值。

习题9.3图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.3图所示。因此，各刚度系数的值为

(1)(1)(1)

11?EA/l，23?6EI/l2，35??6EI/l2；

(1)(1)(1)k11?12EI/l3，k23?0，k35?0。

(1)

(a)11的物理意义

(b)23的物理意义

(1)

(d)k11的物理意义

(1)

(e)k23的物理意义

(1)

(f)k35的物理意义

(1)

习题解9.3图

习题9.4 根据结构刚度矩阵元素的物理意义，直接求出习题9.4图所示刚架结构刚度矩阵中的元素k11、k21、k32的值。各杆E、A、I相同。

习题9.4图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.4图所示。因此，各刚度系数的值为

k11?

12EIEA3EI

k?0，，。 ?k?213232

l2l4l

(a)k11和k21的物理意义

(b)k32的物理意义

习题解9.4图

(2)(1)

习题9.5 用简图表示习题9.5图所示刚架的单元刚度矩阵(1)中元素23，K(2)中元素k44的物

理意义。

习题9.5图

【解】各刚度系数的物理意义如习题解9.5图所示。

(a)23的物理意义

(1)

(2)

(b)k44的物理意义

习题解9.5图

习题9.6 习题9.6图所示刚架各单元杆长为l，EA、EI为常数。根据单元刚度矩阵元素的物理意义，写出单元刚度矩阵K(1)、K(2)的第3列和第5列元素。

习题9.6图

【解】各列刚度系数的物理意义如习题解9.6图所示。因而

6EI?

K中第3列元素：?0

l2?

(1)

4EI

l6EI0?2

2EI?

l??6EI??2? l?

12EI?

K(1)中第5列元素：?0?3

6EI

l12EI0

(2)

?6EI

中第3列元素：?2

4EIl6EI?2

2EI?

l??

(2)

EA?

00中第5列元素：?0?l?

EA?

(1)

(b)K

(a)K

(1)

第3列元素的物理意义

第5列元素的物理意义

(c)K

(2)

(d)K

(2)

第3列元素的物理意义第5列元素的物理意义

习题解9.6图

习题9.7 用先处理法，对习题9.7图所示结构进行单元编号、结点编号和结点位移分量编码，并写出各单元的定位向量。

习题9.7图

【解】离散化结果如习题解9.7图所示。因而，各单元定位向量为

λ(1)??100234?，λ(3)??567009? λ(2)??234567?，λ(4)??568000?。

习题解9.7图

本题可有多种离散化方法，因此上述答案不是唯一的正确答案。习题9.8 用先处理法形成习题9.8图所示结构的综合结点荷载列阵。

习题9.8图

【解】离散化如习题解9.8图所示。

习题解9.8图

非结点荷载引起的单元固端力为

P(2)??0?12?80?128?，P(3)??0?9?4.50?94.5?

各单元的等效结点荷载列阵为

?(2)?3

(2)

45678

??TT

(2)P

??(2)P

??0128012?8?

?(3)?67

PE(3)??TTP(3)??P(3)??094.509?4.5?

集成为结构的等效结点荷载列阵

PE??000128021?3.59?

直接结点荷载列阵为

PJ??0?50400000?

综合结点荷载列阵为

P?PJ?PE??0?50168021?3.59?

习题9.9 用先处理法求习题9.9图所示连续梁的结构刚度矩阵和结构的综合结点荷载列阵。已知：EI=2.4?104kN?m2。

习题9.9图

【解】离散化如习题解9.9图所示。本题无需坐标转换。

习题解9.9图

先求结构刚度矩阵。各单元的单刚为

?11/2?1?2/31/3?2?4/52/5?3 (2)(3)

K(1)?EI?K?EIK?EI??1/32/3?3?2/54/5?4

?1/21?2，??，??

集成即可得到结构刚度矩阵

00??2.41.20.0?11/2

???5/31/304.00.84??10?K?EI?

?对?对22/152/5?3.52???

称4/5?称?????

0.0?

?0.0? 0.96?

?1.92??

再求综合结点荷载列阵。非结点荷载作用单元的等效结点荷载列阵为

(2)

(3)E

??10.67?10.67?，P??12.5?12.5?

集成为结构的等效结点荷载列阵

PE??010.671.8312.5?

综合结点荷载列阵为

P?PJ?PE??5000??PE??510.671.8312.5?

习题9.10 用先处理法求习题9.10图所示结构刚度矩阵。忽略杆件的轴向变形。各杆EI=5?105kN?m2。

习题9.10图

【解】离散化如习题解9.10图所示。因为不计各杆轴向变形，所以本题只涉及转角位移未知量，无需坐标转换。

各单元的单刚为

?4/52/5?1?4/52/5?2?11/2?2?11/2?3 (2)(3)(4)

K(1)?EI?K?EIK?EIK?EI??2/54/5?3?1/21?0?1/21?0

?2/54/5?2，??，??，??

集成即可得到结构刚度矩阵

0??4/52/5?420???

5?K?EI??2/513/52/5??10?2132?

??2/59/5??0??029??

习题解9.10图

习题9.11 用先处理法建立习题9.11图所示结构的矩阵位移法方程。已知：各杆EA=4?105kN，EI=5?104kN?m2。

习题9.11图

【解】1）离散化如习题解9.11(a)图所示。

(a) 离散化

习题解9.11图

(b) 附加约束上的反力

2）计算结构刚度矩阵各单元单刚分别为：单元①

10 234

00?13.3300??13.33

?02.2223.3330?2.2223.333????03.3336.6670?3.3333.333??104??

?13.330013.3300???0?2.222?3.33302.222?3.333???

03.3333.3330?3.3336.667????

K(1)?(1)

单元②

234506

234 506

K(2)?(2)

00?10.0000??10.00

?0?0.93751.8750?0.93751.875????01.8755.0000?1.8752.500?104??

0010.0000???10.00

?0?0.9375?1.87500.9375?1.875???

1.8752.5000?1.8755.000??0??

单元③

34 000

0?1.875?0.93750?1.875??0.9375

?0?10.0000?10.000?????1.87505.0001.87502.500

?TT(3)T?104??

?0.937501.8750.937501.875???0?10.000010.000???

02.5001.87505.000???1.875??

K(3)

集成为总刚

0?2.2223.33300??2.222

?024.270?1.875?10.000?????2.222013.16?1.45801.875? K?104??

3.333?1.875?1.45816.6702.500???0?10.000010.000???

001.8752.50005.000????

2）计算综合结点荷载列阵

除可以按照习题9.8的方法计算外，还可以直接根据其物理意义形成综合结点荷载列阵。具体做法如下：

将原结构上各结点位移未知量利用附加约束限制住后，施以原结构所受荷载。这一过程可理解成在矩阵位移法（先处理法）的基本结构上，作用外荷载，形成如习题解9.11(b)图所示的矩阵位移法基本体系。由此，可得各附加约束上的反力为

FP??FP1FP2

因此，综合结点荷载列阵为

FP3FP4FP5

FP6????80?18?12012?

P??FP??8018120?12?

3）列出结构刚度方程K?=P

?2.222???410?

?????

24.27

?2.2223.33300?1.875?10.0013.16?1.4580

16.670

称10.00

0???1??8?

????00??u2????????18?1.875?2

?????? 2.500???2??12?0??u3??0?

???????125.000????3??????

对

习题9.12 用先处理法计算习题9.12图所示刚架的结构刚度矩阵。已知：EA=3.2?105kN，EI=4.8?104kN?m2。

习题9.12图

【解】离散化如习题解9.12图所示。各单元单刚分别为

习题解9.12图

单元①

234 010

00?6.40000??6.400

?00.46081.1520?0.46081.152????01.1523.8400?1.1521.920??104??

006.40000???6.400

?0?0.4608?1.15200.4608?1.152???

01.1521.9200?1.1523.84????

K(1)?(1)

单元②

34 000

0?1.800?0.90000?1.800??0.9000

?0?8.00000?8.0000????1.80004.8001.80002.400?

?TT(2)T?104??

01.8000.900001.800???0.9000

?0?8.000008.0000????1.80002.4001.80004.800????

K(2)

集成为总刚

?0.4608?4?K?10

?对???

7.300称

?0.460808.461

?1.152?

?1.800? 1.152?

?8.640??

习题9.13 用先处理法计算习题9.13图所示组合结构的刚度矩阵K。已知：梁杆单元的EA=3.2?105kN，EI=4.8?104kN?m2，链杆单元的EA=2.4?105kN。

习题9.13图

【解】离散化如习题解9.13图所示。这里利用一般单元来计算链杆单元③，令其EI为零，则该单元的杆端转角为无意义的杆端位移，可为任意值。单元③的杆端位移编码如习题解9.13图所示，其杆端转角在结点4处为“0”，表示无杆端转角；在结点2处为“3”，表示与单元①和②在该端的转角相同。

点位移分量统一编码应给为“0”，再令该单元EI为零。

习题解9.13图

各单元单刚分别为单元①和②

?(1)?0?(2)?1

23040

?(1)

?(2)?

000123

K(1)?K(2)?(1)

00?8.00000??8.000

?0?0.9001.8000?0.9001.800???01.8004.8000?1.8002.400??104??

008.00000???8.000

?0?0.900?1.80000.900?1.800???

01.8002.4000?1.8004.800????

30?

0??0??0?0??0??000 123

单元③

2.304?3.072

?2.3041.728??00

?TT(3)T?104?

??3.072?2.304??2.304?1.728?

0??0

0?3.072?2.304

0?2.304?1.72800003.0722.30402.3041.728000

K(3)

集成为总刚

?19.07

?4?K?10

?对??

2.3043.528称

009.600

??0.900? ?1.800?

?0.900?

习题9.14 若用先处理法计算习题9.14图所示结构，则在结构刚度矩阵K中零元素的个数至少有多少个？

习题9.14图

【解】离散化如习题解9.14图所示，则各单元定位向量为

习题解9.14图

?(1)?[123000]T，?(2)?[123456]T，?(3)?[8910457]T ?(4)?[457000]T，?(5)?[89100011]T

根据单元定位向量，判定各结点位移分量间的相关性。这里参考【例10.2】的方法，具体为：位移分量1~3、6均与位移分量7~11无关，得到无关分量20对；位移分量4、5、7与位移分量11无关，得到无关分量3对；合计无关分量共23对。说明K上半三角中，至少有23个元素为零，因此整个K中至少应有46个零元素。

习题9.15 试用矩阵位移法计算习题9.15图所示连续梁，并画出弯矩图。各杆EI=常数。

习题9.15图

【解】1）离散化如习题解9.15(a)图所示。连续梁无需坐标转换。

(a) 离散化

习题解9.15图

(b)M图(kN·m)

2）计算总刚各单元刚度矩阵为

011220

?11/2?0?11/2?1?11/2?2 (2)(3)

K(1)?EI?K?EIK?EI??1/21?2?1/21?0

?1/21?1，??，??

集成为总刚

?21/2?

K?EI?? 1/22??

3）计算综合结点荷载列阵

按照习题9.11中综合结点荷载列阵的解法，在2、3两结点上附加刚臂，易求得

FP??FP1

因此，综合结点荷载列阵为

FP2???8?10?

P??FP???810?

4）解结构刚度方程K?=P，得

5）求单元杆端力根据e?ee?Pe，得

??5.66.4? EI

?(1)

?11/2?1?0?0??8???10.8?

(1)?(1)(1)?P(1)?K(1)?(1)?FP(1)?EI???EI??5.6?1??8???2.4?1/21????????

?(2)

?11/2?1??5.6?1?0???2.4? (2)?K(2)?(2)?FP(2)?EI???EI?6.4?2??0???3.6?1/21????????

?(3)

?11/2?1?6.4?2??10???3.6? (3)?K(3)?(3)?FP(3)?EI???EI?0?0??10???13.2?1/21????????

6）绘弯矩图，如习题解9.15(b)图所示。

习题9.16 用先处理法计算习题9.16图所示刚架的内力，并绘内力图。已知：各杆E=3?107kN/m2，A?0.16m2，I?0.002m4。

习题9.16图

【解】1）离散化如习题解9.16(a)图所示。

(a) 离散化

(b)M图(kN·m)

(c)FQ图(kN)(d)FN图(kN)

习题解9.16图

2）计算总刚

单元①无需坐标转换，其单元刚度矩阵为

?120

?0??0?104?

??120?0???0

1.1252.250?1.1252.25

002.2560?2.253

1?1200012000

20?1.125?2.2501.125?2.25

30?2.25??3?

?0??2.25?

?6??

00 123

K(1)?(1)

单元②的坐标转换矩阵为

???????????

0.80.60000

?0.60.80000

001000

0000.80.60

000?0.60.80

000001???? ??????

T(2)

则其刚度矩阵为

0.864?0?61.65?45.80.864?61.6545.8

??45.834.931.15245.8?34.931.152???0?0.8641.1524.8?0.864?1.1522.4?0 T(2)4

?TT?10??

??61.6545.8?0.86461.65?45.8?0.864?1?45.8?34.93?1.152?45.834.93?1.152?2??0.8641.1522.4?0.864?1.1524.8????3

K(2)

集成为总刚

?45.8?0.864??181.6

? K?104???45.836.05?3.402?

???0.864?3.40210.8??

3）计算综合结点荷载列阵各单元的等效结点荷载列阵为

?(1)?0

(1)

00123

??(1)P

??01610.67016?10.67?

集成得结构的等效结点荷载列阵

PE??016?10.67?

综合结点荷载列阵为

P?PE?PJ?PE??050???021?10.67?

4）解结构刚度方程K?=P，得

??10?5?1.85137.4810?7.3719?

5）求单元杆端力

根据e?Te(Ke?e)?Pe，得

?120?0??0(1)(1)(1)4

?K??FP?10?

??120?0??0?

1.1252.250?1.1252.25

02.2560?2.253

?1200012000

0?1.125?2.2501.125?2.25

0?2.25??3?

?0??2.25?

(1)

?0???22.22?

?0?0??16???18.50????????????00?10.67?14.56??10?5????????

1.85131022.22???????7.4810?2??16???13.50????????7.3719310.674.56????????????

(2)

????

?T(2)(K(2)?(2))??

?????

0.80.60000?0.60.800000010000000.80.60000?0.60.80000001

??????????

?0.864??61.65?45.80.864?61.6545.8???45.834.931.152??0?0?45.8?34.931.152????????0.8641.152?0?0?4.8?0.864?1.1522.4??5

??104??10????

?61.6545.8?0.86461.65?45.8?0.8641.8513?????1???45.8?34.93?1.152?45.834.93?1.152??7.4810?2?????????0.8641.1522.4?0.864?1.1524.8?7.3719????????3????28.87

?1.47

?2.79

?28.87

1.47

?4.56?

6）绘内力图，如习题解9.16(b)~(d)图所示。

习题9.17 用矩阵位移法计算习题9.17图所示平面桁架的内力。已知：E=3?107kN/m2，各杆A?0.1m2。

习题9.17图

【解】1）离散化如习题解9.17(a)图所示。

(b)FN图(kN)

习题解9.17图

2）计算总刚

单元①和②无需坐标转换，其结构坐标系中的单刚分别为

?7.5?5?0?10

??7.5???0

000

1?7.507.50

20?0??0??0??

，K(2)?(2)12

?7.5?5?0?10

??7.5???0

000

3?7.507.50

40?0??0??0??

(1)

?(1)

单元③的??

rad，结构坐标系中的单刚为 2

?0?

T(3)6?0?TT?10

?0??0?

201

0?1

30000

40??1??0??1??

(3)

单元④的??0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

00 34

2.88?3.84?2.88??3.84

?2.882.16?2.88?2.16?

??TT(4)T?105?

??3.84?2.883.842.88??????2.88?2.162.882.16??

(4)

单元⑤的???0.6435rad，结构坐标系中的单刚为

?3.84?2.88?3.842.88??2.162.88?2.16?T(5)5??2.88??TT?10

??3.842.883.84?2.88????2.88?2.16?2.882.16???

(5)

集成总刚为

00??11.34?2.88?12.160?10?5??2.88? K?10

?0011.342.88???

?102.8812.16??0??

3）计算综合结点荷载列阵

P?PJ??80020?

4）解结构刚度方程K?=P，得

??10?5?2.55747.2919?2.06498.1304?

5）求单元杆端力

根据e?Te(Ke?e)，可求得各单元的杆端轴力。这里以单元⑤为例，其杆端轴力为

?0.8

(5)?T(5)(K(5)?(5))??

??3.84?2.88??2.165??2.88??10???3.842.88????2.88?2.16??

?0.6

00.8

0??0.6??

?3.842.88??0

? ????2.88?2.16?0?0??13.98?

?10?5????2.5574?1??3.84?2.88???13.98?????

?2.882.16?7.2919???2????

6）各杆轴力如习题解9.17(b)图所示。

范文二：矩阵位移法讲解例题

例题一、节点位移编码

（1，0，2）

（1，3，4）

（1，3，5）

（1，0，6）

（0，0，0）

例题二、

KN/M

KN?M

（0）

1、节点位移编码如图

2、单位定位向量：

单元（1）

=?①

（1）

（2）

?0??1??1??2?

2EI?

L?=?EI

?0.5EI4EI???

2EI?

L?=?EI

?0.5EI4EI???

单元（1）λ=?②

?4EI?①①

单元（1）总体坐标系单刚：[k]=k=?L

2EI??L

]

0.5EI?EI??

?4EI

?②②

单元（2）总体坐标系单刚：[k]=k=?L

2EI??L

]

0.5EI?EI??

∴总刚：[k]=?

?EI+EI?0.5EI0.5EI?EI??

?2EI

?0.5EI0.5EI?EI??

?1?

?×5×4????2.5?①①

3、[Fg]=Fg=?=??2.5???×5×4?

?8?

]

[Pc]

①

=-[Fg]=?

②

?2.5?

??2.5?

?1??×3×4×4????4?②②

[Fg]==?=??

?×3×4×4??4??12?

]

[Pc]

②

=-[Fg]=?

②

?4?

???4?

[Pj]={6}

∴整体荷载向量

?2.5+4?{p}=????4+6?

?1.5?

??2?

4、已知

θ2=

②

0.03

rad，EI

f②=k?]2

0.015

rad，求单元②的内力。EI

?0.03?

EI0.5EI??EI???4?②②?+Fg=???0.015?+?4?0.5EIEI??????

?EI?

θ2=

??3.

9625?

?4.03?

范文三：矩阵位移法习题

矩阵位移法

一、选择题：（将选中答案的字母填入括弧内）

1、图示连续梁结构，在用结构矩阵分析时将杆AB划成AD和DB两单元进行计算是：（） A．最好的方法； B．较好的方法； C．可行的方法； D．不可行的方法。

2、图示结点所受外载，若结点位移列阵是按转角顺时针、水平位移（→）、垂直位移（↑）顺序排列，则2结点荷载列阵?P2?应写成：（） A．?6105?； B．??6?10?5?；

C．?6?510?； D．?6

10?5?。

3、图示结构，用矩阵位移法计算时(计轴向变形)，未知量数目为：（） A．7； B．8； C．9； D．4。

4、图示结构，用矩阵位移法计算时(计轴向变形)，未知量数目为：（） A．9；

B．5； C．10； D．6。

5、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义为：（） A．变形连续条件； B．变形连续条件和位移边界条件； C．位移边界条件； D．平衡条件。

6、设有一单跨两层支座为固定的对称刚架，承受反对称荷载作用，若考虑杆件的轴向变形与弯曲变形，取半刚架计算时，其先处理法所得结构刚度矩阵的阶数为：（） A．8×8； B．9×9；

C．10×10； D．12×12。

7、单元ij在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：（）

A．完全相同； B．第2、3、5、6行(列)等值异号； C．第2、5行(列)等值异号； D．第3、6行(列)等值异号。

二、填充题：（将答案写在空格内）

1、根据互等定理可以证明结构刚度矩阵是矩阵。

2、图示结构中，已求得结点2的位移列阵?2??u2 v2 ?2???a b c?，则单元②的杆端2在局

② T

部坐标下的位移列阵：?2????2

②

22??

?? ?。

3、图示桁架结构刚度矩阵有个元素，其数值等于。

C EA

4、结构刚度方程中的荷载列阵是由叠加而得。

5、用先处理法中，若只考虑弯曲变形则图示刚架的结构刚度矩阵?K?中第1行元素为：。

三、计算题：

1、图示结构，不计轴向变形。求其结构刚度矩阵?K?。

2、试求图示结构在所示位移编码情况下的综合结点荷载列阵?P?。

3、已知图示结构结点位移列阵为：{? }＝[0，0，0，0，0，0，0.1066， 0.4584， 0.1390，0.0522，

0.5416，

0.0343，0， 0.15416，﹣0.1162]。试求杆34的杆端力列阵中的第6个元素。

1kN/m

、已知图示梁结点转角列阵为??????0ql

/56i?5ql/168i??，EI?常数。试求B支座的反力。

5、已知图示结构结点位移列阵为???????7qli5ql386i??。试求杆34的杆端力列阵的第5个元素。(不计轴向变形)

6、用先处理法求图示刚架的结构刚度矩阵?K?，只考虑弯曲变形。

EI=

范文四：矩阵位移法习题

第十章矩阵位移法

一、判断题：

1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。 2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T是正交矩阵。 4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、结构刚度方程矩阵形式为：?K??????P?，它是整个结构所应满足的变形条件。 6、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

7、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

8、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

9、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。

10、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

11、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：

2(0,1,2)

1(0,0,0)

41(0,0,0)B.

2(1,2,0)

43(0,0,3)

2(1,0,2)

1(0,0,0)

4(0,0,0)3(1,0,3)

1(0,0,0)

2(0,1,2)

(0,0,0)3(0,3,4)

( )3(0,1,3)

二、计算题：

12、用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素K22,K33,K13。

1(0,0,0)

(0,0,1)

2EI

5(0,0,0)

3(0,2,3)

(0,2,4)EI

(0,0,0)

13、用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素K22,K34,K15。EI，EA 均为常数。

,0)

14、计算图示结构整体刚度矩阵的元素K44,K55,K66。E 为常数。

A , I2A

2A, 2I2A A4

15、写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵?K22?,?K24?。

单刚分块形式为：

?k?

?k11??k12??k21? ?k22?

16、已知平面桁架单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵，计算图示桁架结构原始刚度矩阵?K?中的元素K77,K78,EA＝常数。C?cos?, S?sin?, A?C?C,

B?C?S,D?S?S，各杆EA相同。

A ?B ?A B

?k?

B ?DEA D

对A ?Bli

称 D

17、计算图示刚架结构刚度矩阵中的元素K11

,K88（只考虑弯曲变形）。设各层高度为h，各跨长度为l,h?0.5l，各杆EI 为常数。

18、计算图示结构原始刚度矩阵的元素K44,K45。

19、用先处理法写出图示梁的整体刚度矩阵?K?。

i11

i22

i33

20、用先处理法写出图示梁的结构刚度矩阵?K?。

EI2

EI3

3EI4

21、已知图示结构在整体坐标系中的单元刚度矩阵。用先处理法集成结构刚度矩阵（用子块形式写出）。 ?K?。

单刚分块形式为：

?k?

?k11??k12??k21??k22?

22、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵?K?。E?常数。

)

23、用先处理法写出图示刚架的结构刚度矩阵?K?，只考虑弯曲变形。

EI=oo

EIEIEI

24、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵?K?。各杆长度为l，EA、EI为常数。

25、用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵?K?。各杆长度为 l 。

EAD2EI

26、用先处理法写出以子块表示的图示结构的结构刚度矩阵?K?。

27、用先处理法写出图示桁架的结构刚度矩阵?K?。已知各杆EA =常数。

?1?EA?0?

l??1??0

0?10?000??010?

000?

，

????

①

②

整体坐标系中的单元刚度矩阵：

?k?③?

?1?1?11???2EA??111?1?4l??111?1?

??1?1?11??

28、用先处理法写出图示刚架结构刚度矩阵?K?。已知：

00?30000??300

?0?12300?1230????0301000?3050

?104???

?3000030000???0?12?30012?30???030500?30100????

??????

①

②

③

29、计算图示结构结点3的等效结点荷载列阵?P3E?。

3kN/m

30、计算图示结构结点

2的等效结点荷载列阵?P2E?。

31、计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵?P2E?。

32、计算图示结构的综合结点荷载列阵?P?。

33、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵?P?。

34、计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵?P?。

35、用先处理法计算图示连续梁的结点荷载列阵?P?。

36、计算图示结构的综合结点荷载列阵元素P1,P3,P4。

37、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵?P?。

/2/2

38、计算图示结构结点荷载列阵中的元素P4,P5,P6。

(0,7)

,5,6)

,0)

39、计算图示结构综合结点荷载列阵中的元素P1,P3,P4。

ll0,0)

40、计算图示结构综合结点荷载列阵?P?中的元素P3,P7,P8,P9。

41、计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵?P?。

42、计算图示刚架对应自由结点位移的综合结点荷载列阵?P?。各杆长度为 4m 。

43、计算图示结构结点2的综合结点荷载列阵?P2?。

44、计算图示刚架考虑弯曲、轴向变形时的综合结点荷载列阵?P?。

45、若考虑弯曲、轴向变形，用先处理法写出图示结构综合结点荷载列阵?P?。

46、考虑弯曲、轴向变形，计算图示结构综合结点荷载列阵?P?。

47、考虑弯曲、轴向变形时，用先处理法计算图示结构综合结点荷载列阵?P?。

68m

48、用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵?P?。

/2/2

49、用先处理法计算图示桁架的综合结点荷载列阵?P?。

50、计算图示结构的自由结点荷载列阵?P?。

10kN

、计算图示结构中杆12的杆端力列阵中的第6个元素。已知杆12的杆端位移列阵为??12???0 0 ?0.3257 ?0.0305 ?0.1616 ?0.1667?。

EA=1kN

.2EI=1kN m

52、计算杆14的轴力。已知图示桁架EA?1kN,结点位移列阵为：. 1.6408 0 1.2084 ?04007.?????0 0 2.5677 0.0415 1.0415 1.3673 1.6092 ?17265?T。

53、计算杆23的杆端力列阵的第2个元素。已知图示结构结点位移列阵为：

?????0 0 0 -0.1569 -0.2338 0.4232 0 0 0?T。

.1kN m

54、计算图示结构中杆34的杆端力列阵中的第3个元素和第6个元素。不计杆件

的轴向变形。已知图示结构结点位移列阵为：

?????

0 0 0 ?0.2 0 0.1333 ?0.2 0.2 0.3333 0 0.3667 0 ?0.7556 0.2 0.6667?T。

55、已知图示桁架的结点位移列阵（分别为结点2、4沿x、y方向位移）为：

????(1/(EA))×?342.322 ?1139.555 ?137.680 ?1167.111?T，设各杆EA为常数。

计算单元①的内力。

20kN

56、已知图示桁架杆件①的单元刚度矩阵为式

(a)，又已知各结点位移为式(b)，则杆件①的轴力（注明拉力或压力）应为N

①

? 。

?u1??5?

?v???1??1????u2??0?

?10?????

v2????0?00???Pl??

?(a) ????????(b)10?EA?u??2??3

????00?

?v3??3??u??0??4??????v4???0??

?k?①

?EA?0?

l??1??0

0000

57、已求得图示结构结点2、3的结点位移为式(a)、(b)并已知单元②的整体坐标的单元刚度矩阵为式(c)。计算单元②2端的弯矩。（长度单位m，力单位kN，角度单位弧度）

?u2??0.2??u3???0.3?????????-5

??(a) , ?v3????159.8??10-5??(b) ?v2?=?-160??10

????-40??????10??2????3???

.015.?15.0?15.??15

?050

00?500?????15.0215.01

?5????10??(c)

.015.15.015.???15?0?5000500???.0115.02????15?

?k?②

58、计算单元①的轴力。已知图示结构结点1、3的结点位移为：

?u1 v1 u3 v3?T??5 ?1 2 3?T?Pl/EA 。

① ③ 4

②

④

.?104kN/m2, A?10?2m2, ???2?1??009524. ?025689.59、已知各杆的E?21?。计

算图示桁架单元①的杆端力列阵。

2kN

60、计算图示结构单元③的杆端力列阵F

③

，已知各杆

E?2.1?104kN/cm2, I?300cm4,A?20cm2, l?100cm，结点2位移列阵

???2??u2 v2 ?2??1?10?2??0.4730cm ?0.4596cm

?0.5313rad?。

20kN

61、考虑杆件的轴向变形，计算图示结构中单元①的杆端力F

I?(1/24)m4,

E?3?107kN/m2， A?0.5m2。结点

①

。已知：

1的位移列阵

.m ?2.7101m ?51485.rad?。 ??1??1?10?6??37002

/m5

.5m.5m

62、计算图示刚架单元①在局部坐标下的杆端力F

①

。已知各杆E、A、I、l均为

ql2T

0 0 27l ?5 27l

?19 0 0?，不考虑杆件的轴向变形。常数，???

??1000EI

63、已知图示梁结点转角列阵为????0 -ql2

/56i

5ql2/168i，EI?常数。计算B支座的反力。

范文五：矩阵位移法心得

结构力学学习心得

——矩阵位移法

结构力学是力学的分支，它主要研究工程结构受力和传力的规律以及如何进行结构优化的学科。所谓工程结构是指能够承受和传递外载荷的系统，包括杆、板、壳等以及它们的组合体，如飞机机身和机翼、桥梁、屋架和承力墙等。结构力学的任务是：研究在工程结构在外载荷作用下的应力、应变和位移等的规律；分析不同形式和不同材料的工程结构，为工程设计提供分析方法和计算公式；确定工程结构承受和传递外力的能力；研究和发展新型工程结构。

结构力学中的求解方法有很多种，比如力法、位移法、力矩分配法、矩阵位移法，在结构动力学中还有刚度法、柔度法、极限荷载法等等。在一个半学期的结构力学学习中，我对矩阵位移法犹为深刻，而且较为难理解，在结构力学书里短短的一章书，学校就安排了我们为期十周的学习，可见矩阵位移法的重要和学习的难度。

首先简单介绍一下矩阵位移法：矩阵位移法是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机作为运算工具的综合分析方法。基于该法的结构分析程序在结构设计中得到了广泛的应用。因此，以计算机进行结构分析是本章的学习的重点。

引入矩阵运算的目的是使计算过程程序化，便于计算机自动化处理。尽管矩阵位移法从手算的角度来看运算模式呆板，过程繁杂，但这些正是计算机所需要的和十分容易解决的。矩阵位移法的特点是用“机算”代替“手算”。因此，学习本章是既要了解它与位移法的共同点，更要了解它的一些新手法和新思想。

矩阵位移法包含两个基本环节：单元分析和整体分析，同时把整个结构看作是由若干单个杆件（称为单元）所组成的集合体作为基本思路。单元分析：首先把结构拆散成有限数目的杆件单元（结构的离散化），写出各单元杆端的力与位移两者的关系式。整体分析：将这些单元再集合一起，使其满足平衡条件和位移连续条件，也就是保证离散化了的杆件单元重新集合后仍恢复为原结构。

一般单元局部坐标下的单元刚度方程：

EA ?EA?00?00?l?l ??12EI6EI12EI6EI??00?3 ?l3l2ll2??? 6EI4EI6EI2EI?0?0?22 ??lllle??????EA?EA ??0000?ll?? ?12EI6EI12EI6EI?0??0??? l3l2l3l2?? 6EI2EI6EI4EI??00???l2ll2l??

一般单元坐标转换矩阵： 000??cos?sin?0??sin?cos?0? 000?? ?001000?e?T??? ?000cos?sin?0?? ?000?sin?cos?0? ??000001????

eTe整体坐标系下的单元刚度矩阵：利用公式 ? ? T ? ?? e? T ? ，可将局部坐标?e ?k

系下的单元刚度矩阵转换成整体坐标系下的单元刚度矩阵。

结构原始刚度矩阵的组装：将各单元整体坐标系下的单元刚度矩阵的四个子块按其下标，放入结构刚度矩阵中相应的位置即可组成总刚。可简单表述为：“对号入座，同号相加”。

非结点荷载的处理：根据位移等效的原则，首先对结点的位移加以阻止，得到各单元的固端力，然后取消约束即将上面得到的固端力反号后作为荷载加在结点上，就得到了等效结点荷载。

支承条件的引入：根据已知结点位移，对结构的原始刚度矩阵进行修改；通常采用划入与已知为零的结构位移对应的行和列得到修改后的结构刚度矩阵。

计算出结点位移后，在计算各单元杆端力时应将前面计算的固端力考虑进去。

通过上述分析，可将矩阵位移法的计算步骤总结如下：

(1) 对结点、单元进行编号，选定结构坐标系及局部坐标系。

(2) 建立单元在局部坐标系中的单元刚度矩阵。

(3) 建立单元在结构坐标系中的单元刚度矩阵。

(4) 形成结构原始刚度矩阵。

(5) 计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载。

(6) 引入支承条件，修改结构原始刚度方程。

(7) 解刚度方程，求结点位移。

(8) 计算各单元杆端内力。

另外，移法计算刚架时，亦可忽略轴向变形的影响。由于不计轴向变形，各结点线位移不再全部独立，因而只对其独立的结点线位移予以编号，凡结点线位移相等者编号亦相同。但当有斜杆等情况时，这样处理并不方便。忽略轴向变形另一方便的办法是采用前面讲的一般方法（即每个结点位移分量均作为独立未知量求解），但将杆件的截面面积A输为很大的数（例如比实际面积大104～106倍），就可得到满意的结果。同时我们可以用力矩分配法进行比较，如书本课后练习题10—4。与力矩分配法最大的不同是，力矩分配法是忽略了轴向变形，通过计算我们可以知道，两种不同的算法在弯矩值上，每个单元平均都有0.0057。的差值，比较上来说矩阵位移法的答案更为精确，但力矩分配法的解题步骤，解题方法和计算是十分简单的，所以它更适用与简单结构粗略计算，能快速得到我们所需要的值。但对于复杂结构，精确计算，则用矩阵位移法，同时把它与计算机程序结合计算尤为简单。

最后为了更方便的编写程序，我在这里说明支承条件这一点，矩阵位移法，是把包括支座在内的全部结点位移分量都先看作是未知量而依次编号，每一单元的所有元素都对号入座以形成总刚，然后再处理支承条件，这种方法称为后处理

法。如果先考虑支承条件，则可以将已知的结点位移分量编号均用0表示。单刚中凡与0对应的行和列的元素均不送入总刚，这样便可直接形成缩减后的总刚。这中方法就称为先处理法。先处理法更适用与手算，这样处理的话可以减少不小的计算量，但在当今计算机普及的年代后处理法使用更为广泛而且对于编写的语句更加简单，但这样形成的总刚阶数较高，占用存储量大，不过对于现在高级的计算机硬件，这已经不算是一个难题。还有，为什么我们要引入支承条件。我们可要牢记的是在计算时所形成的单元刚度方程的单元是一个自由单元，两端是没有任何的支承约束，因此杆除了由杆端力引起的轴向变形和弯曲变形外，还可以有任意的刚体移动，固所给定的力不能求得唯一的位移解，所以要增加足够的约束条件。

总之矩阵位移法是结构力学中最重要的章节之一，其原理奠定了用电脑计算结构强度和刚度的基础。随着土木工程结构的计算普遍采用电脑软件进行，结构力学课程中矩阵位移法这一章节也显得日益重要。由于计算机计算必须采用矩阵运算的方式进行，因而矩阵位移法整个推导过程和解题方式都与线性代数密不可分，而线性代数是工程数学中的较为抽象难学的一支，并且它用于解释结构力学课程中难学章节之一的位移法，故其学习的难度对于我们来说是可以想见了。但在老师的指导下通过半学期的有效学习，我们已经掌握了矩阵位移法，而且能够通过计算机计算出大部分结构体系。可是学无止境，我知道只是通过考察是远远不够，以后的日子我们还需要更加努力地深入学习，优化编写更有效率的程序，为以后的学习或工作提供更有效率的途径。

范文六：矩阵位移法习题(1)

一、求图示刚架的内力，并作弯矩图。各杆材料及截面均相同，E?200Gpa，

I?32?10?5m4,A?1?102m2。

解：

一、结构前处理

对结构进行编码，确定单元编号，单元局部坐标系的确定，节点编号，位移编码。

二、形成结构总体刚度矩阵

1、计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵单元①：

E=200*10^9; I=32*10^-5; A=1*10^-2; L=[4,5];

For i=1:2

F1=E*A/L(i); F2=12*E*I/L(i)^3;

F3=6*E*I/L(i)^2;

F4=4*E*I/L(i); F5=2*E*I/L(i);

K1=[F1,0,0,-F1,0,0;

-F1,0,0,F1,0,0;

0,F3,F5,0,-F3,F4]; end

①

单元②：

For i=1:2 F1=E*A/L(i); F2=12*E*I/L(i)^3; F3=6*E*I/L(i)^2; F4=4*E*I/L(i); F5=2*E*I/L(i); K1=[F1,0,0,-F1,0,0; 0,F2,F3,0,-F2,F3; 0,F3,F4,0,-F3,F5; -F1,0,0,F1,0,0; 0,-F2,-F3,0,F2,-F3;

0,F3,F5,0,-F3,F4];

End

②

2、将局部坐标系下单元刚度转换为整体坐标系下刚度矩阵

单元①：??0o，局部坐标系与整体坐标系相重合，因此k①=①。单元②：??arctan(4/3)，整体坐标系下单元刚度矩阵为k②=TT②T

??arctan(4/3)，sin??

?0.8，cos???0.6 55

c=3/5; s=4/5;

T=[c,s,0,0,0,0; -s,c,0,0,0,0; 0,0,1,0,0,0; 0,0,0,c,s,0; 0,0,0,-s,c,0; 0,0,0,0,0,1]; gk2=transpose(T)*k2*T;

000??0.60.80

??0.80.60000????001000?T???

0000.60.80???000?0.80.60???

00001???0?

②

3、确定各个单元的定位向量

?①=[1,2,3,0,4,0]T; ?②=[0,0,0,1,2,3]T

4、根据定位向量及对号入座法则，由单刚集成总纲

定位向量即为整体坐标下单元刚度中元素在结构整体刚度矩阵中的位置。各个单元元素根据定位向量给出的位置送入总刚，并在相应的位置进行叠加。所有单元均将对号入座后即为形成结构整体刚度矩阵，或成为总刚。

②

结构整体刚度矩阵：

0??6.48e81.89e80.123e8

?1.89e8?2.7e80.148e8?0.12e8? k??

?0.123e80.148e81.152e8?0.24e8???

0?0.12e8?0.24e80.12e8??

二、形成结构节点荷载列向量

结构综合结点荷载列阵的维数为结构最大非零位移编码值，由直接结点荷载列阵FD和等效结点荷载列阵FE组成。

F?FD?FE

（一）直接结点荷载列阵FD

直接结点荷载列阵FD通过作用在节点上的荷载直接形成

?100?

?0???3

FD????10

??50???0??

1 2 3 4

结构等效结点荷载列阵FE个由单元的等效荷载列阵F按照对号入座的方法形成。

（二）单元等效荷载列阵FEe计算步骤

单元等效结点荷载列阵FEe由单元固端力列向量Fe（有荷载引起的杆端力列向量）形成。矩

阵位移法中，无论单元两端是何种支座情况，均按照梁端固定的梁来计算单元固端力列向量

Fe。将单元杆端力列向量Fe反号，得到局部坐标系下单元等效结点荷载向量Ee。在计算时应注意矩阵位移法中杆端力分量的正负号规定。

Ee??Fe

1、局部坐标下单元等效结点荷载列向量Ee

单元①：

?0??60?????40??3

E① ??FF①?????10

?0??60??????40??

单元②：

?0??0?????0??②F②

E ??F????

?0??0?????0??

2、整体坐标下单元等效结点荷载列向量FEe ○

通过坐标转换，将局部坐标下单元等效结点荷载列向量Ee转换为整体坐标系下单元等效结点荷载

列向量FE，并在整体坐标系下单元等效结点荷载列向量FE一侧标注单元定位向量。

FEe=TTEe

单元①： ??0o

?0?

?60?????40??①①3

FE=E?????10

?0??60??????40??

单元定位向量

1 2 3 0 4 0

单元②： ??arctan(4/3)，sin??

43，cos?? 55

单元定位向量

?0?0

?0?0 ????0??0

FE②=TTE②????

?0?1 ?0?2 ????0??3

3、形成结构等效节点荷载列向量FE

结构的等效节点荷载列向量由单元等效荷载列向量叠加而成，根据单元定位向量，采用“对号入座”方法依次将单元整体坐标下单元等效结点荷载列向量FEe中相应元素送入结构等效结点荷载列向量FE中。

FE??FEe

i?1

FE的行数为最大位移编码，本结构最大位移编码是4，因此FE为4?1的列向量。将单元①等效结点荷载列向量FE①中元素送入结构等效结点荷载列向量FE

?0??60???

FE?????103

?40???60??

将单元②等效结点荷载列向量FE②中元素送入结构等效结点荷载列向量FE

?0??0?

?60?0??60?????33

FE?????10?????10

?40?0??40????60?0???60??

（三）结构综合结点荷载列阵F

?100??0??100??0??60???60???????333

F?FD?FE????10????10????10

??50??40???90?????0???60????60??

三、求解方程组，得到结构结点位移列向量

将结构的总体刚度矩阵及综合结点荷载列向量代入刚度方程F?K?，求解得到结点位移列向量?。

?4.937?

??9.456????4?????10

??33.45????126.355??

四、计算单元最终杆端力向量

结构的内力图（弯矩图、剪力图和轴力图）根据局部坐标系下单元杆端力列向量及固端力列向量来绘制，因此需要将求解得到的结构结点位移分解到各个单元去，通过单元刚度方程，得到各个单元的杆端力列向量，由单元的杆端力列向量与固端力列向量确定结构的内力。

方法1: e

?Fe

?ee

ee坐标转换

通过单元定位向量

将结点位移转换为单元

的杆端位移整体坐标系下杆端位移列向量转换为局部坐标系下杆端位移列向量

e? 结构内力

eFee

方法2：

??Tk?

eeee

F?k? ?? ?

通过单元定位向量

由单元刚度方程

将结点位移转换为单元

的杆端位移求得整体坐标系下由杆端位移

引起的杆端力列向量

结构内力

?TF

1、从结点位移中抽取单元杆端位移

这是个与集成法则（对号入座法则）相反的逆过程，通过单元定位向量，从结构结点位移列向量中提取出单元的杆端位移列向量，提取出的位移列向量为整体坐标系下单元杆端位移列向量。

单元①：

单元定位向量

1 4.937?

??9.456?2 ???4.937?3 ??9.456??33.45???4

??① ?

?10?4???

????10?0 0????33.45???126.355?4 ???126.355????

??0 0??

单元定位向量单元②：

?0?0 ?0?

0 ???4.937?

?0???9.456?0 ???4??②?? ?10?4???????104.9371 ??

??33.45???9.456?2 ???126.355????

?3 ??33.45??

2、坐标转换

将上一步得到的整体坐标系下的杆端位移列向量转换为局部坐标系下

e?T?e

单元①： ??0o

单元②： ??arctan(4/3)

①

??①

②

?T?②

000??0??0.60.80?0?

??0.80.60??0??0?000???????0?01000???0???0???4?4

②②?10??10???????T??0 000.60.80??4.937????4.603?

?0??9.623?00?0.80.60???9.456???????

????000001?33.45?33.45????????

3、计算局部坐标系下由位移引起的杆端力列向量

?e?ee

单元①：

??k①

①

00?5e800??4.937??5e8

?0???9.456?1.2e72.4e70?1.2e72.4e7e7?????02.4e76.4e70?2.4e73.2e7????33.45???4??????10

005e800??0??5e8?

?0?1.2e7?2.4e701.2e7?2.4e7???126.355?????

??02.4e73.2e70?2.4e76.4e70???????2.468?

?0.6?????0.665??5????10 ??2.468???0.6?????1.735??单元②：

②

00?4e800?4e8??0??0??0?6.144e61.536e70?6.144e61.536e7?????01.536e75.12e70?1.536e72.56e7???0???4??????10

004e800??4e8???4.603?

?0?6.144e6?1.536e706.144e6?1.536e7???9.623?????

??01.536e72.56e70?1.536e75.12e7?33.45???????1.841?

??0.455??????0.709??5????10 ??1.841??0.455??????1.565??

4、计算单元的最终杆端力列向量

??e

单元①：

?0??2.468??246.8??60??0.6??120????????40?????0.665???106.5??353

①?F①??①?????10????10????10

?0???2.468???246.8??60???0.6??0??????????????40??1.735??133.5??

单元②：

?0??1.841??184.1??0???0.455???45.5????????0??????0.709????70.9??53

②?F②??②????????10????10

?0???1.841???184.1??0??0.455??45.5?????????????0?1.565?156.5??????五、绘制结构内力图

根据上一部求得的最终单元杆端力列向量绘制结构的内力图。

M图?kN?m? FS图?kN?

FN图?kN?

二、求图示连续梁的内力，并作弯矩图。忽略各杆件轴向变形的影响。

解：

一、结构前处理

对结构进行编码，确定单元编号，单元局部坐标系的确定，节点编号，位移编码。对于连续梁结构，不考虑杆件的轴向变形，杆件梁端不会产生相对线位移，因此进行编码时，只对结点的转角位移进行编码。图示连续梁中，结点编码为4，位移编码为3。

二、形成结构总体刚度矩阵

1、计算整体坐标系下各个单元的刚度矩阵

连续梁单元只考虑单元两端的转角，不考虑单元的轴向变形和单元两端的侧向位移，因此局部坐标系下单元的刚度矩阵为2?2的方阵。连续梁单元的局部坐标系与结构整体坐标系相一致，因此对于连续梁结构，局部坐标系下的单元刚度与整体坐标系下的单元刚度形式是一致的，不需要进行坐标转换。

?4EI

?①①

k=??6

2EI??6

2EI??2EI6???34EI??EI

??6??3

EI?

3? k②=2EI?

?3?

?8EI?②

??44EI??44EI?

4???2EI8EI??

??EI4?

EI?

?2EI?

?4EI

?③③

k=??4

2EI??42EI??

EI??4?

4EI??EI

??4??2EI?2? ?EI??

2、确定各个单元的定位向量

?①=[0,1]T; ?②=[1,2]T ; ?③=[2,3]T

3、根据定位向量及对号入座法则，由单刚集成总纲

①k=

二、形成结构节点荷载列向量

结构综合结点荷载列阵的维数为结构最大非零位移编码值，由直接结点荷载列阵FD和等效结点荷载列阵FE组成。

F?FD?FE

（一）直接结点荷载列阵FD

直接结点荷载列阵FD通过作用在节点上的荷载直接形成

?0?1

??3

FD??0??10 2

??20?3 ??

（二）单元等效荷载列阵FEe

1、整体坐标下单元等效结点荷载列向量FE ○

由于梁单元只考虑转角，不考虑轴向变形和侧向位移（与杆轴向相垂直的位移），因此在求解单元的杆端力列向量时，也只考虑与杆端转角相对应的杆端弯矩，不考虑杆端轴力和剪力。

单元①：

?75?0 ??

FE① = E① ??FF①???2??103

751 ????2?

单元②：

?80?1 ??

FE②= E② ??FF②?

??3??103

802 ????3?

单元③：

FE= E ??F

③

F③

2 ?0?3

?????10 ?0?3

3、形成结构等效节点荷载列向量FE

根据单元定位向量，采用“对号入座”方法依次将单元整体坐标下单元等效结点荷载列向量FE ○ 中相应元素送入结构等效结点荷载列向量FE中。

FE??FE

i?1

i ○

?7580?

??2?3??80???3

FE??????10

3??

0??????

（三）结构综合结点荷载列阵F

?7580??65?

???2?6?3??0???80??????80??333

F?FD?FE??0??10????10?????10

3???20???3?0??????20?????????

三、求解方程组，得到结构结点位移列向量

求解结构刚度方程F?K?，得到结点位移列向量?。

??1.086?1??4

???1.373??10

EI????2.686?

四、计算单元最终杆端力向量

e?F?ee?F?eT?e

eFee

或 ??Tk?

1、从结点位移中抽取单元杆端位移单元①：

??1.086?1??①4

???1.373??10 ?=EI????2.686?

①

1?EI

0 ?0?4

???10 ?1.0861 ??

单元②：

??1.086?

1??②4

???1.373??10 ?=EI????2.686?

②

1??1.086?1 4????10 EI?1.373?2

单元③：

??1.086?1??③4

??1.373???10 ?=EI????2.686?

③

1?EI

2 ?1.373?4

???10 ?2.6863 ??

2、计算单元的最终杆端力列向量

e?F?ee

单元①：

?2EI

①①①①????FF=?3

EI??3

EI?3?12EI?EI

?3?

?75??2??0??37.138?43

?10??10????75???kN?m

??1.086??-38.224????

?2?

单元②：

?2EI

?FF②=?

?EI

?80?

EI?1??1.086??3??38.223?43

?10??10????80???kN?m ?2EI?EI?1.373??-0.296????

?3?EI?2?1?EI?EI?

??②②②

单元③：

?EI

③③③F③???k?F=?

EI??2

?1.373??0??0.296?4

?10????????kN?m

??2.686??0?? -20.0?

五、绘制结构内力图

根据上一部计算结果绘制结构的内力图

M图?kN?m?

三、求图示平面桁架内力。各杆EA均相同。

解：

一、结构前处理

平面桁架结构中，每个结点有两个独立的线位移分量，即沿着x方向的线位移u和沿着y方向的线位移?，结点的角位移不作为基本未知量，因此每个结点的位移编码有两个。考虑支座约束后结构的单元编码、结点编码及位移编码如下图所示。

二、形成结构总体刚度矩阵

平面桁架结构中的每个杆件，其两端仅有轴力作用，剪力和弯矩均为零，因此平面桁架单元的刚度矩阵中仅体现与轴向变形有关的元素，其局部坐标系下单元刚度方程为

ie je

EA?e ?EA?Ni

?lel k??

EAEA?e???Nj

l??l

对于局部坐标系与结构总体坐标系存在夹角的杆件，需要对其局部坐标系下的单元刚度进行坐标转换。不考虑杆件的角位移时，转换矩阵T为4?4阶的方阵，为了便于坐标转换，可以通过添加零元素的行和列，将上述桁架单元的刚度矩阵扩充为4?4阶的矩阵。

ie ie je je

? e

Nie Si

eNj eSj

相应地，单元坐标转换矩阵中去掉与转角、弯矩相对应的行和列（第3行、第3列、第6行、第6列），则与平面桁架单元对应的坐标转换矩阵为

?cos?

??sin?T??0??0

1、局部坐标系下各个单元的刚度矩阵

单元①、②、④，杆件长度相同，均为4m，EA均相同，其局部坐标系下单元刚度矩阵相同

?EA?4?0①②④

==??EA

???4?0?

0?000

40EA40

??10??40??EA?0??10?????40???0?

0?000

40140

?0?0? ?0??0??

sin?

cos?0000cos??sin?

0?0?? sin??

?cos??

单元③、⑤、⑥、⑦杆件长度相同，均为2m，EA均相同，因此其局部坐标系下单元刚度矩阵相同

?EA?22?③⑤⑥⑦

===??0

??EA?22??0

0?000

220EA

220

??10??22??0??EA?0

??10???22

?0???0

0?000

1201

220

?0??0? 0??0??

2、整体坐标系下各个单元的刚度矩阵

单元①、②、④，局部坐标系与整体坐标系方向相同，其整体坐标系下单元刚度矩阵具有相同的形式

单元①、②、④，??0o

??1

40?0??k①=k②=k④

=EA??00040? ?1

??010???4?0

0???

单元⑤、⑦，??45o

k⑤

=TTk⑤

?0?1?cos45?sin4500???1

??sin45cos4500??EA?2020202??00cos45?sin45??01

?00sin45cos45?????1?

2220

2?0

??22-22??-?

?22-22???EA??

88-??222?

?-?-2?

??222?

-8

-28

88?

???

22-2

2??8

888?22?k⑦=TTk⑦

T=-2EA??-2?-2-222? ?????

2??-28

-22888??

??cos450?????sin450??0

??0??

?0sin450cos4500cos450?sin450?0?sin45?

?cos45??

单元③、⑥，??135o

k=TTkT=

00???cos135?sin135

?sin135cos135??200?EA?0???00cos135?sin135???1??

0sin135cos135??2?0??0

0?000

0??cos135sin13500???00?0???sin135cos135?

0cos135sin135?0??0

???00?sin135cos135??0??

③

01220

????- ?EA??

?-????

22?-?

?22?

-88 22?

22?-?

88??222

--?

?22?-2

⑥⑥

888k?TTkT=EA??222?-88??222

--?

88?8

28228

2-2822-8

2???2?-8? 2??-?2??8?

3、确定各个单元的定位向量

?①=(0,0,1,0)T; ?②=(1,0,2,0)T ; ?③=(2,0,3,4)T ; ?④=(5,6,3,4)T ?⑤=(0,0,5,6)T; ?⑥=(1,0,5,6)T ; ?⑦=(1,0,3,4)T

4、根据定位向量及对号入座法则，由单刚集成总纲单元①、②、④

单元④

①②④

k=k=k=

单元⑤、⑦

????

⑤⑦

k=k=

EA??

?????

0 3

单元③、⑥

③⑥

k=k= 0 5

单元依次对号入座，形成结构总体刚度矩阵k：

???????k?EA?

????????

21?421?42?2?2?28

1?421?84

2?82800

2?2?821?440?14

2?2802400

2?80?14

021?440

2??8?0???0?? ?0??0??2??4?

三、形成结构节点荷载列向量

桁架结构中杆件只产生轴向变形，杆件的内力为轴力，因此桁架结构的荷载列向量由直接结点荷载列向量F?FD组成。

?0??0?????0??3

F?FD????10

??50??0??????50??

四、求解方程组，得到结点位移列向量

1 ?82.843??165.685?2 ??

3 1??100??3 ???10??

4 EA??182.843?

?65.685?5 ????6 ?182.843??

五、计算杆件轴力

杆件轴力通过计算局部坐标系下的杆端力列向量获得：

e?Tke?e

1、将结构位移列向量转换为单元杆端位移列向量

?0??82.843??165.685???????01?0?1?0?1??①②③333

= =?=?10??10????????10

EA?82.843?EA?165.685?EA?100?????0???0????182.843??0?65.685????82.843???????001??182.843?1?1???④⑤⑥333

?=???10 ?=???10 ?=???10

EA?100?EA?65.685?EA?65.685??????182.843????182.843????182.843???82.843???0?⑦?3

?=???10

?100????182.843??

2、计算局部坐标系下单元杆端力列向量单元①、②，??0o

?1?4?①①①

=k?=EA?01

???4??0

0?000

40140

??20.711?0??0?

????

0??1?0??103=?0?(kN) ?????

82.84320.711EA0?????

????0???0??0??

?4?0②②②

=k?=EA?1

???4??0

0?000

40140

??20.711?0??82.843?

?0??0??1???0?3?=?10?????(kN) 165.68520.711EA0?????

????0???0??0??

单元③，??135o

=Tk?

??00??cos135sin135

?-??sin135cos135?00?????EA??00cos135sin135?

?-??

0?sin135cos135???0

???

282228

282282-8-82282-8-??8?

?165.685?2?

??-01???3 ??10??EA?100?2??-????182.843????8?

③③③

?29.289??0???=??(kN) ??29.289????0?

单元④，??0o

?4?

④=k④?④=EA?01

???4??0

0?000

40140

??8.579?0??65.685?

????

0??1??182.843??103=?0?(kN) ?????

1008.579EA0?????

????182.843?0?????0??

单元⑤，??45o

⑤=Tk⑤?⑤

???00??cos45sin45

???sin45cos45?00??

???EA??00cos45sin45?

?-??

0?sin45cos45???0

??-?

222828

2282-82-8

22-82828-2???

0??2?

??-0?1??3?

???10 ?2?EA?65.685??8???182.843??

2??8?-

?29.289??0???=??(kN) ?29.289?????0?

单元⑥，??135o

=Tk?

??00??cos135sin135

?-??sin135cos135?00??EA?????00cos135sin135?

?-??

0?sin135cos135???0

???

2822828

282282-8-282282-8-2??8?

?82.843?2?

??-0?1??3?

???10 ?2?EA?65.685?

-?8???182.843???2?8?

⑥⑥⑥

?41.421??0???=??(kN) ??41.421???0??

单元⑦，??45o

=Tk?

??00??cos45sin45

???sin45cos45?00??

???EA??00cos45sin45?

?-??

0?sin45cos45???0

??-?

228228

2282-2-8

2-8228-2??

?82.843?2??-0?38?1????10 ?2?EA?100?????182.843???2?8?-

⑦⑦⑦

?41.421??0???=??(kN) ??41.421???0??

根据计算结果，可知桁架结构各杆件的轴力。

杆件内力（kN）

练习部分

一、填空题

1、已知某单元e的定位向量?e??356789?，则单元刚度矩阵中的刚度系数k35应叠

加到结构刚度矩阵的元素中。

2、用矩阵位移法求得某结构结点2的位移为?2??u2

二、试用矩阵位移法解图示连续梁，绘弯矩图。EI = 已知常数。

v2?2???0.80.30.5?，单元①

kN D

范文七：矩阵位移法

13- 1 概述

矩阵位法移的论基础是传理的位统法移只，它的表是形式达采矩阵

用代，而这数数学算种便于法编计算机程制序实，现计过程的算序程。

化一

、阵矩位法的基本思路移矩阵

移位法又以可为称件杆结构的限元法有；矩

阵移法的位本步骤基是：1（）结构的散离；（化）单2分元析（3；）体分整析；务任单元析分建杆端立与力端位杆间移的刚度程，方形成单元刚度阵矩义用矩阵形式表意杆示的转角件位移程方

整体

分析

由

变形条件和衡平条件立结点力与建点位移结间刚度的程方，成整形体度刚矩

阵用阵矩式形示位移法表本方基程

二、杆

端移、杆端力位的负号正定规

一般元：单指件除杆弯曲有形外，还变有向变轴和剪切形形的单变元，

件两杆端各有三位个移量，分是这面结构平杆单元的一般情况。符号规件则图：()a示表单编号、元杆编端号局部坐标和，局部坐的标x 坐标与杆轴合；重(b)表示图的端位杆均为正移方向。 (a)1 EAI l1

ye?

元编号单杆端编号部座局标杆端位

移编号

(

X 1)

M 1

1M2

X 2 2

Y端杆编力号3

矩阵

示单表力元和位：移

1（）单杆元位端移向

量1

2（）元单杆端向力

量 1M 12

11Y?

F( 1) ??X 1 ? ? ? ? ??(F2) ??Y 1 ? (?) ? F(e3) ? ? ? 1 ? ?F M?? ?F ? ? ?? ? 4)( ??X 2 ? ?F (5 ?)? Y2? ?? ? ? ??F( 6 ?) ?? 2 ?

Me( (e)

)

2v(e) (

)

eM2

X Y2

2? ?(

1 ) ? u1 ??? ?? ? v ? (2)? ?? 1 ? ??1?? (e )? ?(3) ? ?? ??? ? ? ?? ?? ? (4 ) ? u2 ? ? ? (?5) ?? 2 v? ?? ? ? ?? ? 2? ?? ( ) ? 6

?是凡号上面带了一符横的杠表就是示于局基座部标系言而。的4

§13

2单元

度矩刚(局部座标阵)

进行单系分元析，推导元单度方程和单元刚刚度矩阵。元刚单度方是程由指单杆端位元移单元求杆力时端的组方程，一以可用“ ? ? F”表示，位由移力称为求问题。正

一、一般元

单在元单两端加人为上制控的附约加束使，本杆基元的两单产生端任指意

的定个六移位，然后根据六这杆端个移来推位相导的六应杆端力个 1。

e M1

e1u1 Y1

M 2

2Xe

我们忽略

向轴受状态和力曲受力状弯态之间的相影响互，分别导轴推

变向形弯和曲变的刚度形程。

方

分别

推导轴变向和形曲弯变形刚度的程方。

M1e

Me 2e

u Y1

X12e

首

，先由个杆两端向轴位移u 1u2和可算出相推的应端轴杆力向 X1e和X 2 e e12

u1X ? EA u1? ?2 ? u ??? l EA? ?1 u?u

2 ? ?2 X ??? ?l

X2 e

? M 21YY

2次，由其杆端横位移向v,1 v2转角?和,?12

可以用角变,移方程推位导相应出的端杆横力向Y1 e ,Ye 2和端力矩M1杆 , e 2Me

4EI EI 6E2 I ??1 ? 2 ??2 ?v 1 v2? ?? ll l? 2 EI 4 I 6EI ? E?1? ? 2 ? ?v21? v2 ? ? ?l ll 6?I E1 2I ?E2 ?? ? 1? 2? ?3 ?v1 ? v 2? ? ? l l 6EI? 21EI ? ? 2?? 1? 2? ? ? 3?1 ?vv 2 ? l?l ?

将上面六个方程

合并，成矩阵形写式： M 1 4? EI 1 ??2 E I?2 ?E6 ?Iv 1 ?2v? ?? l l 2 l?2 EI4 IE6E I M2? ? 1? ?2? 2? 1v ?v 2? ?EA? ?u 1 u? 2 ?? 1 ?X ?l l l ?l ? 6?EI1 2EI E? A ? ?Y? ? ??? v ? v 11 21 2? 23 ?1 ? uu 2? X? ? 2 ?? ll l ? ?6IE 12E Y2I ? 2?? 1? ? 2 ? 3 ?v1 v2?? ? ll?

? X1 ? ?E A? ? ? ??? l ? Y1 ? ?0 ? ? ? ? ? M?1 ? ?0 ??? ? ??? A ?XE? ??l ?2 ??? ? 0 ??Y ? ?2 ? ? ??? ? 0 ?M ? ? ?2?

01 E2Il 36IEl2 0 ?12EI l 3E6Il 2?

6E l2I 4E I 0 lEI l62 EI l

E lA0 0

0 ? 2EI1 3 6EIl 2 l 0?1 2EI l3 6I E 2?l ?

6E0Il 22E I l06E I2l4 EI l

uee ? ?1

? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ??v ? 1 ? ???? ??1? ? ? ?u2? ??? ?? ?v2 ? ? ?? ??? ? 2? ?

lA0 0

上

面的子可以用式阵符号记矩为通这个式过由子元杆单位移端 (1?

)?F ?? ? k? ??

??e?

这就

是部座局系中标单元刚的度方程

。部局标座系单元的度矩刚可求单阵杆元端力? F ?e 6)(?2 ? 10 EI6 2l2E I 0l- 6E Il 2EI4l 只与件杆本性身质关而有外与荷无载关

2)(( )3 4( (5))u 1 ?1 v ?1 ?1 1 ? u1 2 1? 2v ?1 AEl 0 0-E A l 00 021I lE 3EI l2 060 6E Il2 4E I l0 E l A0 0E lA 000 1 2E l3 I6I E2l0 1 EI2 l -3EI l26

(1) 2)(

? ?

ke (

3 )=(4) (5) (

-12E

I- E6 l3I 2l 6EI l 22IEl

二、单刚元度矩阵性的

质1（）单元度刚数的意义

系kji— 代表元单端第j杆位个分量移等于1所引时起的第i杆个端力分。

量如例k 5 ?2?

2EI1代单表杆端元2个位移第量分 v1 ?1 时所起引的第5个杆 3l 力分量 Y2端数的值。

2（单元）刚度阵

?k 矩

即 ik j? kij。是称矩阵，对

（

3一般）元单的度刚阵

?k矩?

是

异矩阵奇；

从

数学上以可明证一般元的刚单矩阵度

? 由由

?k ?

e的行列式

0因此它的

逆矩不阵在

存

力从学上理的解是，据单元刚根度方程

?? ???F ?ee e? ??F ?? ? e

F ?? ??k ? ??

e ?e

有一组力的解

答(一的唯)即正，题。

如果问

不是一组平衡

力则无系解；若是一9

组

平力衡系，则解答不唯一的是即反，题。

问三、

特单殊元以连续梁为

例：

单元六个若端杆位中有某一个或移个已知几为零则，

该单元称为特单殊元其，度方刚是一程般元刚度单方程特例。的

?1v? 0

u ? 0

eAE l0 0 AE l0 0

?0 2v? 0

0 12EI? 3l 6EI? l 2 021EI l 63I E ? l 2?0 6 I l2 2 EIE l0 6EI l 2 EI l

?X 1 ? E? ?A?

?l? ? ? ?Y1? ? 0? ?? ? ? ? M ? 10? ? ? ? ? ?? E?A X ? ? ?? l ?2? ? ? ?? 0 ? Y ? 2?? ? ? ? ?? 0 ? M?2 ? ? ?

102EI l 3EI6 2l0 ?2E1Il3 6 I El2?

6IEl 24 E l I 6E0I 2 l2EI

u e ??1?

? ? ?? ??? ?? ??? ?? ? ?? ? v1 ? ?? ?? ??? ?1 ?? ? ??u2 ? ? ? ??? v ? 2? ? ? ? ?? 2? ??

u1? 0

? X1 ? ? AE ? ? ??? ? l ? Y1 ? ? 0 ? ? ?? ? ? M 0 ??1? ??? ? ? EA? ? ?X? ? ?l 2 ??? ? ? 0?Y2 ? ? ?? ? ? ? ? 0? ? M2 ? ??

11 v? 0

eE l

2?0 2v ?0

0 0

21E l3I 6I El 02? 21IEl3 6EIl 2

e? 4 EI ?1 ?

l ? ? ? ??? 2E I ??? M 2? ?? l

e 2

E ?I ?e ? ? ? ?1 ? l 4 IE? ? ? ? ??? ? 2?l

?? ? ? 6EI 21E IE6I? v ?1 0 ? ? l?2l3 l2 ? ?? 4 E 6EI I 2EI0 ?2 ? ? 1? ? ll l ??EA ?u2? 0 0 0l ? ? 6I 1E E2 6IE I? ? 2 ?0 ?v2 ?? l3l 2l ? ? 2E I E6I 4 IE 0?2 ? l l?l ? ?? ?2? 了程序为标准的化通 e和 4? IE2 EI ? 用，性采用特不单殊， e 元 l ?? k ?l 只用一?单元，如般结构果2 E 4 EI I ? ?? 特殊有单，元可通以程过l ? l?1 1由序一单般来形元。 0 成?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ??

u e? ??

§1

3- 3元单刚度阵矩(整坐体系标)e e 一e单、元坐转换矩标单元杆阵端的转力换X 1 X1?co s ? ?Y sin? 1式、刚单转换的 Y e e 式1 1 Y ? ?X1 is?n? 1 e Yosc ?1X e eM M 11X1 x M1? M ?1 e?eX e osc? ?Y esn?iX 2 22 M2 1YX2 eY 2? ?X 2 sine?? Y e c2so? X2 Y 2 e xe yM 2? M2 yY e2e e 0 0?0 X? 1?? X1? ? c os ?sn i?0 ? ???sin ? co s?0 ?Y?? 00 0 Y 1?? ? ?? ?1 e e? 1M? ? 0 1 0 00 ? 0 ?M1 ? ? ? ? ? ?? ? F? TF 0 0c os ?sin 0? ? X ?2? ? X 2 ??0 ? Y 2 ?? 0 00 si? ? nco? 0?s? Y2 ?? ? ? ? ??坐标换矩转阵 00 0 0 ? ? M1 2? 1 2M?2 ? ?

? ? ????

? c

os? s n i? ?? ins? ocs ? 0 ? ? ?T ?0? ? 0 0 ??0 0? 0? 0

00 00 0 0 1 0 0 0c so ?sin 0? ?sin? os c? 00 0

? 0? ?0? ? 0? ? ?0 1

?正交矩

阵

T[]-1= [TT ]或是可于以同理可有有以 T[[T]T][T=]T[T ] [I]= ee T

F? ?? ?T ??F

?F?? ? T? ?? F?e

? ?? T?? ??

3???

? ? T?? ??

二、整体座标中系单的元度刚矩阵

（

决解k ??与 k[ ]关的）

系

局在部标坐中杆端系与力端杆位的关系式表移达为

：? ?F? ? k? ? ?

?e ee e

()

a在体整坐系中标杆力与杆端位移端关的系可式表达以为：

} =[k] {}

（?a式）可转换：

两边为乘[T前]T

)b c)

((d) e)(

ee T[] F{ }= k T] {[?e}

F}e{= []T k eT[T] ?{} [ek e] =[ TT]k e[T]

性质与的

比较

式()b和()d可得

[：]

一

样。1

例1

. 试图示求架刚各中单在整体座标元系中刚度的矩阵k[ 。 ] 1 设和杆2的长和截面杆寸相同尺 l=。m，b5h=0?5m ?1.m, 1A0=.m25 ,=I 4m,2 4EA EI? 300 ?10 ,4 2?5? 1 04 l l:解 (1)局部标系中座的单刚元度阵 2矩

? 03 ? 50? ?? 0 ? ? 30?? 10 0 ?

l = 5m 单元 2 ： = 9?，单元0

? k=

e [ k] (2) 整体标系中座的元单度矩阵刚单元

：1? = ，[0] =T[]

?I3 0 ? 0 ? ?0 4? 0 10? ??? 30?0 ? 0? ?? 0

02 301 0 ? 213 0

0? 30 03 0010 000 300 ? 300 5 00

1 0 12 ?? 30 0 21 3?

座标0换矩阵转为

= [k]

? ?0? ? 10 ?T?? ? ? ? 0? ?0? 0

0 00 00

00 0 1 0 00 ?1 0 00

0 1 00 051

= 5 m

?0 0? ? 0?? 0? 0?? 1

单?元 2： ?= 0，9单座元标转矩阵为

换

0? ?? 1 ?0 ?? T ??? ?0? 0 ? ?

010 0 0 0 0

0 0

0 0 1 0 0 0 0? 0 10

00 0 1 0

0?? ?0 ?? 0?0 ? ?1?

l =

5m y

[

k ]=[ ]TT

0? 1 2 0? 00 3? ? ?0 0 3 k4 [T] ?1 ?0 ?? ? 2 0 1? 0 3?00 ? ??? 30

0? 03 1000 0 3 500

1 2 0 0? 30 03 0 01 0 2 003 03 00

? 30? 0 ?

? 0 5 ??3 0?0 ? ? 100? ?

l6 =5

m小结

：一、矩位阵法移基本的思路

阵矩移位的法个基本步两是

骤1（结）构离的散；化（2单元分析；）（）整3分体析，任务单元分析立杆建端与杆端力移位间刚度的程，形成单意方义用矩形阵式示杆表件的角转移位程方

元刚度

矩

阵变由形条件平和衡条件

整

体析

分建立结点力

结与点位间移的刚度程，方成整形

用

阵矩式表形位示移法本方程基

体刚度

阵

17矩

二杆端位移、、端杆力正的号负定规一般

元单：指件除有杆曲弯形外变还有，向轴形和变切剪形的变单，元件杆两各有三个位端移量分

，符号规则：(图)表示单a编号元、杆编号和局端座部，局标部标座的x 坐标杆与重合轴图；b)表示的杆端(位均移正方向。 1为(a) E AIl 1

单元编号 x杆编端号局座部标杆

端位编移

号(

)

u21

(2)c 1X

XY2

端力杆编

1号8

局部坐标中系单的元度刚方程

?F ?? k? ????

部坐局标的系单刚度矩元 (阵2 )3() () 4(5 u1 ?) v11? 1 ? 1?1 u2? 1 v ? 1 2E A 0 l 0-E lA0 0 0 1EI2 l36 EIl2 0 06E I 2 4lEIl 0 E lA0 0 E A 0l 0 021IEl3 6EI l 0 12E2 I3 l6E-I 2l(1) (6 ) ? ?2 01 6I l2 2EEI l 06-I l2E4EI l 只与杆本身性质件有关与而外荷载无

关e

(

) 12(

?k )

?e (

) 3=(4 )

() 56)

(

12-I E-E6 lI3 2l E6 lI 22IEl

单元刚矩阵(整体度标坐)系一、单元标座换转阵矩Y1

1M M1

X2X

F ?? ?? T ?? ?F

正交矩

阵 [T-1] [T]=T e eT

??? ? T?? ???? ?????T ? T???

e ? 1 X ? ?osc? isn ??? ? si?n? c s o ??Y1 ?? ?M ? 1?0 0 ????0 ?2X? ? 0? 2Y ? 0?0 ? ? 0? ?M 2? ?0

0 1 00

e0 e 00 0?? X ? 10 0 ?0 ? 1 Y? ? ?? e 0 0 0?e? M 1 ? ?? F ??T F co s?si n? 0 ?? X 2?? sin c?o? 0s ?? 2Y? ?? 坐标转换?矩阵 0 10? ?M 2 ? 02

? ? ?? ?

二

、整体坐系中的单标刚度元矩阵

[

k] e= T[]Tk e[]T

、单三刚度矩阵的元性质（1

单元）刚度数系的意义

ji —代单表杆元端j第个位移量等于1分时引起的所第个i端杆力量。分（

2）元刚单矩度

e阵

（）一般单3的刚元矩度

阵

k ? ?是异矩阵奇；因它的逆此阵不矩在存 eee 力学上从理的解，是根单据刚度方程元F ?? ? ?k? ? ?

?k?

e即

ijk? k i。是对j称阵矩，

由由

?? ? ?? Fe?e e? F? ???

一组有力解的答唯(一)的，即正题问

如。果

不一组是衡力平则系解；

无21

若

一是组平力系衡则，解答不唯一的是即，反题问

13-§4 连梁的续整体度矩刚阵按统的传移法每个结位点位移 {F对}的单独贡献附

加束约上的约束力（结点偶）力列阵

i?1

?1 1i122?

2i11

2?i 2

1 1i

i14+i2?2)? 222i3?

2?2i

1 1i

i42?3?

3F1

?11 2 ?3?

传统位

法移根据个结每位点移对

附约加上的约束力束{F }贡献的大进行小叠加计算所得而。

2i= 4i1+4i1 2i2

2i2

整刚度体程

方{}=[KF{]?

}

、一单集元法的力成模型和基学概念本分考虑别每个单元{F}对的独单献贡，体刚整矩阵由单元直接集成度

1 T1[ { F}= F1 F F3 2

]

1i1

2 i2

21F 3

去略它单元其的贡。献令

i =02，则F3 =

单0 1 对结点力元F{}贡的献

（） a（b

4 i1 2 i）1 1 k[ = 2] 4 ii 1 F11 F

2 11

1 F2

41 i21i 1?= i 42i ? 2 114 i12 i 10 1[ K]= 2 1i 4i 1 0 0 0 0

单 1元的贡矩献阵

4i1 2i 1 0 = 2i1 4 i 1

1 F3

? 2?

3F}{ [=]K{ ?

2}3

1i1

2? i

22F3

{}F= [F1 F2

T 2F ]3

设2 i 10=则，F 12

元单对结?点{F力的}献

略去贡单?的贡元。

献 4 i 2 22i k[ ]= 2 4 ii2 20

21 F2= F3

40i 1 2i 1

0 i 2 41 1

i22

?1 ?2? 3

0[] K=

0 4

i 12i1 0 2i1 4 i1

{F} [=] K{?

}单元

? 贡的献阵矩2

1i1

2i 2

{

F}=[K {]?

}

F} {[=K]{? }2

4 i1 2 i1 0 1 K] [ =i1 4i1 020

]

4 i1 2 i 0 12 i 41 1i

据单根元和单元??别分结点力{F对的贡}，献可得体整度刚程方

：{F}={F

} {F}+=（ K] [[K+ ]）?}
}F=K[{?]}整

体度矩阵刚：为单元集成求整体法刚矩阵度骤步

：

[K]=（[K +[K]]）= ?[ K]

k[]

K[]

[

k []4 i

21i [k1 ]= 2 i i 141

K[]

[

]

K4 i

21i 1 0 1 [1K ]=2i 4i110 0 0 0

0 0

42i1

i4 2 i2 2 1 [2 k = ] 2 4 ii[ ] K= 0 i2 2i2 42 0 22i2 4i 2 4 i1

整体刚度阵矩:

i4 0 +21i4 i4 21i2

4 02i

2i1 i2

[

]=K i2 14i1(+i)2 2i24

226

ee 、二照单元定按向位由 [k量]求 K] [ e

确定

[ek] 中元素在的[]

中的位K置为。此建立两编种：

(1码)整体分析中按结构在的点结位统移一编，称码总码为。(2 )单元在分析中单元按两结点位端单移编独，码称为部局。

码以连

续为例

梁1

移位统编码一，码

总

1)(

(2)

1)(

22)

(移位独单码局部码

单元

1编2

对关应系局部?总码码( )?1 (21)2? ()1? 22)?3(

元定单位量向???

由单元e结的点位总码移成组的量向27

??? ??

??1 ? = ?2? ? ? 2 ? ? =2 ? 3? ?

单

元定向位描量述了元单种编两码总码、（局码部之间的）应对关系。元单定向量位定了义整坐体系下标的元单度刚矩中的元阵在素整体度刚阵中矩的体位具，置也故为“称单元换向量”码（。3单刚）[ ]k和元单献贡K]

中素元的对应系

单关贡献矩元阵单元是刚矩度，利用“阵单定位向元”进量行“换码重位排。”(1) 单 ? 元2(

)[

k ] =()

)

4i 21 1 i2i 1 4 1

i1( )2()

1 ?? =? 2?? ?

i1 40 i1 K[]= 2 2

2 11 0i142 0 i1 00

2 0

3 0

单元

[k? =](2 )

(1)

4 i2 i22 2i2 4i2

1?2? = ? 3 ?? ?

[

] K=

2 i 02 0 40

i 2 i4 20 00

228

、三单元成法集实施的

1）（将[]K置，零[K得]=0]；

[（定位

累

加

）（）将[k2?]的素在元K][中{按

?}定位并进?累行加，得K][[K=?] ；3）（[k]?将的元在[素]中K按{}??位定并行进加，累得K]=[K][?+[K]；?按作法此所对单元有环循一遍最后，得整即体刚度矩[K阵]

。1 1

2 0 0

000

[K]

k ][

131 21 40i1 2 i0 0 011 4i0 i 102 23 0 21 0 0 03

[

k ]2

41 i

1 2i

2i1 44 21i+i40 i 1 i2 223 0 4 0 i 22i2

.求连例续梁的体整刚矩度阵。 1（）点位移结分总量码（ 2）元定位单向量（ 3单元）集过成

程2

2?2

?i0=0 0

3???2

1 ? =? ? ? ?2 ?

???

?= ? 3 ???

3? = ?0? ?? ?

[k ]

2=2 i 4i 1 1

1 K][ = 2 3

4 i 2 1i

1[k

] = 1

22 i 2 42i 2 3 22 i4 2i 32

[k ]

4i32 i3 2 i03 4 i3

2 1i010

0i1

0i2

20 41 1i4+2i ii24 0+2 44 i22 0i 3

四整、刚体度矩阵K[ ]性的质

（）整1体刚度系的意数:义

Kj－i?=1j( 余其=0?)产时的生结点力i

F（2）

K]是[称矩对（3）对几何阵不体变系[，]K可是矩逆阵，连如梁续

1?1

F32?

=}K][?}

?{3

{?=}[K]1-{F}F

n?n

4）[（]是稀疏矩阵和带K矩状，阵如续梁连

?1F1

Fn+1 n+1?

20 i 1 4i1 020 i 2 141i 04+2 i 02i2 00

0 302 i 242i4 +0 i3 00

? 1F ? F ?? ?2 ?? ? 3 F?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?n F? 1? ?

002 i 030

0 0 0 200 n

000 4

in0

??1 ? ??? ? 2 ? ? ?? ? ?3 ?? ?? ?? ? ? ?31 ? ? ? ? n1??

§13-5

刚的整体架度刚阵

矩路要点思（1）设：各单元形成了整体已座系下的标单元度矩刚；阵 2（各[k]） e经由

{?e 进行}加累成[K集。

]与连

梁相续比： 1)各单(元考虑轴变向；形2)每(刚结个有点三个移；位( 3)采用整体要座；(标)要处理4刚结点的非特殊况情

。一、

结点位分量移的一统编码——码

整总体结构结点的位向移量：为 2 13 0 ① C 04

{

}?=[ 1 ?? ?23?4 T]

=xu[A vA A? ? CT]相应

地结点力量为向：

A②

结点位

移码

总

F{ =} [F1 F2 3FF4 ]T = [X A A MYAM C ]

规3：

定对于知已为的零点位移结分量其总码均，为编。零

)①

2)(( )

、单三集成元程过

1( )单元结点移位分局部码量( )4

②

6()( 5)单 ?元

单

?元

局部

?总码码1 ? ?（） ? 11? ? （2 2 ? ） 2?? （3） ?3 ? ? 3 ??? ?? ? （?4 ） 0? 0?? ? 0 ?（5 ）? 0 ? ? 6）（? ?44?

二

单元定、向位

(2量)

3)(

(

6) 4( 1)

3 A

0 ① C

②结位移总码点 B

y局

码?总部码（） ? 11 （2 ?） 2 （）3? 3 （ 4 ） 0 （?5 ） ? （ 06） ?0 ?

? 2? ?? ?? ? 3??? ? ? ??? ? 0?0 ? ? ?33? 0 ?

12 3 00 4

1 2

30 0 40 014 01 05 1 06 12 13 0110 0

2 4 25 0 26 0 02 0 22 31 200 4 30 530 36 0 3 2 03 3130

0 444 10 5 4 40 064 204

32 1

A 2 1

[

]

0 B

051 0

5 4 00 2 0553 61 0 6 4 006 20 63

5 050 5

66 500 66

1 2 0 03 0 11 11213 1 415 16 221 2 232 4 22526 2 3 3 32 33134 35 63 k[ ]=0 1 4244 4344 5 64 05152 53 54 5 56 05 6 62 613 6 65 466

1?? ? 1 ? ?2? ??2 ? ?? ?2 ? ? 31 3?? ? ? ? ? ? ???? ?? ? 0? ?0?? ? ?0 ? 0? ? ?? ? 0 ?? ??

41 324 1 11 11 01 2 130 1 0 6 012 13

[]=

K 203 6 22 2120122 0 02 232

1033 1

40 6

0 3336 0 0 3 32332 062 0 363

3 C2 4 6 41C1 7 5

结位点分移总量码x结

点1 结CC点2

56 ]

[4 5 7]

2 3 4 56

?单定元向位量0

00 0

1?? ? ?1??? ?1

?? 3?? ?

141 2

T T

1 32

3 0 0 0

5? 0 0 7?

0 03 00

1 23 45

[

]

[k2]= 3

365

???1? ?

21 345 6

1?1 2 3 45 2 36

???2 ??1

30 00

1? 2

???3

?4?1

2 750 0 0

0? 0

]

[

k] 2=

3 00

044 5

0 0

12 0

3 00 0 0 0 0 0

04 0

00 00 0 0

50 00 000 0

6 00 0 0 00 03

0 070 0 00

0 0

0 0 0

[0k]

0 00

K][

? 单元

刚矩度阵（部坐标系）局? 单元刚矩度阵整（坐体系）标连续梁?整的刚度矩体阵?

F ?1? F? ? 2 ? ? ? 3F ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ?Fn ? ? 1?

i 40 1i10 42i10+ 42 0i0 2 i 2i24+ 0 43 0 i00 0 0 2 0i3 0 00 0 00 0 02i n 000 0 0 4 i n0

0i 12

20i

? ?1 ? ? ?? 2? ?? ? 3 ??? ??? ? ? ?? 3?7? ? ? ? n? ?1?

? 架刚的体刚整度矩阵

§31-63结构

系刚度体程方

等效结：荷载 {点F} [=]K{? …}…………(…1)

表结点示位{移}?和结力点F{}间的关系，之反了映结构刚的度质性而

不，及涉原构结上用作的际荷载，并不是原结构实的移法位本方程。基

一

位移法、基本方

程 ? ·? · · ·· · · · · k+2n n+F?2=0P ? k1?21 + k2? 22+ ·? ·· · · · · · · · ··· · · ··· · · · ··· · ··· · ··· · ?·· ?? k ? + k? +· ·· · · · ··· ·+ nnk? +nFnP0= n11 n 2 2

11?1 + 12k 2+?· · · · ··· ·· · k1+n ?nF+P10=

{]}? {+F} P{=}0… ……..…………(2.

)

(1将式代入)2()式：

基本系体在结位移单独作点用产下的结点生约力。束

{F}

+{ F} =P0} {…………..………3(

基)体系在本载单荷作独用下产的生结点约力束

。83

]K?} {= {F

二、 }等效点结载荷的

概念原

荷载

F{P}

效结点等荷载P}{

结点结

束力——{P}F

结点结力——束FP}

显然

{P}=–
FP}………决解了算等效结计荷点载的问题

等效

则原两种是荷在载本体系中基产相生同结的点约束力 93

三按、单集成元法整求结体构的等效结荷载{点} Pe ()1局部座单标的元等结点荷效载{P }

eF? e? ??

P M1 P1

P2 Y P

MP ?2

e ? ?F ??e{ } PP(2)整体座标单元等效的点荷结载{P e}e eT

P?? ? ?T? ? ?P

(

)3结构等的效结点荷载P}

2 31A

24.

8N/k 1m C

.52m .52

8kN

5mm

? ? ?1 1 ?2? ?2?? ? ? ? 2 ?3? ? ?13? ? ? ? ?? ??? ?? ??? 0? 0 ??? 0? 0 ? ?? ?? ? 0 ?? 4?

0? ?? 2?1 ?? ? 1?0 FP ?1 ?? ?? 0 ? ? ??? 21?? ? 10 ??

X P 1 0 ??X P 2? 0? ? Y?? 1 2 ? Y P 2 ?1? 2元1:单? P1 ?? M ? ?0 1 P1? ? P M2? 10 ?XP ?2 0?X 1P? 0 ?? Y ? 4 YP?2 ? 4 单元2 :?P 1 ? ? M? P 2 ? 5 ? M ?P ?15 ? 0? ? 0 ? ?4? ?12 ? ? ??? 5? 1 ? 10? 1 F? P? 2? ???P? ?F? P?? ? ?? ? 0 ?? 0?? ?4 ? ? 21 ?? ?? ? ? 5? ?? 10 ?

4 ?0?? ??2 2 ??5 ?2T ?P ? ??T ??? F ? P?? ??4 ??? 0? 2 ? ?0 ? ?9 5?

1?? ? ? ?P2 ? ? 3? ?4??

0 +

124 +00 10 -50 10 0-

?? 4? ?? 21 ? ?? ?? ? ? ?? ? ?5? ? 4 1? ?? ?10

?§

138 忽略-向轴形时矩形变刚的整架分析体单元位向量定x

??? ? ?1 ??1?? ?1

???3?2? 1

1 1 02 2 1 3 40 53 6

0 2 1 03 ?

2 C11 C1 410 3

2 000 0?

0 4 000?

1 405 63

0 0

10 2 3

1 02 2 3 04 0 50 6

034

0 0

023

4 045

06 0

342

1 102 2 3 410 5 36

31 0

2 2 3 4

2 32

6 12 0 4 34 05 0

2 34

50 6

020 0

0 00

6 0

00 0

[K]=2

§139 一-、桁架1 Xe1 u1

桁架及组合

结的整体分构

析

2 u2e

X1Y

AE ? ? E ? A??u ? ? X11? ? l l ?? ? ?E A? ??EA ? X2? ?? ? ?u 2 l? ? ?

y X? ?1e 1?? ? ? Y1 ? ?A E?0 ? ? ?l?? 1 X?2 ? ?? ? ?0? Y2? 0 ?1 0 00 1 00

?1X ?Y? ?1 ? ? ?eF ??? ??X2 ? ?? Y ?2 ?

u1? ?? e ? v? 1 ??? ?? ? ??2u? ??v2 ?

?0 0 0? ? 0 cos?? is n?? ? si? n ?4 c4so? ?

? ?1 ?e u? ocs ?si n ??v? ? ?sn ? ioc ? s0?? ? ?? 1 ?? ? ?T? 0??u2 ? 0?0 ? ? ? 0?v? 0 ?2? ?0

求例

图结构示等的节点效载向荷

量

范文八：矩阵位移法习题-6]@]@]
@一、总体刚度矩阵
矩阵位移法习题
1、图示结构，整体坐标如图，l=1m，EA=i/l，
写出位移编码、单元定位向量；
(力和位移均按水平、竖直、转动方向顺序排列)。
求结构刚度矩阵?K?。
l 2、用先处理法写出图示结构刚度矩阵。E?常数。
二、等效结点荷载列阵
3、图示刚架, q=12kN/m，
求结构的等效结点荷载列阵。
q
m
4、求图示结构的自由结点荷载列阵?P?。
三、杆端力列阵
5、已知图示梁结点转角列阵为?????0
-ql2/56i 5ql2/168i，EI?常数。试求B支座的反力。
?
T
.
0.5m
0.5m
6、已知图示结构结点位移列阵为
?????0 0 0 -0.1569 -0.2338 0.4232 0 0 0?
试求杆1－2，2－3的杆端力列阵。
T
。

范文九：矩阵位移法matlab编程例题

下题是桁架结构：

其中，????=1,试求各杆的轴力

（6）

clear

[ length1,theta1,T1 ] = Geometry( 1,0, 1,1) % 由结点坐标求六个单元几何信息 [ length2,theta2,T2 ] = Geometry( 0,0, 1,0) [ length3,theta3,T3 ] = Geometry( 0,0, 0,1) [ length4,theta4,T4 ] = Geometry( 0,1, 1,1) [ length5,theta5,T5 ] = Geometry( 1,0, 0,1) [ length6,theta6,T6 ] = Geometry( 0,0, 1,1) g1=[1 2 3 4] g2=[0 0 1 2] g3=[0 0 0 0] g4=[0 0 3 4] g5=[1 2 0 0] g6=[0 0 3 4]

E=1;A=1; % 材料信息 k1=LocalElementStiff(E,A,length1) % 局部单刚 k2=LocalElementStiff(E,A,length2) k3=LocalElementStiff(E,A,length3) k4=LocalElementStiff(E,A,length4) k5=LocalElementStiff(E,A,length5) k6=LocalElementStiff(E,A,length6)

K1=T1"*k1*T1 K2=T2"*k2*T2 K3=T3"*k3*T3

% 六个单元定位向量

% 整体单刚

K4=T4"*k4*T4 K5=T5"*k5*T5 K6=T6"*k6*T6

GK=zeros(4)

% 由六个单元和相应定位向量聚集总刚

GK=ElementAssemble1(GK,K1,g1) GK=ElementAssemble1(GK,K2,g2) GK=ElementAssemble1(GK,K3,g3) GK=ElementAssemble1(GK,K4,g4) GK=ElementAssemble1(GK,K5,g5) GK=ElementAssemble1(GK,K6,g6)

P=[1 0 0 1]" % 荷载信息 U=GK\P % 求解方程

U1=ElementDisp(U,g1) % 定位向量提取六个单元的结点位移 U2=ElementDisp(U,g2) U3=ElementDisp(U,g3) U4=ElementDisp(U,g4) U5=ElementDisp(U,g5) U6=ElementDisp(U,g6)

f1=k1*T1*U1 f2=k2*T2*U2 f3=k3*T3*U3 f4=k4*T4*U4 f5=k5*T5*U5 f6=k6*T6*U6

% 求局部坐标下的单元杆端内力

下题是钢架结构：

（1,2,3）

（4,0,5）

（0,0,0）

clear

[ length1,theta1,T1 ] = Geometry( 0,0, 0,10) % 由结点坐标求两个单元几何信息 [ length2,theta2,T2 ] = Geometry( 0,0, 10,0)

g1=[1 2 3 0 0 0] % 两个单元定位向量 g2=[1 2 3 4 0 5]

E=128000;A=2;I=7/640 % 材料信息

k1=LocalElementStiff(E,A,I,length1) k2=LocalElementStiff(E,A,I,length2)

K1=T1"*k1*T1 K2=T2"*k2*T2

GK=zeros(5)

% 由两个单元和相应定位向量聚集总刚

% 局部单刚

GK=ElementAssemble1(GK,K1,g1) GK=ElementAssemble1(GK,K2,g2)

P=[10 0 0 0 20]" % 荷载信息 U=GK\P % 求解方程

U1=ElementDisp(U,g1) % 定位向量提取两个单元的结点位移 U2=ElementDisp(U,g2)

f1=k1*T1*U1 f2=k2*T2*U2

% 求局部坐标下的单元杆端内力

故M图：

Q图：

N图：

下题是两个连续梁单元的结构

clear

length1 = Geometry( 0,0, 6,0) length2 = Geometry( 6,0, 12,0)

g1=[0 1] g2=[1 2]

E=1,I=1 % 材料信息

k1=LocalElementStiff(E,I,length1) % 局部单刚 k2=LocalElementStiff(E,I,length2) K1=k1 K2=k2

% 整体单刚 % 2个单元定位向量

% 由结点坐标求2个单元几何信息

GK=zeros(2) % 由2个单元和相应定位向量聚集总刚 GK=ElementAssemble1(GK,K1,g1) GK=ElementAssemble1(GK,K2,g2)

P=[50 0]" % 荷载信息 U=GK\P % 求解方程

U1=ElementDisp(U,g1) % 定位向量提取2个单元的整体坐标结点位移 U2=ElementDisp(U,g2)

u1=U1 % 局部坐标结点位移 u2=U2

f1=k1*u1 f2=k2*u2 故M图为：

% 求局部坐标下的单元杆端内力

范文十：矩阵位移法

第9章矩阵位移法

9.1 概述

前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。

矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。

矩阵位移法又称为杆件有限元法。它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。

本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。

9.2 单元分析

9.2.1 结构离散化

结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。单元的联接点称为结点。对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。通常用①,②,?表示单元编号，用1,2,?表示结点编号。

例如图9.1(a)所示的平面刚架，共有4个结点，可划分3个单元。如图9.1(b)所示平面排架，杆件截面突变处也需看成是结点，共有6个结点，划分成5个单元。如图9.1(c)所示平面桁架，有5个结点，划分为7个单元。如图9.1(d)所示连续梁，荷载作用点4也取为结点，共有4个结点，该梁可划分为3个单元。若将荷载转化为等效结点荷载进行处理，该梁有三个结点，划分为两个单元。比较两种划分方法，前一种划分方法增加了结点和单元数目，也就增加了计算工作量，一般不采用此种划分法。

在结构中，往往会遇到变截面杆或曲杆，在结构离散化时，可将它们视为折杆或阶梯

形截面来处理，依靠加密结点的方法来提高解题精度。

图9.1

9.2.2 在单元局部坐标中的单元刚度矩阵

结构离散化之后，要进行单元分析，其任务是建立杆端位移和杆端力之间的关系。 1．平面刚架自由单元刚度矩阵

当不考虑单元两端的约束情况时，对于平面杆件，单元杆端位移有6个，相应的杆端力

有6个。这样的单元称为自由单元。

如图9.2所示，自由单元两端结点编号为i和j，其单元编号为e。以i为坐标原点，并规定由i到j的方向为轴的方向，以右手法则定出轴的正向。这个坐标系称为单元局部坐标系，i和j分别称为单元e的始端和末端。

单元杆端力列向量为

???eNieSiieeNje

ej?

图9.2

单元杆端位移列向量为

???ieie?iejejeje?

在单元局部坐标系中，杆端力和杆端位移的符号均规定与坐标轴的正向一致时为

正，其中转角和弯矩以逆时针方向为正。如图9.2所示杆端位移分量和杆端力的分量均为正向。

由于自由单元的位移包含了弹性位移和刚体位移两部分，而刚体位移仅由单元本身是

无法确定的。因此，不能由单元的杆端力确定单元的杆端位移。但是，由单元的杆端位移可以确定单元的杆端力。设单元ee杆端位移分量是已知的，如图9.2所示。根据虎克定律和第七章表7-1并按本章的符号规定，利用叠加原理，则单元杆端力分别为

EAeEAeNi?li?lj

e12EI6E12Ie6Ie

Si?l3ei?l2e?il3?j

l2 je?6EI4EIe6EIe2EIl?le

i2eii?l2j?lj

?EAleEAeNj?i?lj e12EIle6EIe12EIe6EI

ej??3i?l2i?l3j?l2j

e6EIe2EIe6EIe4EIe

l2i?li?l2j?l

j 式(9-1)即为平面刚架自由单元刚度方程，写成矩阵形式则有

?EAEA??l00?l

00?

???e?12EI6EINi??0320?12EI6EI?

?32??e?e?lllli?????EI4EI6EI2EI??e?Si6?e

00???i?l??ei??l2ll2i??e???EAEA??e??Nj???0000??j??eSj??ll??ej???e??j???12EI??e??0??6EI12EI6EI320?2???j?lll3

l???

?6EI?

02EIl2l0?6EI4EI?l2l?

?若令

eeei i i ej ej ej

?EA?00?EA?e

?ll

00?Ni ?12EI6EI12EI6EI?

?0l3l20??ll2?e3

??06EI4EI0?6EI2EI?

?e2?e??????l2lll??EAEA

? i ??l00l00??eNj

???

0?12EIl?6EI12EI6EI?

3l20l3

?l2?e??Sj ?6EI2EI6EI4EI??

0l2l0?l2l?

?ej

(9-1)

(9-2) (9-3)

则式(9-2)可简写成

???????? (9-4)

式中，????称为平面刚架自由单元刚度矩阵。其行数等于单元杆端力向量的分量数，列数等于单元杆端位移向量的分量数。由于这两个向量的分量数相等，所以，单元刚度矩阵????是一个方阵。单元刚度矩阵中每一个元素的物理意义是：仅当其所在列对应的杆端

位移分量为1时，所引起的其所在行相对应的杆端力分量的数值。

2．其他形式单元刚度矩阵

1). 平面桁架单元刚度矩阵

对于平面桁架中的杆件，其两端仅有轴力，而剪力和弯矩均为零，杆件只产生拉压变形，所以平面桁架单元杆端位移和杆端力如图

9.3所示。

图9.3

由虎克定律，有

EAe?

i?je????l

EAe

Nj?je?je????l?

eNi?

上式的矩阵表达式为

EA??EA

?????l?i??l??

??e? ?e???

EA???j??Nj????EA??

??l??l

或

????K???? (9-5)

单元刚度矩阵为

ie je

?EA?le

??????EA

????l

?EA?

l??EA?l??

(9-6) e Nj

由于平面桁架每个结点的位移分量有两个，为了坐标变换的需要，常将式(9-6)添加零

元素，扩展为4×4单元刚度矩阵：

EA?EA0??ll

00e?0??????EAEA

??0

l?l

?00?0?

0??0?

(9-7) 0??0??

连续梁单元刚度矩阵

若不计轴向变形，连续梁每个结点既无水平位移，也无竖向位移。因此，其单元杆端位移和杆端力如图9.4所示。

图9.4

单元杆端位移向量为

???ieje?

单元杆端力向量为

????e

ej?

根据两端固端梁的转角位移方程和叠加原理，则有

4EIe2EIe

ie?i?j

ll2EIe4EIe

ei?j j?

将上式写成矩阵为

?4EI2EI?e???l?ie???i?l??

????e??e? (9-8) 2EI4EI?j???j??????

?l??l?

式(9-8)为连续梁单元刚度方程，从而求得其单元刚度矩阵为

ie je

?4EI?le

??????2EI

???l

2EI?e

? (9-9) 4EI?

ej ?l?

前面介绍的3个单元刚度矩阵，虽然矩阵阶数不同，但它们之间仍存在某种联系。由

于连续梁单元杆端位移ie?ie?je?je?0，从平面刚架自由单元刚度矩阵中，划去零位移分量所在的行和列，即1、2、4、5行和列，便得到连续梁单元刚度矩阵；同样划去

2、3、5、6行和列(ie?ie?je?je?0)即得到平面桁架单元刚度矩阵。采用类似的处理方法，由平面刚架单元刚度矩阵，可以得到其他有约束的单元刚度矩阵。

3．单元刚度矩阵的性质

1). 单元刚度矩阵是对称矩阵

单元刚度矩形中位于对角线两边对称位置的两个元素是相等的，即

ij?eji

根据反力互等定理可得出这一结论。

2). 单元刚度矩阵的奇异性

由于自由单元刚度矩阵的第二行和第五行对应元素反号，则该矩阵的行列式等于零，故自由式单元刚度矩阵是奇异的，它不存在逆矩阵。

?，可由式(9-2)确定单元杆端力??；但若

杆端力??已知时，由式(9-2)却不能惟一确定杆端位移??。这是因为在自由单元的杆

根据这一性质，若已知单元杆端位移e

端位移中，除了由杆端力产生的弹性位移外，还包含有刚体位移，而刚体位移由单元本身是无法确定的。

对于有约束的单元，当约束使单元成为几何不变体时，例如连续梁单元，单元不会产生刚体位移，其单元刚度矩阵是非奇异的。

3). 单元刚度矩阵的分块

单元刚度矩阵可分成4个子矩阵，即

??ii???

??????e

???ji???

??ij????

??jj????

式中，????中任一块，它是 3×3阶方阵。用分块矩阵可将单元刚度方程?ij?? 为?

(9-2)改为

???e???ii?e

?i???????e???e???j?????ji?

其中

?ij??e???

??jj????

???e?

?i?

?e?

???j???

?je??Nj??ie??Ni?

??eee?e??e??e???e??

??；；；??Si??j??Sj??i???i??j??j?

?e??e??e??e?

?j??j?i????j????

用分块矩阵形式表示单元刚度矩阵和单元刚度方程的目的是使运算简便，层次分明。

9.3 在整体坐标中的单元刚度矩阵

9.22节介绍的单元刚度矩阵，是建立在局部坐标系上的。采用局部坐标进行分析，是

使结构的各单元刚度矩阵具有简单统一的表达形式。但在实际结构中，各单元的方向往往

是不同的。如图9.5所示平面刚架，单元①、②、③系采用局部坐标系的方向各不相同。为了结构的整体分析，必须确定同一的坐标系，一般称为整体坐标系(或结构坐标系)。例如如图9.5所示中的xOy可作为整体坐标系。本节主要讨论如何将各单元局部坐标系的单元刚度矩阵[??

??转换到整体坐标系的单元刚度矩阵?K?，为整体分析做好准备。

图9.5 图9.6

如图9.6所示平面刚架单元e，设局部坐标系轴与整体坐标系x轴之间的夹角为α，其由x轴至以逆时针转向为正。设在整体坐标下杆端力和杆端位移为

?F???FixeFiyeMie

?????uievie?ieuej

eFjxeFjy

(9-10) Mej?

(9-11) vej?ej?

其中，力和线位移以结构整体坐标轴指向一致为正，弯矩和角位移以逆时针方向

为正。

首先讨论单元杆端力在两个坐标之间变换关系：

在两个坐标系中，显然与杆端弯矩不受平面内坐标变换的影响，则有

ie?Mie??

(9-12) e?e?Mjj??

而单元杆端轴力和杆端剪力根据投影关系可得

eNi?Fixecos??Fiyesin??

Si?Fixesin??Fiyecos??

? (9-13) eee

Nj?Fjxcos??Fjysin??

?eee

Sj??Fjxsin??Fjycos??

将(9-12)和(9-13)两式写成矩阵形式为

e?Ni??cos?sin??e??

?Si???sin?cos??ie??00?e???

0?Nj??0

?e??00?Sje??

0??0?j???或简写为

???T??F? (9-15)

00100cos?0?sin?00

00sin?cos?0

0??Fixe??e?F0???iy?0??Mie?

??e? (9-14) 0??Fjx?

e?0?Fjy???e?1????Mj??

?cos???sin???0?T???

?0?0???0

sin?

cos?0000

0000100cos?0?sin?00

00sin?cos?0

0?0??0?

? (9-16) 0?0??1??

称为坐标变换矩阵。可以证明，坐标变换矩阵?T?为一正交矩阵。根据正交矩阵的性质可知，其逆矩阵等于转量矩阵，即

?T???T?T (9-17)

同理，可以求得单元杆端位移在两个坐标之间的变换关系，即

????T???? (9-18)

确定了单元杆端力和杆端位移在两个坐标系之间的变换关系，便可求出单元刚度矩阵

在两个坐标系之间的变换关系：

单元e在局部坐标系中的刚度方程为

?将式(9-15)和(9-18)代入上式，则有

???????

?T??F?

??????T????

两边同时左乘?T?，并引入式(9-17)，得

?F???T?

令

?????T????

?K???T?

则单元e在整体坐标中的刚度方程为

?????T? (9-19)

?F???K???? (9-20)

其中，式(9-19)中?K?为整体坐标系的单元刚度矩阵，式(9-19)反映了在两个坐标系之间单

元刚度矩阵的变换关系。只要求出单元坐标变换矩阵?T?，就可由局部坐标系的单元刚度矩阵????，计算出整体坐标系的单元刚度矩阵?K?。

由式(9-19)不难看出，两个坐标系中的单元刚度矩阵?K?和????同阶，且具有相同的

性质。

对于平面桁架单元，两个坐标系的杆端力及杆端位移之间的变换关系仍为式(9-15)和式(9-18)所示，即

???T??F? ???T????

?cos???sin??T???

?0??0

sin?cos?00

00cos??sin?

0?0?? (9-21) sin??

?cos??

其整体坐标系的单元刚度方程和单元刚度矩阵仍为式(9-20)和(9-19)所示。

【例9-1】试求如图9.7所示平面桁架中①、② 单元整体坐标系的单元刚度矩阵。其中各杆EA=1。

解：单元①：由于局部坐标系与整体坐标系一致，故α=0，即?T???I?。

?0.2?0①

?????????0.2??0

0?0.20000.200

0?? 0?

?0?

?K?

①

图9.7

单元②：α=45°，sinα=0.707，cosα=0.707

00??0.7070.707

??0.7070.707?00? ?T????000.7070.707???

00?0.7070.707???0.141404?0.14140??0?000②

?????????0.141400.14140? ??

0000??

?0.0710.071?0.071?0.071??0.0710.071?0.071?0.071?②②T

???K???T??????T????0.071?0.0710.0710.071? ???0.071?0.0710.0710.071??

【例9-2】试计算如图9.8所示平面刚架中各单元在整体坐标系的单元刚度矩阵。设各

杆均为矩形截面，立柱：b1?h1?0.5m?1m；梁：b2?h2?0.5m?1.26m；E?1。

图9.8

解：对单元和结点编号，选定单元局部坐标系和整体坐标系，如图9.8所示。原始数据计算如下。

柱：A1?0.5m2 I1?41.67?10?3m4 l1?6m

EAEI

i1?1?6.94?10?3 1?83.3?10?3

l1l1

2i1?13.? 0 4i1?27.? 09?18?1

6i12i?3

410 21?2.31?10?3 1?6.9?

l1l1

梁：A2?0.63m2 I2?83.33?10?3m4 l2?12m EIEA

i2?2?6.94?10?3 2?52.5?10?3

l2l2

2i2?13.? 0 4i2?27.?8?1 09?1

6i12i?3

710 22?0.58?10?3 2?3.4?

l2l2

由式(9-3)得到局部坐标系的各单元刚度矩阵

00?83.300??83.3

?0?2.31?6.940?2.31?6.94??

①③?0?6.9427.806.9413.9??K???K??10?3?? ?????83.30083.300??

?0?2.316.9402.316.94???0?6.9413.906.9427.8????00?52.500??52.5

?0?0.58?3.470?0.58?3.47??

②?0?3.4727.803.4713.9??k??10?3?? ???52.50052.500??

?0?0.583.4700.583.47???0?3.4713.903.4727.8????单元①和单元③：??90°，sin??1，cos??0。

?0??1??0T????

?0?0???0

00000

③

000010000?100

000100

①

0?0??0?? 0?0??1??

?K?

①

06.94??2.31

?0?83.300?83.30???6.94027.8?6.94013.9?=10?3??

?2.310?6.942.310?6.94???0?83.30083.30???6.94013.9?6.94027.8????

单元②：?=0°，cos?=1，sin?=0，即?T???I?，则

②

??K????K?

②

??K???T?????

06.94?2.31

?T?

9.4 整体分析

在单元分析的基础上，再将离散的单元组合成原结构，即根据结构的几何条件和平衡

条件建立结点荷载和结点位移的关系，从而解出结构的结点位移和各杆的内力。这一步骤称为整体分析。整体分析的主要目的是建立结构刚度方程，形成结构的刚度矩阵。结构刚度方程反映了结点荷载和结构位移之间的关系，其实质就是位移法的基本方程。它们之间的区别仅在于建立方程的方法不同。矩阵位移法采用的是直接刚度法，即在结构整体坐标系下将单元刚度矩阵按一定规则集装成结构刚度矩阵，从而建立结构刚度方程。

9.4.1 直接刚度法的原理

现以如图9.9(a)所示结构为例讨论整体分析，说明直接刚度法的原理。

图9.9

如图9.9(a)所示结构为仅承受结点荷载的平面刚架。对单元和结点进行编号，并选取结构整体坐标系和各单元局部坐标系，如图9.9(a)所示。

设结点位移为未知量，则该结构的结点位移列向量为

???????1???2???3???4??

其中

??i???ui,vi,?i?

相应的结点力列向量为

(i=1,2,3,4)

表示结点i的位移列向量。式中，ui、vi、?i为结点i在整体坐标系的线位移和角位移。

?F????F1??F2??F3??F4??

其中

?Fi???Fix，Fiy,Mi?

(i=1,2,3,4)

表示结点i的外力列向量.。式中，Fix、Fiy和Mi为结点i在整体坐标系的水平力、竖向力和力偶。若有非结点荷载作用时，可根据9.6节的方法将其移至结点上，形成等效结点荷载，再与原结构结点荷载叠加形成结构结点力。在此讨论只有结点力作用的情况。

现在要将离散的单元组合成整体。各单元和各结点的隔离体如图9.9b所示，设各结点力和各单元的整体坐标系的杆端力都是沿整体坐标系的正向作用。

1) 变形协调条件

将单元组合起来时，首先要使各单元在联接处变形协调，即结点位移与各交于该结点的单元杆端位移一致。则有

①②

??2????2????2??

①???1????1?? (a)

?③

??3????3???

2) 结点平衡条件

分析结点处的平衡条件：作用于结点的外力与各交于该结点的单元在该结点处的杆端力应满足平衡方程。对结点2，则有

?F?0，F①x2x?F②

2x?F2x ?Fy?0，F2y?F①?F②2y2y ?M2

?0，M

?M①M②

2?2

写成矩阵形式

?F①②

2x??F?F??2x????F2x??①②??2y???F2?M??y???F2y? ①???M②?2??M2?2?

即

?F②

2???F①

??F2? 下面将整体坐标系的单元刚度方程(9-20)写成分块形式

???Fee

?i????????Kii?e??Kij?????i?e??e???????ee

???

??Fj?????????Kji????Kjj????????e? j???展开式(c)，可得

?Fe

??Kii???i???e

?Kij????j?

? Fe

???ji????i????Kjj????j?

由式(d)得各单元刚度方程为

对于单元①(i?1，j?2)则

?① ?

??F①1???K11???①1???K12?①??2?①

F ?①①①①①

??2???K21???1???K22???2?

对于单元②(i?2，j?3)，则有

? ???F2

?②??K②22???2?②??K②23???②

3??? ?②②②②②

??F3???K32?2???K33???3?

对于单元③(i?3，j?4)，则有

? ???F③?K③③③??③

3??33???3???K34?4???K ??F③③③③③ ?4?43???3???K44???4?

对于结点2，将式(e)、(f)带入式(b)，则有

?F①①?K①①②②②②

2???K21???1??22???2???K22???2???K23???3?将式(a)带入式(h)，有

?F①

2???K21???1????K22?

①

??K②

22?

???②

???K

???3

类似地，对节点1、3、4可得类似的方程

?F①

①

1???K11?

??1???K12???2?

?F②

3???K32

???????K?②

??K?③

???3

(b)

(e) (f) (g) (h)

?F4???K43?

③

??3???K44???4?

③

将上面4个方程汇集一起，并按结点编号顺序写成分块矩阵形式为

①①

??K12??0??0????F1????K11????1???②①②②???

?K22???K22??K23??0?????F2????K21????2??

?????? (9-22) ③②③③?F??????K32??K33???K33??K34???3??3???0?

??F4???③③??????????0?0KK????????4?4344??或

?F???K???? (9-23) 式(9-23)反映了结构结点力与结点位移之间的关系，称为结构的原始刚度方程。其中

1 2 3 4

①

??K11?①K1?20?0??1 ?????②①②②??K21??K2?2??K?22?K?23?0??2

?K???? (9-24) ②②③③

??0??K32??K3?3??K?33?K?3?43 ?③③?4

00KK?????????4344???

称为结构的原始刚度矩阵。

结构的原始刚度矩阵具有如下特点：

(1) 每个非零子块都是各单元刚度矩阵中的一个子块或几个子块之和。

(2) 每一行(或列)的子块个数都等于结点个数。在?K?上方和右侧按结点编号顺序标上结点序号，参见式(9-24)。

(3) 各单元刚度矩阵中的每一个子块??Kij??，将其下标换成单元结点编号后，可直接放在原始刚度矩阵中的相应位置。如子块??23??应放在原始刚度矩阵的第2行第3列的位置上。

???(4) 具有相同下标的各单元刚度矩阵的子块，如??K22?和?22?，将被放在原始刚

①

②

度矩阵的同一位置上，且进行叠加。而在没有单元刚度矩阵子块入座的位置则为零子块。由各单元刚度矩阵应用对号入座的方法直接装配成原始刚度矩阵的方法，称为直接刚度法。

9.4.2 结构原始刚度矩阵的性质

对称性

结构原始刚度矩阵是由整体坐标系的单元刚度矩阵集装而成的，而整体坐标系的单元刚度矩阵是由对称的局部坐标系的单元刚度矩阵变换得到的，所以结构原始刚度矩阵也必然是对称矩阵。即?K?中的元素满足

Kij?Kji

2 奇异性

因为单元刚度矩阵本身是奇异的，所以，由其集装成的结构原始刚度矩阵也具有奇异性。只有引入支承条件，经过处理后才可成为非奇异矩阵。

9.4.3 举例

【例9-3】试建立如图9.10所示连续梁的结构原始刚度矩阵。

图9.10

解：

(1) 对单元和结点编号，如图9.10所示。 (2) 由式(9-9)写出各单元的刚度矩阵。

1 2

①EI?3.331.67?1 ①

?K???K???1.673.33? 2 ??l????

2 3

②EI?42?2 ?K???K?②??24? 3 ??l????

3 4

③EI?42?3 ?K???K?③??24? ??l????4 4 5 ④EI?3.331.67?4 ?K???K?④??1.673.33? ??l????5

(3) 利用直接刚度法形成结构原始刚度矩阵：

结构有5个结点，结构原始刚度矩?K?的分块形式为5行5列。连续梁单元由于局部坐标系和整体坐标系是一致的，所以各单元刚度矩阵不用坐标变换，可直接分块编号，对号入座形成结构原始刚度矩阵。另外，由于连续梁单元刚度为2×2阶矩阵，故分块后每个子块只有一个元素。

1 2 3 4 5

1.67000??3.331

?1.673.33?4?200?2 ?EI

24?420??K????0? 3

0024?3.331.67?4 ??0001.673.33????5

?3.331.67?1.677.33EI???2?0l?

00?

0?0?000?

200???820? 27.331.67?

01.673.33??

【例9-4】利用【例9-2】的结果，求如图9.8所示平面刚架的结构原始刚度矩阵。

解：将【例9-2】中已形成各整体坐标系的单元刚度矩阵分块编号。 1 2

06.94?2.3106.94??2.31

?0?1 83.300?83.30???6.94027.8?6.94013.9? ①

?K??10?3??

?2.310?6.942.310?6.94?? ?0?83.30083.30?2 ??6.94013.9?6.9400???? 2 3

00?52.500??52.5

?00.583.470?0.583.47???2 ?03.4727.80?3.4713.9? ②?3

K?10????

?52.50052.500?? ?0?0.58?3.4700.58?3.47?3 ??03.4713.90?3.4727.8???? 4 3

06.94?2.3106.94??2.31

?0?83.300?83.30??4 ?6.94027.8?6.94013.9? ③

?K??10?3??

?2.310?6.942.310?6.94?? ?0?83.30083.30?3 ??

013.9?6.94027.8??6.94??

结构有4个结点，故结构原始刚度矩阵的分块形式为4×4阶，将各单元刚度矩阵的

子块直接对号入座，得

?K??

1 2 3 4

06.94?2.31

?083.30?

?6.94027.8?

0?6.94??2.31

?0?83.30?

013.9?6.94

103?

000?

00?0

?000?

00?0

?00?0

?2.310

0?83.3

6.94

0?1 ?0?

?00000

00000?

2 ?0.58?3.47000??

3.4713.9000? 0?6.94?

2.310?6.94? ?83.883.470?83.80?3

3.4755.66.94013.9? 06.942.3106.94?

?83.80083.80?

013.96.94027.8??00

?6.94013.9054.810?6.94?52.5083.88?3.470?6.94?3.47?52.500?0.580?3.47000000

55.6

03.4713.9000

052.50?6.94?2.310?6.94

9.5 边界条件的处理

为了便于编制程序和提高程序的通用性，通常只采用一种单元(即自由单元)来建立结构原始刚度方程。从9.42讨论可知，结构原始刚度矩阵是奇异的，其逆矩阵不存在，故不能从结构原始刚度方程求解结点位移。而实际结构都具有足够的约束，构成几何不变体系，因此只有引入阻止结构刚体位移的边界条件，修改结构原始刚度方程之后，才能得到结点位移的惟一解答。

现以如图9.11所示刚架为例，讨论边界条件的处理方法。

由图9.11可知，结点1、4的位移均为零，即边界条件为??1???0?，??4???0?。

将上述条件代入如图9.11所示刚架的原始刚度方程，则有

图9.11

??F1????K????11??F2????K21?????F???3???K31??F???K41???4???

?K?K?K?K

12223242

?????K?K?K?K

13233343

?????K?K?K?K

14243444

?0?????????

?????? (9-25)

????????????????0??

式中，?F2?、?F3?是已知结点荷载；??2?、??3?是待求的结点位移；?F1?、?F4?是未知支反力。

由式(9-25)利用矩阵的乘法，则有

???F2?????K22? ??????F3?????K32??和

?K?????????

? (9-26) ??

K??????????

???F1?????K12? ????

F???2?????K41??K?????????

? (9-27) ??

?K?????????

由于已考虑了约束条件，此时结构无刚体位移，则方程(9-26)的刚度矩阵是非奇异

的。将由方程(9-26)解出的结点位移值代入方程(9-27)，即得支反力值。

方程(9-26)是结构原始刚度方程(9-25)引入边界条件而得到的，由于它反映了已知结点荷载与未知结点位移的关系，方程(9-26)称为结构刚度方程，其刚度矩阵称为结构刚度矩阵。不难看出，结构刚度矩阵是从结构原始值中删去与已知为零的结点位移向量所对应的行和列而得，它是非奇异的。

上述方法是先不考虑支座位移的限制，在采用自由单元集成结构原始刚度矩阵以后，再引入边界条件，修改结构原始刚度矩阵，使之成为结构刚度矩阵。这一方法称为后处理法。

常用的边界条件处理方法包括如下。

1.“划零置1”法

如果结点位移分量为零，则可从结构原始刚度矩阵中删掉零位移所对应的行和列，直接得结构刚度矩阵。但这样的做法改变矩阵的阶数，对计算机分析仍不方便。实用的处理方法是：将结构原始刚度矩阵?K?中与零位移分量对应的行和列全部元素置零，而主对角元素置1，同时将?F?中的对应元素置零。对于如图9.11所示刚架的原始刚度方程可修改为

??0????I??0?0??0?????1??????????F??0KK0?2?????22??23??????2?? ?????? (9-28) ?0KK0???????????3233??F3?????3?

?0???0??0????0??0???????????4??

经过这样处理后，刚度矩阵化为非奇异矩阵，且保证了支座位移为零，从而可由式(9-28)求解未知结点位移。此方法称为“划零置1”法，实际上是把边界条件的处理归结为对?K?和?F?的修改，且修改后的?K?阶数不变。

对于不是全部位移分量为零的支座，比如仅竖向位移vi=0，使用“划零置1”法仍然是方便的。

2. 置大数法

如果结点位移分量等于非零的已知值(如支座的沉陷)，则可对该结点位移分量的对应方程进行修改。设结构的结点位移阵列中第i个位移分量?i?C，在结构原始刚度矩阵

中，将主对角线元素Kii改为NKii，将结点荷载列向量中Fi改成CNkii，其中N为一个大数，通常取106以上，经过修改，第i个方程改为

Ki1?1?Ki2?2???NKii?i???Kin?n?CNKii

由于N为很大的数，其余项相对很小，可忽略不计，则有

NKii?i?CNKii 即

?i?C

对于不考虑某杆件轴向变形的情况，将该杆的轴向刚度置大数，便可得出该杆件两端轴向位移相等的结果。

3. 采用先处理法

前面讨论的后处理法是在自由单元刚度矩阵形成原始刚度矩阵以后，再进行边界条件处理。

如果在建立单元刚度矩阵时，就将各单元两端的位移条件先考虑进去，以有约束的单元刚度矩阵，通过对号入座，就能直接形成非奇异的结构刚度矩阵。这种在形成结构刚度矩阵之前引入边界条件的处理方法，通常称为先处理法。

采用先处理法带来的问题是增加了单元的类型，为方便起见，各单元刚度矩阵不是以子块形式，而是以元素形式进行对号入座，建立结构刚度矩阵。只要确定了单元刚度矩阵各元素在结构刚度矩阵的位置，就解决了由单元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵的问题。

在先处理法中，先对结构结点位移进行编码，凡结点位移分量为零的编码均用“0”来表示，如图9.12所示。

引入单元定位向量?，它是由单元杆端整体位移编码所组成的向量。对于如图9.12所示结构，各单元定位向量为

单元①： ?①?(0,0,0,1,2,3)T

单元②：

?②?(1,2,3,0,0,4)T

图9.12

有了单元定位向量，就可以确定单元刚度矩阵各元素在结构刚度矩阵的位置。如图9.12所示结构各单元整体坐标系的单元刚度矩阵记为

0 0 0 1 2 2

?K11?K?21?K??31?K41?K51???K61?K11?K?21?K31???K41?K51??K61?

?K?

①

K12

K22K32K42K52K62K12K22K32K42K52K62

K13K23K33K43K53K63K13K23K33K43K53K63

K14K24K34K44K54K64K14K24K34K44K54K64

K15K25K35K45K55K65K15K25K35K45K55K65

K16?0 K26??0 K36?0 ? K46?1 K56?2 ?K66??3 K16?K26??K36??K46?K56??K66??

②

①

1 2 3 0 0 4

2 3 0 0 4

?K?

②

将各单元定位向量写在各单元刚度矩阵的上方和右侧。在单元刚度矩阵中单元定位向量为零对应的元素不参加集装，故结构刚度矩阵为

1 2 3 4

①②①②①②②?K44??K11K45?K12K46?K13K16?①②①②①②②?K54?K21K55?K22K56?K23K26? ?K???①②①②①②②?K64?K31K65?K32K66?K33K36???②②②②

KKKK?61626366???

2 3 4

9.6 非结点荷载的处理

前面推导的结构刚度方程是以只承受结点荷载为前提的。但在实际工程中，结构往往受非结点荷载的作用，这样就需对非结点荷载进行处理，将其转换为等效结点荷载，然后才能按结点荷载建立的方程求解。

下面以如图

9.13(a)所示刚架为例，介绍非结点荷载的处理问题。

图9.13

首先在3个结点上各加一个附加刚臂，在结点2处再加两根附加链杆，如图9.13(b)所示。这样两个单元均为两端固端梁，在原荷载作用下，各单元将产生固端力。由表7章

表7-1可得：

单元②的固端力：?F?

单元①的固端力：FF

①

②

???0,F

?0,F

F①S1F②S2

,M,M

F①1F②2

,0,F,M,0,F,M

②S3

①S2F①2F②3

? ?

然后将结构上的附加联系取消，将各单元的固端力反号加于各结点，如图9.13(c)所示。此时，作用于结构上的荷载图9-13(c)所示称为原非结点荷载在局部坐标系的单元等效结点荷载。其一般表达式为

?F?

??FF

?? (9-28)

由于如图9.13(b)所示结构的结点位移均为零，则如图9.13(a)和图9.13(c)所示结构就有相同的结点位移。因此，这里的等效结点荷载是指结点位移等效。

结构的结点荷载是在整体坐标系下来描述的，对于局部坐标系各单元等效结点荷载需进行坐标变换。由式(9-15)得到在整体坐标系中的单元等效结点荷载为

?FE?

??T?

?F?

???T?

?F? (9-29)

最后各单元等效结点荷载可采用与集成整体刚度矩阵的类似方法，求出结构等效结点荷载?FE?。

如果在原结构上还直接作用有结点荷载?FD?，则总结点荷载(称为结构综合结点荷载)为

?F???FE???FD? (9-30)

最后指出，当有非结点荷载作用时，单元杆端内力应由综合结点荷载引起的单元杆端力和单元固端力叠加而得，参见图9.13。由于单元杆端力的计算应在单元局部坐标系下进行，则有

????K??

??? (9-31a)

?FF

我们知道结构结点位移???求出之后，各单元整体坐标的单元杆端位移???成为已知量，由坐标变换可得

?为此，单元杆端力为

??T????

????K??T?????FF

?? (9-31b)

若单元上无非结点荷载作用，式(9-31)中单元固端力项为零。

【例9-5】试求如图9.14所示平面刚架综合结点荷载向量。

解：将单元和结点编号，选取单元局部坐标系和结构整体坐标系，如图9.14所示。

图9.14

(1) 求局部坐标系的单元等效荷载

单元①：由第7章表7-1得单元固端力为

?F?

①

??0,4,5,0,4,?5?T

由式(9-28)得局部坐标系等效结点荷载为

?F?

①

???FF

??0,?4,?5,0,?4,5?T

单元②：由第六章表-1得单元固端力为

?FF

②

??0,12,10,0,12,?10?T

由式(9-28)得局部坐标系等效结点荷载为

?F?

②

???FF

??0,?12,?10,0,?12,10?T

(2) 求整体坐标系下的单元等效结点荷载。单元①：?=90°，由式(9-29)得

?0?1

000???0?4?

100000????????4??0??F?

①

???

001000???E

??T?T

?FE

①

?5?????5???0000?10?????0??????? ?

000100???4??4

???

00000

1??????5?????0??5?

单元②：?=0，得

1 2

?FE?

②

?FE

②

?0???12???2 ??10? ?????? ?0??? ??12?3 ???10?

(3) 计算等效结点荷载

将已形成的整体坐标系单元等效结点荷载向量分块并按单元结点进行编号，对号入座形成结构等效结点荷载向量：

?4??0?1 ????5? ?????

??FE①???1????4?

①②?

?FE?????FE2???FE2?????12? 2

?②???5? F?????E3???

??? ?? 0????12?3 ??10??

(4) 形成直接结点荷载

?FD???FX1Fy1M162?5Fx3FY3M3?

(5) 计算综合结点荷载

?Fx1???Fy1???M??1????

??F1???10?

?????? ?F???FE???FD????F2?????10?

????10?F??3????

?????Fx3???Fy3???M??3??

其中?F1?、?F3?为支座处等效结点荷载和支反力之和，而支反力是未知的，又由于引

入边界条件时，?F1?、?F3?将被删去或修改，所以此处?F1?、?F3?用支反力来代替。

此例题也可采用先处理法。将各结点按结点位移编码，如图9.14所示。单元定位向

量为

?①??0,0,0,1,2,3? ?②??1,2,3,0,0,0?

将整体坐标系下的单元等效结点荷载按单元定位向量集装成结构等效结点荷载，由于 0 0 0 1 2 3

①T

?FE???405405? 1 2 3 0 0 0

②T

?FE???0?12?100?1210? 则结构直接结点荷载为

1 2 3

?FE???4?12?5? 1 2 3

?FD???62?5? 结构综合结点荷载为

1 2 3

?F???FE???FD???10?10?10? 此处的?F?为已知的结点荷载。

9.7 结构矩阵分析举例

通过上述各节的讨论，矩阵位移法的计算步骤可归纳如下：

(1) 结构离散化，将结构的结点、单元、结点位移进行编码，选择结构整体坐标系和各单元局部坐标系。

?(2) 形成局部坐标系下的各单元刚度矩阵??K?。

eeT

??(3) 坐标变换，计算整体坐标系下的单元刚度矩阵?K???T??K??T?。

(4) 利用直接刚度法，集装结构(原始)刚度矩阵?K?。

(5) 计算等效结点荷载?FE?，求结构综合结点荷载?F?，具体步骤如下。 ① 求局部坐标系下的单元等效结点荷载?FE???FF② 求整体坐标系下的单元等效结点荷载?FE?

??。 ??T??F?。

③ 集装结点等效结点荷载?FE?和形成结构直接结点荷载?FD?。 ④ 叠加得结构综合等效结点荷载?F???FD???FE?。

(6) 若采用后处理法，需要进行边界条件处理，建立结构刚度方程 (7) 求解结构刚度方程?K??????F?，解得结点位移???。

(8) 计算局部坐标系下的各单元的杆端力????????T??????F?，并作出结构的内力图。

【例9-6】用矩阵位移法计算如图9.10所示连续梁的内力。

解：

(1) 结构离散化。

(2) 计算单元刚度矩阵。 (3) 形成结构原始刚度矩阵。以上计算结果见【例9-3】。

(4) 计算结构等效结点荷载向量。

由于单元局部坐标系和整体坐标系一致，故单元等效结点荷载向量为。

?ql2??①①①?12????4.32?

???FE??FE??FE???2??

4.32ql?????

??12???ql2??③③③?12????3?

F?F??F????? EE?E??2?

??ql??3???12??

????

?FE??FE?FE?

对号入座，形成?FE?为

④

②

????

②

?FE

④

?0???? ?0??0???? ?0?

??4.32??4.32????

?FE????3??

?3???0????

结构上无结点荷载，故结构综合结点荷载为

??4.32??4.32????

?F???FE????3??

?3???0????

结构的原始刚度方程为

00???1???4.32??3.331.670

?4.32??1.677.332????00?2???EI??????

?02820???3? ??3??

????3?l?0027.331.67????4???

?001.673.33????0???0???5??(5) 边界条件处理

引入边界条件：?1?0，?5?0则得结构刚度方程为

0???2??4.32??7.332

??EI????? 282??3?????3?l?3????27.33??0???4???

(6) 求解结构刚度方程

??2??0.786?

??l?

??????3????0.723??

EI????0.606????4?

(7) 计算各单元杆端力

?F F

①

????k?

①

???F?

①

??4.32??5.63??3.331.67??0

=???0.786????4.32?=??1.70? 1.673.33????????

???②

????k?

②

???

②

?FF

②

?42??0.786??0??1.70? =????0.723???0?=??1.32? 24????????? F???k??FF

?42???0.723??3??1.32?

=???0.606????3?=??2.02? 24????????

③

???

③

④

????k?

④

???

④

?FF

④

?3.331.67??0.606??0??2.02? =?????=?? ??01.673.3301.01????????

(8) 作出结构弯矩图，如图9.15所示。

图9.15A

【例9-7】试用矩阵位移法计算如图9.16所示刚架的内力。解：

(1) 结构离散化。

(2) 计算单元刚度矩阵。

(3) 形成结构原始刚度矩阵。

图9.15

以上计算结果见【例9-2】和【例9-4】。

(4) 计算结构等效结点荷载和结构综合结点荷载。

利用式(9-29)计算各单元整体坐标系下的等效结点荷载。单元①：?=90°，sin?=1，cos?=0，则

?0?1

?10?

?00??

?00?00???00

010000000000?11000

?3?

0??0????3??0?1 0?????3? 0???3???????? 0??0???

?3? ?????03

????0?2 1?????3????

??3?

?FE?

①

???T?FF

?①

单元②、③：无非结点荷载作用，则

2 3

②T

?FE???000?000? 3 4

③T

?FE???000?000? 将单元等效结点荷载按结点分块编号，集装结构等效结点荷载为 1 2 3 4

?FE???303?30?3?000?000? 而

1 2 3 4

?FD???Fx1Fy1M1?000?000?Fx4Fy14M4? 结构综合结点荷载为

1 2 3 4

?F???FD???FE???Fx1Fy1M1?30?3?000?Fx4Fy14M4? (5) 引入支承条件，修改结构刚度方程

由图9.15可知：u1?v1??1?0，u4?v4??4?0，采用“划零置1”法，结构刚度矩阵为

?0??1?0??0????0??0????0??0??3??0???00???3??10?0??0????0??0????0??0?0??0???0???0?0???0??

10000000000000000000000001000000054.810?6.94?52.5000083.88?3.470?0.58?3.470?6.94?3.4755.603.4713.90?52.50054.810?6.9400?0.583.47083.883.4700?3.4713.9?6.943.4755.6000000000000000000000

?0??0?

?????1???0? ??4????0?

?0??0??????847??824?

???

??2????5.13? ??3????5.13?

?28.4??96.5?????

00000000100000000000010

0??u1???v0???1?0???1????0??u2?0??v2????0???2??? 0??u3??0??v3????0???3?0??u4????0??v4???1????4?

(6) 解方程求出结点位移???

(7) 计算各单元局部坐标系下的杆端力F 单元①： ?=90°，则

?F?

①

??K?

①

???

①

??FF?

①

06.94?2.3106.94??0???3???4.76??2.31

???????083.300?83.30????0??0???0.43?

?6.94027.8?6.94013.9??0???3????8.49??

=10?3??????????

?2.310?6.942.310?6.94847?3?1.24????????

?????0?0.43??83.30083.30?5.130

????????

6.94013.9?6.94027.828.43?2.09????????????????

??0.43??4.76???

①?①??8.49??

F??T??F????

0.43???1.24????2.09????

?单元 ②： ?=0°，则

②

??F???K?

②

???

②

00?52.500??847??1.24??52.5

?0??5.13???0.43?0.58?3.470?0.58?3.47??????

?????0?3.4727.803.4713.9?28.4??2.09??

=10?3???????

0052.500??824???1.24???52.5

?0?0.583.4700.583.47???5.13??0.43???????0?3.4713.903.4727.8????96.5????3.04????

单元③：?=90°，则

?F?

③

??K?

③

???

③

06.94?2.3106.94??0???1.24??2.31

??0.43??0??083.300?83.30??????

??6.94027.8?6.94013.9???0????4.38??

=10?3???????

?2.310?6.942.310?6.948241.24???????0?83.30083.30???5.13???0.43???????6.94013.9?6.94027.896.5?3.04????????????

?0.43??1.24???

③?③??4.38??F??T??F????

?0.43????1.24????3.04????

?(8) 绘制内力图，如图9.17所示。

图9.17

【9-8】试用矩阵位移法计算如图9.18所示平面桁架的内力。EA=常数。

解：

(1) 给单元和结点编号，如图9.18所示。

(2) 计算局部坐标系下的单元刚度矩阵。由式(9-7)，则得单元①、②、③、④在局部坐标下的单元刚度矩阵为

?1?①②③④EA?0

?K???K???K???K??????????l??1

??0

0?1000100

0?0?? 0??0?

单元⑤、⑥在局部坐标系下的刚度矩阵为

图

9.18

?1?⑤⑥0

?K???K???????1

0?1000100

0?0?? 0??0?

(3) 求整体坐标系下的单元刚度矩阵。坐标变换矩阵采用式(9-21)。单元①、③：?=90°，则

?0??1?T???

?0??0

1000000?1

0?0?? 1??0?

00?0?1?? 00?

?01?

?K?

单元⑤：?=45°，则

①

??K???T?

③

?00

?①EA?01

?K??T????l?00

?0?1

?K?

⑤

??T?

0?0?? 1??1?

?11?1?1???⑤11?1?1?

?K??

T?? ???1?111?

???1?111?

?1??1?

T??0?0

1010010?1

单元②、④：?=0°，则

?K?

单元⑥：?=135°，则

②

??K?

④

?EA?0?

l??1??0

0?1000100

0?0?? 0??0?

?K?

⑥

??1100????1?100?

?T???00?11??00?1?1?

?1?1?11???⑥?111?1?T

???T?

??K??T???111?1?

??1?1?11?

(4) 集装结构原始刚度矩阵

将各整体坐标系下的单元刚度矩阵分块并按单元结点编号，对号入座形成结构原始刚度矩阵为

0.3500?0.35?0.35?10??1.35

?0.351.35?0?1?0.35?0.3500???001.35?0.35?10?0.350.35???

?1?0.351.35000.35?0.35?EA?0

?K???

?101.350.3500?l?0.35?0.35

???0.35?0.35000.351.350?1????10?0.350.35001.35?0.35???000.35?0.350?1?0.351.35????

(5) 计算结点荷载向量。

?F???FD???Fx1,Fy1,10,10,0,0,Fx4,Fy4?

(6) 引入支承条件。

由于u1?v1?u4?v4?0，采用“划零置1”法，修改后的刚度方程为

000000??u1??0??10

?0??01??v?000000?????1??10??001.35?0.35?1000??u2???????1000?0.351.350000???EA???v2?

???0??101.350.3500??u3?l?00

????

00000.351.35000?????v3?

???0??00000010??u4?

????

??000001????00??v4??0??

(7) 解方程，求出结点位移。

?u1??0????0??v1????u2??26.94??????v2?1?14.42?

?????????

?u3?EA?21.36??v3???5.58????0??u4????v?0?????4?

(8) 计算各单元在局部坐标系下的杆端力

单元①：

①

??T??K?

①

???

①

?0??1=??0??0

1000000?1

0??00?010???

1??00??

0??0?100??0???14.42?

?0??0?0?1??????????? 00??26.94??14.42?

??01???14.42????0?

②

单元②：

?F?1

?0=???1??0

②

??F???K????

②

0?1000100

0??26.94??5.58??14.42??0?0???? ?????

??0?21.36??5.58?????0???5.580??????T??K?

③

单元③：

③

???

③

??1=??0??0

1000000?1

0??00?010???

1??00??

0??0?100??0??5.58?

?0??0?0?1??????????? 00??21.36???5.58?

??01????5.58????0?

?0?

?0?????? ?0???0??

单元④：

④

??F???K?

④

???

④

单元⑤：

⑤

??T??K?

⑤

???

⑤

?1??10?0

1010010?1

0????7.89??11?1?1??0

??0????00?????11?1?1???????

1??1?111??26.36??7.89????1???1?111????5.58????0?

单元⑥：

?F?

⑥

??T??K?

⑥

???

⑥

??6.26???1100??1?1?11??0

??1?1000?1?00?1各杆内力值如图9.19所示。0????1111???1?111??1?1?1

图9.19

?1??1??

?????0?????0??

1??26.94???6.26????

14.42????0??