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摘 要：已有的EPQ模型常假设供应商提供的信用期是给定的，甚至只考虑了不允许缺货的情况。本文在允许延期支付的条件下，建立了允许缺货的EPQ模型。最后通过算例验证了模型的有效性及对主要参数进行了灵敏性分析，为供货商和制造商做出最佳决策提供帮助。
关键词：延期支付;允许缺货;EPQ模型;信用支付策略
一、引言
随着商业环境的不断变化，企业之间的竞争转化为供应链与供应链间的竞争。为了激发需求，供货商就会提供给制造商一定的延期支付时间，即信用期。Goyal首先将信用支付纳入到库存模型中来。随后，许多学者对Goyal的模型进行了延伸探索。Teng和Min等认为需求是一个关于时间递增的线性函数。Lin和Ouyang等则认为顾客的需求与信用期的长短有关 。
因为决策信用期的长短对于供货商来说起着举足轻重的作用。汤勤深等考虑在信用期对需求的影响下，建立了分散独立决策库存系统。潘义前等在信用支付和允许缺货条件下，建立了允许缺货且短缺量部分延期供给的库存模型 。
本文在文献[4]和文献[5]基础上，假设需求受价格影响，在允许缺货的情况下，建立生产环境下的EPQ模型，为制造商决策补货周期和供货商决策信用期提供帮助。
二、 模型建立
1.模型符号。本文是在一个订货周期T进行建模及求解， Q为每次订购的原材料量;单位原材料的采购成本是c;产品售价为s;每次订货费用为A;单位产品的库存成本为h;单位时间的产品需求率与价格成线性关系，，制造商的生产率为;为t时刻的库存;制造商每年的利息支付率和收益率分别为Ip和Ie。供货商提供的延期支付时间为M，向上一级采购材料的单位成本为v，每次订货费用为A，供货商每年的利息收益率为Is。
2. 模型假设。本文假设单位原材料生产单个产品，允许缺货且缺货全部积压;所缺产品将在下一生产周期初开始送达;供货商提供一定的延期支付时间即信用期M给制造商;假设供货商采用lot-for-lot（按需订货法）策略，。
3. 模型建立。整个生产-库存过程是从t=0时刻制造商开始生产，在生产过程中满足当时需求的同时还拥有库存，当库存达到最大时，即从t2时刻开始停止生产，需求消耗库存，当t=t3时，库存降为0，在至T时间段中，缺货会产生缺货积压。当缺货积压达到最大允许缺货量时进入下一周期。
库存水平I（t）必须满足以下微分方程：
（1）
（2）
根据初始条件可得：
（3）
（4）
（1 ）制造商的收益函数。制造商的收益（单位周期）包括销售收入、采购成本、订货费用、库存成本、缺货成本、赚取利息、支付利息、其中：
a. 销售收入=;
b. 采购成本=;
c. 订货费用=;
d. 库存成本
;
e. 缺货成本
;
考虑M，t1和t3的大小，求赚取的利息f和支付的利息g可以分为三种情形：
①
从0时刻开始，制造商开始生产产品，既要补发缺货产品，又要满足时刻的需求。由于供货商提供给制造商一定信用期M，一方面，在0至M时间内，制造商可通过这个时间段的销售收入来赚取利息;另一方面，从M时刻开始还得对未销售出去的商品支付给供应商利息，制造商单位周期赚取的利息和支付的利息分别为：
②
同情况①，单位时间赚取和支付的利息分别为f2和g2，其中：
③
同理，和情况①、②类似，又因为从t=t3时刻开始，制造商的库存降为0，所以在这段时间区域内，制造商不需要支付利息，即有：
根据以上情况，可知制造商的收益为：
=（a）-（b）-（c）-（d）-（e）+（fi）-（gi），其中i=1，2，3。
（2）供货商的收益
由于供货商采用的是按需定量法（lot-for-lot）策略，因此供货商并不承担任何库存产生的持有成本，库存成本费用为0。所以供货商的收益=销售收入-采购成本-订货费用-信用期内的利息损失，即：
（3）供货商-制造商的整体收益
供货商-制造商的整体利润函数为：
三、 模型分析及求解
本文采用的是Stackelberg博弈方法。首先供应商决策，并将其反馈给制造商，然后制造商再根据供应商的反馈再做决策。
1.供货商决策
对于任意T，供货商-制造商整体利润函数JTP（M）是关于信用期M连续。为了证明JTP（M）是凸函数，及求得最优解M，给定T，对函数JTP（M）求导，可求得Mi（T）。
2.制造商决策
将Mi（T）代入到中，对T求一阶导和二阶导，根据JMPi（M，T）的凹凸性，求得最优解。
（1），求得：
，将代入中得 。
（2），求得
， 将代入中，可得： 。
（3），求得：
，将代入中得。
四、算例分析
假设利用Matlab10a软件求得最优补货周期及信用期为，整体利润为$。
参考文献：
[1] 汤勤深，周永务，郑倩倩. 变化信用期下易变质品分散独立决策供应链系统[J].工业工程，2013，16（3）：38-44.
[2]潘义前，黄海，周优军. 延期支付条件下允许缺货的变质物品库存模型[J]. 经济数学，2011，28（4）：34-37.
作者简介：彭小玲（1989- ），女，江西抚州，重庆交通大学硕士研究生，专业为系统工程，主要研究方向：供应链系统优化与决策;何友全 （1964- ），男，湖北，重庆交通大学教授，主要研究方向：管理信息系统及物流工业工程;王琼瑶（1987- ）女，湖北黄冈，重庆交通大+学研究生，系统工程专业，研究方向：控制与决策
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