[摘要]通过引入原始单位根,细化了著名的牛顿二项式定理。它包含众多形式美观的二项式恒等式作为特殊情况。
[关键词]原始单位根 线性方程组 牛顿二项式定理
中图分类号:O17文献标识码:A文章编号:1671-7597(2009)-01
在数学的文化史中,有着不计其数的含有二项式系数的恒等式。其中,最基本的可能是牛顿二项式定理:
当 时,有:
设 是一个自然数, 是第 个原始单位根。则有如下性质:
其中为非负整数。
在(1)中,分别使用参数替换
并且结合性质(2),可以得到如下线性方程组:
其中
结合性质(其中为自然数,并且满足
),得到此方程组的唯一解。它被叙述如下:
定理1 设是整数并且满足,是复数并且满足,则有:
随着取值的不同,此定理能产生众多的结果。其中, 的情况被分别展示如下。
推论1 设是复数并且满足,则有
推论2 设是复数并且满足 ,则有
推论3 设是复数并且满足 ,则有
参考文献:
[1]孙世新、张选迪,《组合原理及其应用》[M].北京:国防工业出版社,2006,17-18.
[2]R.ichard A.Brualdi著,冯舜玺、罗平、裴伟东译,《组合数学》(第四版)[M].北京:机械工业出版社,2005,98-100.
作者简介:
魏传安(1978-),男,助教;谷秋朋(1978-),女,助教。
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