摘 要：泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，泰勒展式的应用更是极其重要的一部分。泰勒展式的应用主要是将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的重要工具与方法。
关键词：泰勒展式；初等函数；应用；近似计算
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：2095-2627（2017）14-0086-11
本文主要研究泰勒展式在高等数学问题中的几种应用，以解题为主。首先，介绍的是泰勒展式和泰勒公式的相关联系与区别。然后，进入到泰勒展式在高等数学解题中的具体应用。主要应用泰勒展式来求极限，进行近似计算，求极值和最大最小值，不等式和积分的证明，判断级数的敛散性，求初等函数的幂级数展开式，求高阶导数在某些点的数值等等。
绪言
泰勒展式作为将一些复杂函数近似表示为简单的多项式函数的有效工具，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。
泰勒展式作为工具，在各个领域有着广泛的应用，例如：近似计算，求函数的极限和定积分，不等式、等式的证明等方面。除此之外，泰勒展式也应用在级数的相关问题中。泰勒展式的使用往往能让问题峰回路转，使问题变得简单易解。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
1797年之前，拉格朗日最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
1715年泰勒出版了《增量法及其逆》一书，在这本书中载有现在微积分教程中以他的名字命名的一元函数的幂级数展开公式，即泰勒级数。
1755年，欧拉把泰勒级数用于他的“微分学”时才认识到其价值，后来拉格朗日用带余项的级数作为其函数理论的基础，从而进一步确认了泰勒级数的重要地位勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世泰勒定理在数学发展史上有着重要的作用。
第一章 泰勒展式
1.1 泰勒展式的由来
我们学习过的各类函数中，多项式是最简单的一种。在近似计算和理论分析中，用多项式逼近函数是一个重要的内容。
通过导数和微分的学习，我们可以知道，如果函数f 在点 处可导，则有：
它所表达的是，在点 附近，用一次多项式 逼近函数 时，它的误差为 的高阶无穷小量。在很多场合，取一次多项式逼近是远远不够的，往往需要两次三次，甚至多次的多项式去逼近，也要求误差为 ，其中 为取多项式的次数。下面我们来看看任意 次多项式的具体情况。
下面来求其在点 处的各阶导数，可以得到：
也可以得到
我们可以看出来， 的各项系数是由它在点 处的各阶导数值确定的，同时具有唯一性。
通过上述的求导，我们就可以得到如下：
针对一般的函数f，假如它在点 处存在并且直到 阶的导数。现在，把这些导数联立起来，构造一个 次多项式，如下：
即得到一个泰勒多项式。当这个多项式的项是无限时，是不是就可以发现并推导出泰勒展式了。
之前我们就已经提到，用多项式来逼近函数 时，其误差为 ，即其误差是关于 的高阶无穷小量。下面我会从 的高阶无穷小量來证明推导带有佩亚诺型余项的泰勒公式和相应泰勒展式。
1.2 具有佩亚诺型余项的泰勒公式以及相应的泰勒展式
定理1.1[1] 若函数 在点 存在直至 阶导数，则有 = + ，即：
（2.1）
其中，
上述中，公式（2.1）称为函数 在 处的带有佩亚诺型余项的泰勒公式，形如 的余项称为佩亚诺型余项。从中我们可以得到的泰勒展式为：
如果（2.1）式中取 ，则得所谓带有佩亚诺型余项的麦克劳林（Maclaurm）公式：
，这个公式用的也比较多。
证（定理1.1）：设 = - ， =
现在只要证得 ，即可得证。
在泰勒公式的学习中，我们知道：函数 与其泰勒多项式
在点 有相同的函数值和相同的直至 阶导数值，即：
所以，
因为 存在，所以在点 的某邻域 上 存在 阶导函数 。因此，当 ∈ 且 → 时，可以多次连续使用罗必达法则（设函数 和 满足： . ， ； . 和 在 上可导； . .则 = ）在 次，得到：
=0
定理得证。
同时，所证定理1.1，也称（就是）函数f在 处的泰勒公式。相应的泰勒展式也就得以证出。
常遇到泰勒展式的相应函数：
（1）指数函数 .
（2）正弦函数
（3）余弦函数 .
（4）函数 .
（5）函数
（6）函数 .
（7）函数 .
证：（1）由于 （ ），可以知道 的各阶导数在 处取值为1，即：
于是，当 时，有
（2） 时， （ ），我们可以得到
即， 为偶数时， ，还可以得到
所以，可以得到
（3）.同理（2），我们可以得到
（4）.经过计算我们可以得到
综上，我们可以得到
， （ ）
于是当 →0时，有
（5）.根据函数 ， ，经过计算我们可以得到
于是当 →0时，可以得到
（5）得证。
其中，当 ，可以得到
，（6）得证。
而当 时，可以得到
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