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初等数论与组合数学都是自主招生考试（笔试）的重要内容且难度较大、大多数考生也感到生僻，本专题将以例题和练习题的形式对此内容作详细讲解。这些题目基本上涵盖了近几年自主招生数学试题中这方面的典型题目。
所以原方程的所有正整数解为（x，y，z）=（2，3，6），（2，4，4），（3，3，3）.
例1 与2003年上海交通大学冬令营选拔测试数学试题第12题“3个自然数倒数和为1，求所有的解”实质相同。
例2 （2012年北约第6题）在1，2，…，2012中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？
解 将1，2，…，2012分成（1，2，3），（4，5，6），…，（2008， 2009， 2010），（2011，2012）这671组。
若取的数至少是672个，则一定有一组的数取了两个，不妨设为a，b（a>b），得a-b=1或2.
若a-b=l，得a+b能被a-b整除；若a-b=2，得a+b=2+2b也能被a-b整除，均不满足题意。
所以至多只能取671个数。
若取671个数1，4，7，…，2011（它们都是3k+l（k=0，1，2，…，670）形数），其中的任意两数之和被3除余2，而这两数之差是3的倍数，所以这671个数满足题意。
即最多能取671个数。
例3 （2013年华约第6题）设x， y， z是三个两两不等且都大于1的正整数，若xyz整除（xy-l）（xz-1）（yz-l），求x，y，z的所有可能值。
不妨设2≤x
得2yz"yz+2y+2z-l，2yz≤yz+2y+2z-1， yz≤2y+2z-1<4z， yx=2，所以y=3.得6z|5z+5，6z≤5z+5，z≤5，又z>y，得z=4，5，经检验，z=4不符.可得z=5.所以（x，y，z）=（2，3，5）.进而可得全部答案为（x，y，z）=（2，3，5），（2，5，3），（3，2，5），（3，5，2），（5，2，3），（5，3，2）.
例4 （2010年浙江大学自主招生数学试题第六题）如图1所示，一条公路两边有六个村庄，现要建个车站，使得车站到六个村庄的距离和最小，应该选在哪里建最合适？如果公路两边有七个村庄，那么车站应建在哪里？
注 同理可得：在本题中，若是七个村庄，应在正中间的村庄（即第四个）处建车站.
巩固练习
1.（2012年华约第2题）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同排列方式共有
（
）
A. 36种
B.60种
C.90种
D.120种
2.（2009年复旦大学千分考第123题）用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？
（
）
A.2种
B.3种
C.4种
D.5种
4.（2012年复旦大学自主招生数学试题）记2012！=1×2×3×…×2012为从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是____.
5.（2002年上海交通大学自主招生暨冬令营数学试题第16题）在一个环形地带上顺次有5所学校A，B，C，D，E，它们各有15，7，11，3，14台机器.现在要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行.为了使总的运输台数最少，则A应给B
台，B应给C
台，A应给E______台，总共运输_____台.
6.（2013年北京大学保送生考试第4题）称{1，2，3，…，9）的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数.问该集合共有几个奇子集？
7.（2013年北约第7题）最多能找出多少个两两不等的正整数，使得其中的任意三个数之和均为质数，并证明你的结论. 素同时满足：（a）各数位上的数字互不相同；（b）任意两个数位上的数字之和不为9.求：
（1）B中有多少个两位数？多少个三位数？
（2）B中是否有五位数？是否有六位数？
（3）将B中的元素从小到大排列后，第1081个元素是多少？
参考答案
2.B.该正多边形内角的度数应是360的约数，所以只能是60，90，120三种.
4. 501.所求答案即2012！的分解质因数的式子中5的指数，也即
5.3，O，2，12.平均每校10台，有以下几种情形：
（1）A给B5台，B给C2台，C给D3台，E给D 4台，合计运输14台.
（2）A给B4台，B给C1台，C给D2台，A给El台，E给D5台，合计运输13台.
（3）A给B3台，B给CO台，C给D1台，A给E2台，E给D6台，合计运输12台.
（4）A给B 2台，C给Dl台.A给E3台，E给D7台，合计运输13台，
从而可得答案.
7.任意一个正整数必是以下三个集合之一的元素：
所以所找的正整数不会包含同一集合的四个元素，也不会同时包含上述三个集合中的各一个元素，否则其中必有三个元素的和是3的倍数，
所以所找的正整数最多是2×2=4个，又可验证15，7，11满足题设，所以答案为4.
8，将O，1，2，…，9中和为9的数字两两配成5对：（O，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5）.
得B中的元素不能同时含有任意一对数字中的两个数字。
（1）对于B中的两位数：十位数字有9种选法（可选l，2.…，9）；十位数字选定后，个位数字有8种选法（与十位数字不同，且不能是上面配对的数）.所以B中的两位数为9×8=72个，
对于B中的三位数：百位数字有9种选法（可选l，2，…，9）；百位数字选定后，十位数字有8种选法（与十位数字不同，且不能是上面配对的数）；百位、十位数字均选定后，个位数字有6种选法（与百位、十位数字均不同，且均不能是上面配对的数）.所以B中的三位数为9×8×6= 432个.
（2）B中有五位数，比如.
因为在上面配成5对数的每对数中至多只能选一个作为B中数的数字，所以B中没有六位数.
（3）由（l）的结论知，B中的两位数、三位数共72+432= 504个，同理可求得B中的四位数为9×3×6×4 =1728个，
所以将B中的元素从小到大排列后，第1081个元素是四位数，且是四位数中从小到大的第1081-504=577个.
B中的四位数中，千位数字为l，2，3的均为8×6×4 =192个，共192×3=576个，所以所求答案是下位数为4的最小的四位数，即4012.
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