高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计

教学目标：

掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.

教学重点：

二倍角公式的推导及简单应用.

教学难点：

理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.

教学过程：

Ⅰ.课题导入

前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.

先回忆和角公式

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

当α=β时，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα

即：sin2α=2sinαcosα(S2α)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α

即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)

tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ

当α=β时，tan2α=2tanα1-tan2α

Ⅱ.讲授新课

同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α还可以变形为：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α

同学们是否也考虑到了呢?

另外运用这些公式要注意如下几点：

(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α=π2 +kπ，k∈Z时，tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ，k∈Z时tan2α的值不存在).

当α=π2 +kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：

即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0

(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα

例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下，才有可能成立[当且仅当α=kπ(k∈Z)时，sin2α=2sinα=0成立].

同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα

(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 α2 的2倍，将 α2 作为 α4 的2倍，将3α作为 3α2 的2倍等等.