[关于三角形图形的谜语]关于三角形的谜语

范文一：关于三角形的全部公式

勾股定理:直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。c^2=a^2+b^2 . 正弦定理:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R是外接圆的半径）

余弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

面积公式:

1.海伦公式△ABC中三边为a,b,c。 p=(a+b+c)/2.

S(abc)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]即已知三角形三边求面积的海伦公式。

2.已知三角形底a，高h，则S＝ah/2

3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S＝absinC/2

4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r

则三角形面积=(a+b+c)r/2

5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r

则三角形面积=abc/4r

6.已知三角形三边a、b、c,则S＝ √{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}

7.三阶行列式求面积

| a b 1 |

S△=1/2 * | c d 1 |

| e f 1 |

（注意上式最后取绝对值。）

| a b 1 |

| c d 1 |

| e f 1 |

为三阶行列式,直角坐标系内坐标A(a,b),B(c,d), C(e,f）。

三角形的周长: L=a+b+c

三角形内角和公式： ∠A+∠B+∠C=180°。

范文二：关于三角形的一些概念

教学目标?：

（1）使学生理解三角形、三角形的边、顶点、内角的概念；

（2）正确理解三角形的角平分线、中线、高这三个概念的含义、联系及区别；

（3）能正确地画出一个三角形的角平分线、中线和高；

（4）能用符号规范地表示一个三角形及六个元素；

（5）通过对三角形有关概念的教学，提高学生对概念的辨析能力和画图能力；

（6）让学生结合具体形象叙述定义，训练他们的语言表达能力，激发学生学习几何的兴趣。.

教学重点：明确组成三角形的六个元素，正确理解三角形的“高”、“角平分线”和“中线”这三个概念的含义、联系和区别。

教学难点?：三角形高的画法

教学用具：三角板、投影、微机

教学方法：启发探究法

教学过程?：

1、温故知新，揭示课题

引言之后，先让学生：

(1)试说出三角形以及三角形的边、顶点、角的概念

(2)如图1：试画出 的平分线、BC边上的中线、BC边上的高

然后，在此基础上，揭示课题，提出思考题：三角形是由三条线段组成的，这里要强调“首尾顺次相接”为什么要加上这个条件？具备什么条件的线段才是三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高。

2、运用反例，揭示内涵

由上面分析，让学生判断辨别下列图2中哪一个是正确的？（对第三个图）直角三角形只有一条高对吗？

3、讨论归纳，深化定义

引导启发学生，归纳讨论探索得到的结果：

定义1 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段。

强调：三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线。

定义2 三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段。

强调：三角形中线是一条线段。

定义3 三角形的高：从三角形的一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足间的线段。

强调：三角形的高是线段，而垂线是直线。

这一环节运用电教手段，利用＜几何画板>动画的功能，增加直观性有利于学生理解掌握定义

4、符号表示，加深理解

通过符号的表述，使学生对三角形的角平分线、中线、高的理解得到加深和强化，在记忆上也趋于简化。

5、初步运用，反复辨析

练习的设计遵循由由浅入深、循序渐进的原则，三个题目，三个层次：

题1 三角形的一条高是（ ）

A.直线 B.射线 C.垂线 .D.垂线段

题2 画钝角三角形 的高AE。

题3

先让学生思考练习，然后师生一起分析纠正，最后教师点拨小结。这环节运用电教手段，以增大教学容量和直观性，提高效率。

6、归纳总结，强化思想

这节课着重讲了三角形的角平分线、中线和高，在集会理解上述定义时，必须注意到两点：一是三条都是线段；二是钝角三角形与直角三角形的高的画法。

揭示了文字语言、图形语言、符号语言在几何中的作用，要求在学习时熟练三种语言的相互转化。

7、布置作业?，题目是：

（1）书面作业?P30＃2,3 P41＃5（做在书上）

（2）交本作业?P41＃4

（3）思考题1：

思考题2：

探究活动

1、以3根火柴为边，可以组成一个三角形，用6根火柴为边最多可以组成几个三角形?9根火柴最多能组成几个三角形？

2、从三角形一个顶角引出的三角形角平分线、一条中线能否重合？此时这个三角形的形状如何？

答案：1.4、7;

2.能.三角形为等腰三角形.

范文三：关于三角形的习题

一、专心填一填。(20分)

1、三角形的内角和是( )°，一个等腰三角形，它的一个底角是26°，它的顶角是( )。

2、长5厘米，8厘米，( )厘米的三根小棒不能围成一个三角形。 3、三角形具有( )性。

4、一个三角形中有一个角是45°，另一个角是它的2倍，第三个角是( )，这是一个( )三角形。

5、按角的大小，三角形可以分为( )三角形、( )三角形、( )三角形。 6、在三角形中，∠1=30°，∠2=70°，∠3=( )°，它是( )三角形。 7、有( )组对边平行的四边形是平行四边形。

8、在一个直角三角形中，有一个角是30°,另两个角分别是( )°、( )°。 9、长方形正方形是特殊的( )形。

10、将一个大三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形的内角和是( )度。 11、三角形的两个内角之和是85°，这个三角形是( )三角形，另一个角是( )度。 12、一个等边三角形的边长是9厘米，它的周长是( )厘米。 13、下图中有( )角

二、细心判一判(对的打“√”，错的打“×”)。(每空1分，共计12分) 1、等边三角形的每一个内角都是60o。 ( )

2、等边三角形是特殊的等腰三角形。 ( )

3、有一组对边平行的四边形叫做梯形。 ( ) 4、直角三角形的两个锐角之和大于直角。 ( ) 5、用三根不一样长的小棒一定能围成一个三角形。 ( ) 6、有一个角是钝角的三角形一定是钝角三角形。 ( )

7、等腰三角形中有锐角三角形，也有直角三角形和钝角三角形。 ( ) 8、一个锐角三角形的三个内角分别是56°、70°、64° ( )

9、一个三角形有两条边都是4厘米，第三条边一定大于4厘米。 ( )

10、两个完全一样的三角形，可以拼成一个平行四边形。 ( )

11、把一个三角形中一个20°的锐角截去，剩下图形的内角和是160°。 ( ) 12、一个等腰三角形中，有一个角是60°，这个三角形一定是等边三角形。( ) 三、精心选一选(将正确答案的序号填在括号里)。(每空1.5分，共计18分) 1、三角形的高有( )条。 A、1 B、3 C、无数

2、所有的等边三角形都是( )三角形。 A、钝角 B、锐角 C、直角

3、把一个等边三角形平均分成两个直角三角形，其中一个直角三角形的两个锐

角分别是( )

A、30°和60° B、45°和45° C、60°和60° 4、一个三角形至少有( )个锐角。

A、1 B、2 C、3

5、一个三角形中，最多有( )个直角。 A、1 B、2 C、3

6、一条红领巾，它的顶角是100o，它的一个底角是( )度。 A、100 B、80 C、40

7、把一个10°的角先扩大6倍后，再用6倍的放大镜来看，看到的角是( ) A、10° B、60° C、120° D、360°

8、一个三角形的两条边分别是40厘米、50厘米，第三条边的长度只能选( ) A、80厘米 B、90厘米 C、110厘米

9、下面说法，正确的是( ) A、等腰三角形都是等边三角形 B、等边三角形都是等腰三角形 C、等腰三角形都是锐角三角形。

10、如果一个三角形中，一个角是另一个角的2倍，那么这个三角形一定不是( )三角形。

A、等边 B、等腰 C、等腰直角

11、直角三角形的内角和( )锐角三角形的内角和。 A、等于 B、小于 C、大于

12、下面分别是三角形的三条边长度，不能围成三角形的是( )。

A、1cm、2cm、3cm B、2cm、3cm、4cm C、5cm、6cm、7cm .

2、画一笔，使下面的图形形成一个三角形和一个梯形。(4分) 五、按要求求角的度数。(25分) 1、在一个直角三角形中。(6分)

(1)一个锐角是78o，另一个锐角是多少度? (2)如果两个锐角相等，这两个锐角各是多少度? 六、解决问题(15分)

1、一个等腰三角形的底边是3厘米，周长为37厘米。它的一条腰是多少?(5

分)

5、妈妈给淘气买了一个等腰三角形的风筝。它的顶角是40°，它的一个底角是多少?(4分)

范文四：关于三角形的费马点

一、费马点的由来

费马(Pierre de Fermat,1601—1665)是法国数学家、物理学家.费马一生从未受过专门的数学教育,数学研究也不过是业余爱好. 然而,在17世纪的法国还找不到哪位数学家可以与之匹敌.他是解析几何的发明者之一;概率论的主要创始人;以及独承17世纪数论天地的人. 一代数学大师费马堪称是17世纪法国最伟大的数学家. 尤其他提出的费马大定理更是困惑了世间智者358年.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题:在△ABC内求一点P,使 PA+PB+PC之值为最小,人们称这个点为“费马点”.

二、探索费马点

1. 当三角形有一个内角大于或等于120°的时候,则费马点就是这个内角的顶点.

下面来验证这个结论: 如图1,对三角形内任意一点P,延长BA至点C′,使得AC′=AC,作∠C′AP′=∠CAP,并且使得AP′=AP. 即把△APC以A为中心做旋转变换.

则△APC≌△AP′C′,

∵∠BAC≥120°,∴∠PAP′≤60°.

∴在等腰三角形PAP′中,AP≥PP′,

∴PA+PB+PC≥PP′+PB+ P′C′>BC′=AB+AC. 所以A是费马点.

2. 如果三个内角都在120°以内,那么,费马点就是三角

形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点.

如图2,以B点为中心,将△APB旋转60°到△C′BP′. 因为旋转60°,且PB=P′B,所以△P′PB为正三角形. 因此,PA+PB+PC=P′C′+P′P+PC.

由此可知当C′,P′,P,C四点共线时,PA+PB+PC= P′C′+P′P+PC为最小.

当C′,P′,P共线时,∵∠BP′P=60°,∴∠C′P′B=∠APB=120°.

同理,若P′,P,C共线时,则∵∠BPP′=60°,

∴∠BPC=120°.

所以点P为满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点.

三、费马点的简单应用

近几年,在全国各地的中考中,时常可以看见费马点的影子.

例1(2009浙江湖州) 若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.

(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为________;

(2)如图3,在锐角△ABC外侧作等边△ACB,连结BB′.求证:BB′过△ABC的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.

解:(1)∵∠PBA+∠PBC=∠PBC+∠PCB=60°,∴∠PBA=∠PCB.

又∠APB=∠BPC=120°,

∴△PBA∽△PCB,则PB2=PA×PC=12,

即PB=2.

(2)证明:在BB′上取点P,使∠BPC=120°,连结AP,再在PB′上截取PE=PC,连结CE.

∵PC=CE,AC=CB′,∠PCA=∠ECB′,

∴△ACP≌△B′CE.

∴∠APC=∠B′EC=120°,PA=EB′.

∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°,

∴P为△ABC的费马点,且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC.

例2 (2009北京) 如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个点的坐标分别为A(-6,0),B(6,0),

C(0,4),延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB,交BC的延长线于点E.

(1)求D点的坐标;

(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF,EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两

个四边形,试确定此直线的解析式;

(3)设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明)

本题第三问要求:简述确定G点位置的方法,但不要求证明.如果不知原理,比较难找,用常规数学的方法,会涉及到一元二次方程的判别式的问题,并不容易想到.而用费马点的知识就能轻松找出这个G点.

由于直线y=kx+b与y轴的交点坐标在第二问当中可求出M(0,6),所以,本题第三问便可以转化为:AO⊥OM于点O,AO=6,MO=6,G点从M出发,向O点运动到达G点后,再沿GA到达A点.若G点在MO上运动的速度是它在GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置.(如图5,G点按照上述要求到达A点所用的时间为t)

解法一: 方程解法

设GO=x,则MG=6-x,AG=,

则t=+,

移项平方得:3x2+(12-4t)x

+36+24t-4t2=0,

∵方程有解,

Δ=(12-4t)2-12(36+24t-4t2)≥0?圯t≥6,

将t=6代回方程,求出x=2时,t最小.

解法二:费马点解法

如图6,要使+AG最小,即使MG+2AG最小.

作A关于MO的对称点A",

则MG+2AG=MG+AG+A"G,

即MG+AG+A"G最小.故G为△AA"M的费尔马点.作∠GAO=30°,交MO于G点,则∠AGM=∠A"GM=∠AG A"=120°,故G点为所求. OG=2.

由此利用费马点的解法可以看出:

当动点G在OM上的运动速度是在AG上的2倍的时候,动点的位置与MO的长度无关,与AO的长度有关,GO长是AO长的倍.

范文五：关于三角形的内切椭圆

2000年第8期　　　　　　　　　　　中学数学月刊　　　　　　　　　　　　　　　　23

关于三角形的内切椭圆

周建伟　(苏州大学数学系　215006)

杜　娟　(南通师范学院　226000)

本文利用欧氏平面上的仿射变换研究三角形的内切椭圆的各种性质.我们知道,仿射变换是欧氏变换的重要推广,它既包含了平移旋转反射等欧氏变换,也包含了相似、压缩等变换.有关仿射变换的性质见[1]或[2].首先我们证明

定理1　如图1,△ABC外切于一椭圆,切点分别是D,E,F,则三线段AE,CD,BF交于一点.

证明　利用仿

图1

射变换把图1中椭圆变成图2中圆,这时椭圆外切△ABC变成圆的外切△A′B′C′,切点分别变成D′,E′,F′.从仿射变换的性质知道,AE,CD,BF交于一点的充要条件是A′

E′,C′D′,B′F′交于一点.在△A′B′C′中,A′D′=A′F′,B′D′=B′E′,C′E′=C′F′.利用

Ceva定理,从

A′D′B′E′C′F′

D′B′E′C′F′A′

=1

知道A′E′,C′D′,B′F′交于一点,所以AE,CD,BF也交于一点.仿射变换在把圆变成椭圆的同时,把圆心变成椭圆内一点,这一点具有圆心类似的性质:过这一点的所

图2

有弦以该点为中点,这点叫椭圆的中心.过椭圆中心的直线称为椭圆的直径.利用仿射变

换,容易知道椭圆的平行弦的中点轨迹是直径.如果图1中E是BC的中点,经过仿射变换(图2),E′也是B′′C的中点,易见,这时

△A′B′C′中A′B′=A′C′,D′F′平行于B′C′.

所以G′E′过圆心,从而是圆的直径,A′E′也是圆的平行于B′C′的弦的中点轨迹.这证明了.

定理2　如果△ABC外切于椭圆,BC上切点E是BC的中点,则平行于BC的椭圆的弦的中点在AE上,GE是椭圆的一条直径.

进一步,如果图1中D,E,F分别是△ABC三边的中点,则△A′B′C′一定是等边三角形.这时图2中O′是△A′B′C′的内切圆圆心,这证明了:

定理3　如果△ABC的内切椭圆的切点分别是三边上的中点,则椭圆的中心就是△ABC的重心.容易知道,对任意△ABC,定理3中内切于三边上的中点的椭圆总是存在的.下面的定理是一般情况.

定理4　设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA上的内点,如果三线段AE,CD,BF交于一点,则存在△ABC的内切椭圆,使得切点分别是D,E,F.

证明　设三线段AE,CD,BF交于一

点,由Ceva定理

ADBECF

DB

ECFA=1.作线段

A′B′=AB,B′C′=BDBC

BE

,A′C′

=ADAC

AF

.利用比例关系可以作出D′,E′,F′,可以验证

A′F′=A′C′

AF

AC=AD=A′D′,B′E′=B′C′BE

BC=BD=B′D′,

E′′C=B′′C

EC

=BDECBCBE=ADCFFA=A′D′C′F′

F′′A=C′F′.

这也证明了三线段A′B′,B′C′,A′C′能够构成三角形.在△A′B′C′中作内切圆,利用反证法可以证明这一圆的切点分别是D′,

E′,F′.利用仿射变换把△A′B′C′变成

△ABC,△A′B′C′的内切圆变为△ABC的内切椭圆,此内切椭圆的切点分别是D,E,F.

定理1与定理4可以合并成:

设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA上的内点,则存在内切于△ABC的椭圆,且切点分别是D,E,F的充要条件是三线段AE,CD,BF交于一点.

下面继续定理3的讨论,考虑三角形内切椭圆的中心与三角形的关系.

定理5　对于三角形内一点O,存在以O为中心而内切于三角形的椭圆的充要条件是,点O在三角形的三条中位线所围成三角形的内部.

为叙述方便,我们把三角形的三条中位线所围成三角形叫中位三角形.三角形的中位三角形在仿射变换下变成中位三角形,定理5中的必要性只需对圆证明,即证明下面的引理.

引理1　三角形的内切圆的圆心在三角形的中位三角形的内部.

证明　如图3,△ABC的内切

图3

圆的圆心是O,设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA上的中点.AO与DF,BC分别交于N,M,点O是△ABC的角平分线的交点,有

ABBM=AOOM=AC

MC

,根据合分比定理

AB+ACBC=AO

OM

.从AB+AC>BC可知AO>OM.DF

是三角形的一条中位线,AN=NM,这证明了点O在线段DF与BC之间.同理可证,O

在线段DE与AC之间.也在EF与AB之

间,引理6得证.

容易看出,对于三角形内一点O,存在以

O为中心而内切于三角形的椭圆的充要条件

是:存在仿射变换,使得O变成三角形的角平分线的交点.我们先证明下面的引理2.

引理2　设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA上的点,AE,BF,CD交于

△ABC内点O.试证存在仿射变换Υ,使得线段AE,BF,CD分别变成三角形的角平分线的充要条件是三正数AF,ADFCDB

,1中任两数之

和大于第三数.这时存在△ABC的内切椭圆,椭圆的中心是O.

证明　设B′C′=BC,由A′B′A′F′

BC=F′C′

=

AFFC,A′C′BC=A′D′D′B′=AD

DB可以作出A′B′,A′C′.三线段B′C′=BC,A′B′=BCAF

FC

,A′C′=BC

AD

DB

构成三角形的充要条件是三正数AFFC,ADDB

,1中任两数之和大于第三数.利用比例关系可以作出D′,E′,F′,并且可以验证.

A′B′ADBBEA′C′=F

FC

AD=EC=B′E′

E′C′

,其中用到Ceva定理,所以A′E′是∠B′

A′C′的角平分线.同理,B′F′,C′D′分别是三

角形另外两角的平分线.△A′B′C′的内切圆的圆心是A′E′,B′F′,C′D′

的交点O′.把△ABC变成△A′B′C′的仿射变换将O变成△A′B′C′的角平分线的交点O′.

要完成定理5的证明只要再证下面的引理3.

引理3　设D,E,F分别是△ABC的三边AB,BC,CA上的点,AE,BF,CD交于△ABC的内点O.如果O在△ABC的中位三角形的内部,则AFFC,AD

DB

,1中任两数之和大于第三数.

(下转第34页)

R且y≠0,借助于复数的代数运算并结合条件得:关于x,y的混合组

2

2

(3)

x+y=6,y=x+m>0

应有实数解.

至此,若不能灵活地选择方法,则极易半途而废.据直觉洞察有:

选择1　实根分布法

从(3)式中消去y,讨论关于x的一元二次方程有大于-m的根;或从(3)式中消去x,讨论关于y的一元二次方程有正根.

选择2　数形结合法

只要讨论圆x2

+y2

=6和直线y=x=m在x轴上方有公共点即可.据图可知:-6

选择3　三角换元法

据x2+y2=6且y>0可令x=6

cosΥ

,y=6sinΥ,0

3sin(Υ-Π

4)∈(-6,23].

(上接第24页)

证明　首先证明AD

AF

DB

+

FC>1.从Ceva定理可得AFAD

BEADAFC=DBEC,于是DB+F

FC=ADADBEBC

DB+DBEC=AD

DB

EC

.对△ABE及直线CD应用Menelaus定

理得

AD

BCDB

CE=AO

EO

,点O在△ABC的中位三角形的内部,AO

OE>1,即有

ADAFADBCAO

DB+FC=DBEC=OE

>1.其次证明

AFFC+1>AD

DB

.对△ABF及直线CD应用Menelaus定理得ADBOAC

DBOF=

FC

=AFFC+1,点O在△ABC的中位三角形的内部,BOOF

>1,

即有三种选择是直觉引路的结果,且不难看出方法2,3是良好直觉选择能力的体现.直觉力较强的同学必能看出方法1给逻辑推演带来了诸多麻烦,他们即使选择此法也必然采用消去x的办法进行逻辑论述.

总之,直觉选择已渗透于解题过程的每个环节.在代数中,研究变化状态下变量间的关系,要选择确当的自变量;在几何中,解答问题应力求选择最佳的逻辑通道;在解析几何中,用解析法研究几何图形的性质,要选择合理的坐标系……这一切成功的选择,不是逻辑所能胜任的,都是要依靠直觉来完成选择!

参考文献

1　刘云章,马　复.数学直觉与发现.安徽教育出版

社,1991.

2　任子朝.高考数学能力考查与题型设计.高等教

育出版社,1998.

AF

FC

+1>

AD

DB

.同理可证

ADDB+1>

AF

图4

FC

.引理得证.即定理5得证.

利用仿射变换可以研究椭圆的其他性

质,也可以研究抛物线或双曲线.

参考文献

1　梅向明,刘增贤,林向岩.高等几何.高等教育出

版社,1983.

2　周建伟.高等几何.苏州大学出版社,2000.

范文六：关于三角形的作文700字]@]@]

@美术课上，老师给同学们布置了一道题目：“△”，这好像是在考验同学们的想象力。可是，同学们全都蒙住了：

“三角形？三角形怎么画啊！”

“就是，三角形是什么题目啊？！”

“管他呢，在纸上花好几个三角形不就得了！至于吗。”

“怎么不至于？这很可能是期中测验！”

“哼！离暑假还有几周，这时候期中测验，你脑子进水啦！”

“吭吭！同学们，请安静。这个三角形是在考验大家的想象力，这是区里艺术家所出的题。”老师为同学们“解说”。

“区里艺术家？！题目？！限制我们的思想啊！”还有好多同学想要插上一嘴，都被老师“恶狠狠”目光憋回去了。

有的同学低头作画，胳膊肘支撑着整个上身，手搭在脖颈上，时不时地挠挠头；有的同学环顾教室四周，双手交叉着托住下巴，抿着下嘴唇，在教室里寻找灵感；有的同学手放到桌子下面，下巴搁在桌子上，手中的彩笔不停地在纸上舞动着；有的同学背倚着后面的桌子，鼻孔朝天，嘴微微张开，双手放在桌子上。在这么热的教室里，同学们汗流浃背大汗淋漓挥汗如雨汗如雨下满头大汗地作画。

??

一节课转眼就完事了，同学们的画也差不多都画好了。课代表把作业都收上来，交给美术老师。老师回到了办公室里，坐下来，静静地翻阅着同学们的美术作业。翻着翻着，老师不仅大吃一惊，这么简单的一个题目，居然有人把它当做积木，当做无底洞。

让我们来看看他们的作业吧。看看这一张画子：这一张纸上画了无数个立体图形，三角形，圆形，梯形??就用这么几个图形，构成了一幅城墙：万里长城。看来这幅画的作者是个学素描的孩子，让这几个图形在纸上栩栩如生。

后面一张，有一个三角形，里面套着好多好多三角形，越来越小，越来越小，这让我们好像掉进了一个无底洞。

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孩子们的想象力真丰富啊！

范文七：关于三角形的难题

三角形趣味思考难题

1. 如图，在三角形ABC中，AB=AC，D是BC上一点，∠BAD=40°，E是AC上一点，AD=AE，求∠EDC的度数。

2. 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA=BC，EB=AC，FC=AB，∠AFB=51°，求∠DFE的度数

.

3. 如图，三角形ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过点H作HG垂直于AC垂足为G，那么∠AHE等于∠CHG吗？为什么？

4. 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥DF，试判断BE + CF。与EF的大小关系，并证明你的结论

.

5. 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：

AC=AE+CD.

6. 设三角形为ABC，CD、BE分别是角平分线，且CD=BE证明：ABC是等腰三角形？

(如果一个三角形两个角的角平分线相等,试证明这个三角形为等腰三角形

.)

7. 已知三角形ABC，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，AD、BE交于点F，且AE=EF，请问BF=AC吗？

8. 如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDE的面积。

范文八：关于三角形的作文700字

关于三角形的作文700字

美术课上，老师给同学们布置了一道题目：“△”，这好像是在考验同学们的想象力。可是，同学们全都蒙住了：

“三角形？三角形怎么画啊！”

“就是，三角形是什么题目啊？！”

“管他呢，在纸上花好几个三角形不就得了！至于吗。”

“怎么不至于？这很可能是期中测验！”

“哼！离暑假还有几周，这时候期中测验，你脑子进水啦！”

“吭吭！同学们，请安静。这个三角形是在考验大家的想象力，这是区里艺术家所出的题。”老师为同学们“解说”。

“区里艺术家？！题目？！限制我们的思想啊！”还有好多同学想要插上一嘴，都被老师“恶狠狠”目光憋回去了。

有的同学低头作画，胳膊肘支撑着整个上身，手搭在脖颈上，时不时地挠挠头；有的同学环顾教室四周，双手交叉着托住下巴，抿着下嘴唇，在教室里寻找灵感；有的同学手放到桌子下面，下巴搁在桌子上，手中的彩笔不停地在纸上舞动着；有的同学背倚着后面的桌子，鼻孔朝天，嘴微微张开，双手放在桌子上。在这么热的教室里，同学们汗流浃背大汗淋漓挥汗如雨汗如雨下满头大汗地作画。

……

一节课转眼就完事了，同学们的画也差不多都画好了。课代表把作业都收上来，交给美术老师。老师回到了办公室里，坐下来，静静地翻阅着同学们的美术作业。翻着翻着，老师不仅大吃一惊，这么简单的一个题目，居然有人把它当做积木，当做无底洞。

让我们来看看他们的作业吧。看看这一张画子：这一张纸上画了无数个立体图形，三角形，圆形，梯形……就www.99zuowen.com用这么几个图形，构成了一幅城墙：万里长城。看来这幅画的作者是个学素描的孩子，让这几个图形在纸上栩栩如生。

后面一张，有一个三角形，里面套着好多好多三角形，越来越小，越来越小，这让我们好像掉进了一个无底洞。

……

孩子们的想象力真丰富啊！

范文九：关于三角形的一些概念

关于三角形的一些概念

一．教学目标

1. 认知目标

（1）理解与三角形相关的一些概念。 （2）理解三角形的几条重要线段。 2. 能力目标

（1） 利用三角形的三线与三角形的关系解题。

二. 教材重点，难点分析

本节重点对三角形及相关概念的准确理解难点在三角形角平分线的理解及钝角三

角形（即有一个内角为钝角的三角形）夹钝角的两边上的高的作法。

关于三角形的角平分线是一条线段；较以往普通角平分线而言，初学才一时难以适应、理解.掌握不好，就对以后运用产生影响.而夹钝角的两条边上的高，初学者往往无从下手，认为不存在.要注意到从顶点向对边引垂线，垂足不一定落在边上，可能落在延长线上。

关于中线，结合三角形面积公式可得如下结论.中线将三角形分成的两个三角形面积相等。

三．核心知识分析

1.什么叫三角形

由三条不在同一直线上的线段首尾相接所形成的封闭图形. 2.与三角形相关的一些概念

(1)边：组成三角形的三条线段叫做三角形的边，一个三角形有三条边. (2)顶点：相邻两边的公共端点叫三角形的顶点，共有三个顶点. (3)内角：相邻两边的夹角叫三角形的内角.简答为三角形的角.共有三个内角夹内角的两边外，第三条边称为该内角的对边，该角称为第三条边的对角.

(4)外角：三角形的一个内角的邻补角称为三角形的外角(或由一边及另一边的延长线组成的角).三角形每一个内角均有两个外角，它们互为对顶角. 3.三角形的几条重要线段

三角形重要线段为：三条角平分线、三条中线和三条高.

(1)角平分线：三角形角平分线是指三角形一个内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫三角形的角平分线.

三角形的角平分线与普通意义上的角平分线虽有着平分角共性，但有着本质上的区别：普通角平分线是一条射线，而二角形的角平分线是一条角的顶点与对边交点间的连线段.角平分线共三条，通过准确作图观察发现:这三条角平分线交于一点.

(2)三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线段.共三条中线，也交于一点. (3)三角形的高：由三角形的一个面点向对边作垂线，顶点与垂足间的连线段叫三角形的高.共三条.高也交于一点.

1

图1 图

2

图3 图

4

图5 图6 4.三角形的记法与读法：三角形可用符号“△”后写三个顶点，如图3.1-1记作△ABC，读作“三角形ABC”，边也可用小写字母表示，如图3.1-1，∠A的对边可记为a.

本节为三角形起始内容，许多后面相关知识点尚不能运用，故而通常以高所在位置判断三角形内角状况(是否存在钝角、直角等).结合中线求线段长，中线结合面积公式求面积.命题以判断、选择填空为多见.

四．教学过程

例1 已知△ABC，画出△ABC的角平分线BD.

分析 画△ABC的角平分线BD，可知是画线段BD，满足(1)平分∠ABC，(2)D点在边AC上.

解 (1)量得∠ABC=60°

1

(2)计算∠ABC=30°.

2

(3)用量角器∠CBD=30° BC交AC于D，BD为所求△ABC角平分线

BD.

图7

例2 在上例图中（图7）共有几个三角形，分别写出∠A，∠C的所有对边及BD、

2

AB对角.

分析 粗看有两个三角形，而易忽略△ABC本身.∠A在不同的三角形中对边不同，其余边、角也有类似情况出现.

解 图中共有三个三角形，即△ABC、△ABD、△BCD，在△ABC中，∠A的对边为BC，在△ABD中，∠A的对边为BD，△ABC中，∠C的对边为AB，△BCD中∠C的对边为BD.

△ABD中，BD对角为∠A, △BDC中，BD对角为∠C. △ABC中，AB对角为∠C，△ABD中，AB对角为∠ADB. 例3 △ABC中，∠A＞90°,下图（图8）为某同学作的AC边上的高AD，是否正确？为什么？若不对，请你作出符号条件的高

.

图8

分析 AC边上的高应由AC所对的顶点B向AC作垂线，而不是只保证垂直AC就足够的.

解 此作图不正确，因为AC边的高应由是B点向AC作垂线，而不是过A点作.正确作出的适合条件的高应为图中线段ＢＥ.(BE⊥AC交ＣＡ延长线于Ｅ.)

例４ ＡＤ为△ＡＢＣ的中线（如图9），求△ＡＢＣ与△ＡＢＤ的面积比Ｓ△ＡＢＣ∶S△

ABD

.

图9

1

BC.而△ABC、△ABD、△ADC的边BC，BD，2

CD的高为一条AE，可通过面积公式算出比，本题思路上充分利用等高的两个三角形面积比等于底的比.

解 作AE⊥BC于E.

1

∵BD=DC=BC.

2

11

∴S△ABC∶S△ABD=(BC·AE)∶(BD·AE)=2∶1

22

例5 如图10，△ABC的三条高AD，BE，CF交于形内一点G，则图中直角三角形(有一个内角为直角的三角形)共有多少个？

分析 ＡＤ为中线，那么BD=DC=

3

图10

分析 初次涉及此类问题，由于大小直角三角形重叠较多，很易重复或遗漏，为避免此类情形出现，可利用逐一数点排除法来数清其中三角形数.

选以点A为顶点，顺次数出含点A的直角三角形：△ABD、△ABE、△ACD、△ACF、△AEG、△AFG共6个.

解 以B为顶点的直角三角形(以A为顶点的除外)有△BCE、△BCF、△BDG、BFG共4个.

以C为顶点的直角三角形有(以A、B为顶点的除外) △CDG，△CEG共2个.

此外，以D，E，F，G为顶点直角三角形(以A、B、C为顶点除外)没有了，故共有直角三角形6+4+2=12个.

例6 如图11，△ABC三条中线AD，BE，CF交于G.求△GBC与四边形AFGE的面积比

.

图11

分析 充分利用中线分三角形所成的两个三角形等底共高，面积相等. 解 记图中六个小三角形面积为S1,S2,S3,S4,S5,S6

AD，BE，CF为中线 ∴S1=S2 S3=S4 S5=S6

又S1+S2+S3=S4+S5+S6 ∴2S1=2S6 ∴S1=S2=S5=S6 同理

S1+S2+S6=S3+S4+S5. 2S1=2S3 ∴S1=S2=S3=S4 ∴S1=S2=S3=S4=S5=S6 ∴

S△GBCS四边形AFGE

=

S3+S4

=1 ∴面积比为1∶1

S1+S6

【典型热点考题】

例1 判断：三角形角平分线是射线(×) 结论：说法不对.三角形角平分线为线段.

例2 选择：若三角形的两条高的交点不在形内，则三个内角中最大的一个内角 A.大于90° B.不大于90° C.小于90° D.不小于90° 答案：D.

分析 由三条高作图的状况(图4~6)可知，三内角中有一个角为90°时交点在形上(直

4

角顶点)有一个角为钝角时交点在形外.而均为锐角时交点在形内.而不在形内含形上和形外两种情况.

例3 如图12，AD为△ABC的中线，E、F在AD上，且BF为△ABE中线，BE为△BFD的中线，BF、BE的延长线交AC于G，H. △ABC面积为1.求四边形HEDC的面积

.

图12

分析 题中若干中线，分得若干等底共高的三角形.可利用这些关系求出所需面积.又注意BF，BE两条中线有AF=EF=DE. △ABF，△BFE，△BED等底同高，面积相等，△ABD和VADC等底共高面积相等.

1

解 ∵S△ABC=1,AD为中线， ∴S△ABD=S△ACD=

2

111

又AF=FE=ED ∴S△ABF=S△BFE=S△BED=?=

236

连DH，FH.则△AFH，△EFH，△DEH等底 （AF=FE=ED）共高（H向AD作的垂线段） ∴设S△AFH=S△EFH=S△DEH=x,S△HDC=y 又BD=DC ∴S△HBD=S△HDC

1?

y=x+?6??1? x=??1111?12?3x+y=　　　　得?SHEDC=+=?121243?y=??4??

五．课堂小结

1．与三角形相关的一些概念。 2．三角形的几条重要线段。

六．作业：

5

范文十：关于三角形的一个性质的讨论

我们知道，任意三角形都有内切圆与外接圆．那么，对于不同类型的三角形，其外接圆与内切圆的半径的比值有什么特点？反过来，如果已知一个三角形的外接圆与内切圆的半径的比值，那么是否可以唯一地确定该三角形的形状？本文将就以上两个问题进行讨论．

结论1：任意三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于2，若比值等于2，则该三角形一定是等边三角形．

证明：令任一△ABC，设其三边长分别为a，b，c，其面积为S，其外接圆和内切圆的半径分别为R，r． 根据三角形与其外接圆的关系，有S＝，则R=． 再由三角形与其内切圆的关系，S＝r（a+b+c），有r=，则=，由海伦公式，三角形面积S＝，将其代入前式得，=，不失一般性，假设a所对应的为三角形的最长边，则abc-（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）=abc-［a2-（b-c）2］（b+c-a）

＝abc-［-a3+（b+c）a2-（b-c）2（b+c-a）］＝a3-（b+c）a2+abc+（b-c）2（b+c-a）＝a（a-b）（a-c）+（b-c）2（b+c-a）≥0

故可得，=≥2，等号成立当且仅当abc-（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）=0，即a（a-b）（a-c）+（b-c）2（b+c-a）＝0，即a＝b＝c，说明该三角形为等边三角形，结论得证．

结论2：直角三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于1+，等号成立当且仅当该直角三角形为等腰直角三角形．

证明：在△ABC中，∠B=90°，I为内心，P，Q，R为切点，不失一般性，设IP＝r=1，CP=d，=k，则AC＝2R＝2k，由勾股定理，（1+d）2+（2k-d+1）2＝（2k）2，整理得，k==（d-1+）+1． 由于在直角三角形ICP中，∠ICP＝∠ACB＜45°，故∠ICP＜45°＜∠CIP，继而推得，IP＜CP，即1＜d，由均值不等式k==（d-1+）+1≥?2+1＝1+，等号成立当且仅当d-1＝，即d＝1+，此时AB＝2R-d+1＝2+＝1+d＝BC，即△ABC为等腰直角三角形，结论得证．

值得注意的是，若任意一个三角形的外接圆半径与内切圆半径的比值等于1+，那么该三角形未必是等腰直角三角形，它可以既不是等腰也不是直角三角形． 例如，三边长分别为1，1，2-的三角形，它就是一个外接圆半径与内切圆半径的比值等于1+，但不是直角三角形的例子．

结论3：任意钝角三角的外接圆与内切圆的半径的比值大于1+，反之不一定成立．

证明：如图2所示，不失一般性，在△ABC中，令∠A为钝角，O为△ABC的外心，K为的中点，过B，K作圆O的直径BD，KE． I1，I2，I3分别为△ABC，△ABD，△ABE的内心，r1，r2，r3分别为△ABC，△ABD，△ABE的内切圆半径，不难验证，I1，I2，I3均落在以K为圆心，KA为半径的圆上． 由∠ABC＝180°-∠A-∠ACB＝180°-∠A-∠ADB＜180°-90°-∠ADB＝∠ABD，故＜，∠I1KA＜∠I2KA. 又因BD，KE皆过点O且B，D，K，E，O互异，所以K，E在BD的两侧，故∠ABD＜∠ABD+∠BDE＝∠ABE，＜，∠I2KA＜∠I3KA，又∠I3KA＝∠ABE＜90°，且I3K⊥AB，故r1＜r2＜r3，令R为圆O的半径，则＞． 由于△ABD为直角三角形，由前述结论2可得，≥1+，故＞≥1+． 得证．

该结论之所以反之不一定成立，是因为由＝，若取a，b均为很大的数（如a＝b＝10000），而c（如c＝1）为较小的数，那么就会构造出一个比值很大，但却是锐角三角形的例子．

结论4：若一个三角形的外接圆与内切圆的半径之比小于1+，则该三角形为锐角三角形．反之不一定成立．

证明：由结论2，若＜1+，则必不为直角三角形． 由结论3，钝角三角形的＜1+，故三角形的若小于1+，则必为锐角三角形．反之，一个锐角三角形有可能是两腰很长的等腰三角形，从而使得＜1+，结论得证．

结合上述四个结论，我们就可以根据三角形的比来判断三角形的形状：（1）若＝2，则一定为等边三角形；（2）若＝1+，则一定为等腰直角三角形；（3）若2＜＜1+，则一定为锐角三角形；若＜1+，则三角形可能为直角三角形、钝角三角形或者“狭长”锐角三角形．

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