中考总复习数学教案（北师大版）
有理数及其运算
一、中考要求：
1．理解有理数及其运算的意义，并能用数轴上的点表示有理数，会比较有理
数的大小．
2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值
二、知识要点：
1．整数与分数统称为有理数．有理数
2．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
3．如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，
也称这两个数 互为相反数．0的相反数是0．
4．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值．
正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
5．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；正数大于0，负数小于0，
正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
6．乘积为 1的两个有理数互为倒数．
7．有理数分类应注意：（1）则是整数但不是正整数；（2）整数分为三类：正
整数、零、负整数，易把整数误认为分为二类：正整数、负整数．
8．两个数a、b在互为相反数，则a+b=0．
9．绝对值是易错点：如绝对值是5的数应为士5，易丢掉－5．
10．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做
幂．
11．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号
两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，
并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．
12．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
13．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相
乘；任何数与0相乘，积仍为0．
14．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相
除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．
15．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，
先算括号里面的．
16．有理数的运算律：
加法交换律：a+b=b+a(a、b为任意有理数)
加法结合律：(a+ b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数)
17．有理数加法运算技巧：
（1）几个带分数相加，把它们的整数部分与分数（或小数）部分分别结合起
来相加
（2）几个非整数的有理数相加，把相加得整数的数结合起来相加；
（3）几个有理数相加，把相加得零的数结合起来相加；
（4）几个有理数相加，把正数和负数分开相加；
（5）几个分数相加，把分母相同（或有倍数关系）的分数结合相加．
18．学习乘方注意事项：
（1）注意乘方的含义；
（2）注意分清底数，如：－an的底数是 a，而不是-a
三、经典例题剖析：
1．－（－4）的相反数是_______，－（+8）是______的相反数．
2．把下面各数填入表示它所在的数集里．
2 －3，7，－ ，0，2022，－1．41，0．608，－5 ％ 5
正有理数集｛ ?｝； 负有理数集
整 数 集｛ ?｝； 有理 数 集
3．计算：|－22|= ； 1－|－2|= ；（－3）3= ；（－2）×(－
3) =____ 。
4．数轴上点A到原点的距离是5，则A表示的数是_______
15．一个数的倒数的相反数是1则这个数是______ 5
6．今年我市二月份某一天的最低气温为－5oC， 气温为13 oC，那么这一天
的气温比最低气温高______
7．比较－1529 与－ 的大小． 1632
8．若a的相反数是的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________．
9．计算12－|－18|+(－7)+(－15)
1111计算：?0.52+(-)2--22-4-(-1)3?()3?(-)4 2232
10.生物学指出，在生态系统中，每输人一个营养 级的能量，大约只有10％的
能量能够流动到下一个营养级，在H1→H2→ H3→H4→H5→H6这条生物链中，（Hn
表示第n个营养级，n=l，2，?，6），要使H6获得10千焦的能量，需要H1提
供的能量约为（ ）千焦
A．104 B．105 C 106 D 107
11．（阅读理解题）
（1）阅读下面材料：点 A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的
距离表示为|AB|，当A上两点 中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图
1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当A、B两点都不在原点时，①如图1
－2－5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b－a=|a
－b|； ②如图1－2－6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|
－|a|=－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所示，点A、B在原点的两边多边，
|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－
b|
综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|
（1）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两
点之间的距离是____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果 |AB|=2，
那么x为_________．
③当代数式|x+1|+|x－2|=2 取最小值时，相应的x 的取值范围是
专题二：代数式
一、中考要求：
1．探索事物之间的数量关系，并用字母与代数式进行表示的过程，建立初
步的符号感，发展抽象思维．
2．在具体情境中进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量
关系，并用代数式表示．
3．理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体
会数学与现实世界的联系．
4．理解合并同类项和去括号的法则，并会进行运算．
5．会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式
反映的规律．
6．进一步熟悉计算器的使用，会借助计算器探索数量关系，解决某些问题．
二、知识要点：
1、代数式的定义：用基本的运算符号（运算包括加、减、乘、除以及乘方、
开方）把数、表示数的字母连接而成的式子．
2、代数式的写法应注意：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“·”
或者省略不写，数字与数字相乘一般仍用“ ×”号；（2）在代数式中出现除法
运算时，一般按照分数的写法来写；（3）数字通常写在字母的前面；（4）带分数
要写成假分数的形式．
3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的
运算，计算出的结果，就叫做代数式的值．
4、列代数式的技巧：列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序
和括号的作用，要分清运算顺序，一般遵循先高级后低级，必要时加括号．除了
和。差、积、商、大小、多、少外，还要掌握下述数量关系：
行程问题：路程=速度×时间；
工程问题：工作量=工作效率×工作时间；
浓度问题：溶质质量=(溶液质量/溶液浓度)×100%
数字问题：百位数字×100+十位数字×10+个位数字=三位数．
5、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
6、合并同类项：把同类项合并成一项就叫做合并同类项．
7、合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母
的指数不变．
8、去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原
括号里各项的符号都不改变；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去
掉后，原括号里各项的符号都要改变．
三、经典例题剖析：
1、有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量
为m千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n千克，那么这捆钢筋的
总长度为（ ）米
mmn5m5m A、 B、、 D、( －5) n55n
2、数轴上点A所表示的是实数a，则到原点的距离是（ ）
A、a B．－a C．±a D．－|a|
3、若abx与ayb2是同类项，下列结论正确的是（ ）
A．X＝2，y=1 B．X=0，y=0 C．X＝2，y=0 D、X=1，y=1
4、x－（2x－y）的运算结果是（ ）
A．－x+y B．－x－y C．x－y D．3x－y
5、下列各式不是代数式的是（ ）
2 A．0 B．4x2－3x+1 C．a＋b= b+a D、y
6、两个数的和是25，其中一个数用字母x表示，那么x与另一个数之积用代数
式表示为（ ）
A．x（x＋25） B．x（x—25） C．25x D．x（25－x）
7、下列各组的两个代数式是同类项的是（ ）
11 A、－ x2与0.1y2 B、－a2与a C、－3a2b与2ba2 D、 a2b与22
2ab2
axy28、－2xy的系数是_____，－的系数是____；－a2b的系数是____，πR2的3 3
系数是____．
9、观察下列算式：21=2，22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，?那么
227的未位数字是_______.
10、研究下列各式，你发现什么规律
将你找到的规律用含n的等式表示出来__________
11、观察下列数表：
根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为________，第n行与第n列交叉点上的数应为_________（用含有n的代数式表示，n为正整数）
解：11；2n－1 点拨：由已知的四个特例即可得到第n行与第n列交叉点上的数满足2n—1.
12、观察下列各等式：
（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的___________；如果等号左边的第一个实数用x表示，第二个实数用y表示，那么这些等式的共同特征可用含x，y的等式表示为_
____________________.
（2）将以上等式变形，用含y的代数式表示x为_________________；
（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：__________________
解：
x⑴差；商；x－y= (y≠0,且y＝1) y
⑵x=y2
(y?0且y?1) y?1
⑶如：16161616-4=?4-4=?4 3333
专题三:整式
一、中考要求：
1、经历用字母表示数量关系的过程，在现实情境中进一步理解字母表示数的意
义，发展符号感．
2、经历探索整式运算法则的过程，理解整式运算的算理，进一步发展观察、归
纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．
3、了解整数指数幂的意义和正整数指数幂的运算性质；了解整式产生的背景和
整式的概念，会进行简单的整式加、减、乘、除运算（其中多项式相乘仅限于一次式相乘，整式的除法只要求到多项式除以单项式且结果是整式）．
222224、会推导乘法公式：（a+b）（a－b）=a+b，（a±b）=a±2ab+b，了解公式的
几何背景，并能进行简单的计算．
5、在解决问题的过程中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
二、知识要点：
1、幂的意义：几个相同数的乘法
2、幂的运算性质：（1）am·an= am+n
（2）（am）n= amn；（3）（ab）n= anbn；
（4）am÷an=am－n（a≠0，a，n均为正；3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；；（2）a-p=1(a?0,p是正整数)ap；4、幂的大小比较的常用方法：；102221022210222⑴求差比较法：如比；999；99999911999099?119990999；999；⑶乘方比较法：如a3=2，b3=3，比较a、b大；5331515（b）＝3=2
（4）am÷an= am－n（a≠0，a，n均为正整数）
3、特别规定：（1）a0＝1（a≠0）；
（2）a-p=1(a?0,p是正整数) ap
4、幂的大小比较的常用方法：
102221022210222 ⑴求差比较法：如比较2和2的大小，可通过求差2-2<0可知.2>2 131313131313
999
99999911999099?119990999119 ⑵求商比较法：如99与99，可求99= 99 ????1，方可知=9911999119999119999990
999
⑶乘方比较法：如a3=2，b3=3，比较a、b大小可算 a15=（a3）5= 25=32，b15=
5331515（b）＝3=2 7，可得a＞b，即a＞b．
⑷底数比较法：就是把所比较的幂的指数化为相同的数，然后通过比较底数
的大小得出结果．
⑸指数比较法：就是把所比较的幂的底数化为相同的数，然后通过比较指数的大小，得出结果．
5、单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字
母也是单项式．
6、多项式：几个单项式的和叫做多项式．
7、整式：单项式和多项式统称整式．．
8、单项式的欢数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
9、多项式的次数：一个多项式中，次数的项的次数，叫做这个多项式的次
数．
10、添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都不
变；括号前是“－”号，括到括号里的各项的符号都改变．
11、单项式乘以单项式的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母
的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
12、单项式乘以多项式的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律，用单项
式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
13、多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
14、单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作
为商的因式；对于只在被除武里含有的字母，则连同它的指数一起作为 商的一个因式．
15、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分
别除以单项式，再把所得的商相加．
16、整式乘法的常见错误：（1）漏乘如（在最后的结果中漏乘字母c．
（2） 结果书写不规范 在书写代数式时，项的系数不能用带分数表示，若有带分数一律要化成假分数或小数形式．
（3） 忽略混合运算中的运算顺序 整式的混合运算与有理数的混合运算相同，“有乘方，先算乘方，再算乘除，最后算加减：如果有括号，先算括号里面的．”
（4） 运算结果不是最简形式 运算结果中有同类项时，要合并同类项，化成
最简形式．
（5） 忽略符号而致错 在运算过程中和计算结果中最容易忽略“一”号而致错．
17、乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2+b2，，，完全平方公式：（a±b）
2=a2±2ab+b2
18、平方差公式的语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平
方差．’
19、平方差公式的结构特征：等号左边一般是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项是完全相同，另一项互为相反项问系数互为相反数，其他因数相同人与这项在因式中的位置无关．等号右边是乘积中两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方．
20、运用平方差公式应注意的问题：（1）公式中的a和b可以表示单项式，也可以是多项式；（2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式．如（a＋b－c）（b －a+c）=[（b+a）－c]]［b－（a－c）］=b2 －（a－c）
21、完全平方式的语言叙述：（1）两数和(差)的平方等于它们的平方和加上它们乘积的2倍．字母表示为：(a±b)2=a2±2ab+b2；
22、运用完全平方公式应注意的问题：（1）公式中的字母具有一般性，它可以表示单项式、多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用公式计算；（2）在利用此公式进行计算时，不要丢掉中间项“2ab”或漏了乘积项中的系数积的“ 2”倍；（3）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．
三、经典例题剖析：
1、计算（－3a3）2：a2的结果是（ ）
A．－9a2 B 6a2 C 9a2 D 9a4
2、下列计算正确的是（ ）
12626242nn22nnnA. x?x=x B.(-a)?(-a)=-a C. x?x=x D.(-a)?a=a
3、已知a=8131，b=2741,c=961,则a、b、c的大小关系
是（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a
4、计算（2+1）（22 +1）（23+1）?（22n +1）的值是（ ）
A、42n －1 B、22 C、2n －1 D、22n －1 2n
5、三个连续奇数，若中间一个为n，则这三个连续奇数之积为（ ）
A．4n2－n B. n2－4n C．8n2－8a D．8n2－2n
6、计算：xx=_______； 0.2×5=________； 2399101
－m3·(－m4)·(－m)=_________ ； （a－2 b）(a+2 b)=________．
7、已知代数式2x2＋3x+7的值是8，则代数式4x2 + 6x+ 200=___________
8、已知x2+y2=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
9、若x2－2x+y2+6y+10=0．则x=_________，y= 。
10、一种电子计算机每秒可作8 ×108次运算，它工作 6×102秒可作多少次运算？（结果用科学记数法表示）
11、已知3m ·9m·27m·81m=330,求m的值．
12、证明代数式16＋a －｛8a－［a－9－（3－6a）］｝的值与a的取值无关．
13、试求不等式（3x+4）（3x－4）≥9（x－2）（x+3）的负整数解．
2214、已知x+y=25，x+y=7，且x＞y，x－y的值等于________．
解：本题考查了对完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的灵活运用．由（x+y）2=x2+2xy+y2，可得xy=12．所以（x－y）2=25－24=1．又因为x＞y，所以x—y＞0．所以x—y＝1
15、阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例如：（2a
22＋b）（a+b）=2a＋3ab+ b就可以用图l－l－l或图l－l－2等图形的面积表
示．
（1）请写出图l－1－3所表示的代数恒等式：
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
（a+b）（a+3b）＝a2＋4ab十3b2．
（3）请仿照上述方法另写一下个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的
几何图形．
解：（l）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab +2b2
（2）如图l－1－4（只要几何图形符合题目要即可）．
（3）按题目要求写出一个与上述不同的代数恒等式，画出与所写代数恒等
生对应的平面几何图形即可（答案不）．
点拨：本题是一道阅读理解题，是中考的热点题型．
专题四：分解因式
一、中考要求：
1．经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与
分解因式）．
2．了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接
用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）．
3、通过乘法公式(a?b)(a?b)?a2?b2，(a?b)2?a2?2ab?b2的逆向变形，进一步发展学
生观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力．
二、知识要点：
1．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多
项式分解因式．
2．分解困式的方法：
⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因
式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
⑵运用公式法：公式a2?b2?(a?b)(a?b) ；a2?2ab?b2?(a?b)2
3．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一
定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．
4．分解因式时常见的思维误区：
提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准．若有一项被全
部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等
三、经典例题剖析：
1．下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
.(a?b?1)?a2?ab?a B.a2-a-2=a(a-1)-2 Aa
C.?4a2?9b2?(?2a?3b)(2a?3b) D.a2?4a?5?(a?2)2?9
2．把a2-c2+b2-2ab分解因式的结果是（ ）
A.(a+c)(a-c)+b(b-2a) B.(a-b)2-c2
C.(a+b+c)(a+b-c) D.(a-b+c)(a-b-c)
3．把2m6+6m2分解因式正确的是（ ）
A.2m2(m4+3) B.2m2(m4-3)
C.2m2(m3-3) D.2m2(m3+3)
4. 下列各组多项式中没有公因式的是（ ）
A．3x－2与 6x2－4x B.3（a－b）2与11（b－a）3
C．mx—my与 ny—nx D．ab—ac与 ab—bc
5. 分解因式：x2－9=___________， a3-2a2b+ab2=___________
6. 在实数范围内分解因式：ab2 －2a＝____________
7.分解因式的结果是（a2+2）（a2－2）的多项式是___________.
8.分解因式： （1）25（a＋b）－9（a－b）22 （2）(m2+n2)2-4m2n2
9.（阅读理解题）分解因式：x2 －120x+3456
分析：由于常数项数值较大，则采用x 2 －120x变为差的平方的形式进行分解，这样简便易行：x2 －120x+3456 = x2 －2×60x+3600－3600+3456
= (x－60)2－144=(x－60+12)(x-60-12)=(x－48)(x－
72)
请按照上面的方法分解因式：x2+42x－3526
专题五：分式
一、中考要求：
1．经历用字母表示现实情境中数量关系(分式、分式方程）的过程，了解分式、
分式方程的概念，体会分式、分式方程的模型思想，进一步发展符号感．
2．经历通过观察、归纳、类比、猜想、获得分式的基本性质、分式乘除运算法
则、分式加减运算法则的过程，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．
3．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，
会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过两个）会检验分式方程的根．
4．能解决一些与分式、分式方程有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决
问题的能力和应用意识．
5．通过学习，能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值．
二、知识要点：
A1．分式：整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么B
A称 为分式． B
AA注：（1）若B≠0，则 有意义；（2）若B=0，则 无意义；（2）若A=0且B≠0，BB
A则 =0 B
2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分．
4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；
（2）异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算．
6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘．
7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母
系救的最小公倍数与所有相同因式的次幂的积；（；8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后；里面的．；9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，；10．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方；11．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（；12．分式方程的增根问题：；⑴增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件；13．分式方程的应用：
系救的最小公倍数与所有相同因式的次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号
里面的．
9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
10．分式方程．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
11．分式方程的解法：解分式方程的关键是大分母（方程两边都乘以最简公分母人将分式方程转化为整式方程．
12．分式方程的增根问题：
⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根； ⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．
13．分式方程的应用：
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性．
14．通过解分式方程初步体验“转化”的数学思想方法，并能观察分析所给的各个特殊分式或分式方程，灵活应用不同的解法，特别是技巧性的解法解决问题．
三、经典例题剖析：
1、当x____时，分式3有意义． 1-x
3xxx2?12、先化简，再求值：(，其中x?2. ?)
x?1x?1x
23、先将x?2x?(1?1)化简，然后请你自选一个合理的x值，求原式的值。 x?1x
4、把分式方程11?x的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得（ ） ??1x?22?x
A．1-(1-x)=1 B．1+(1-x)=1 C．1-(1-x)=x-2
D．1+(1-x)=x-2
5、当 k等于（ ）时，kk?1?2与是互为相反数。 k?5k
6532 A． B. C. D. 5623
6、正在修建的西塔（西宁～塔尔寺）高速公路上，有一段工程，若甲、乙两个工程队单独完成，甲工程队比乙工程队少用10天；若甲、乙两队合作，12天可以完成．若没甲单独完成这项工程需要x天．则根据题意，可列方程为_______________-
7、解方程：
8、方程2?x11??1 x?1x?1x?1的解是________ x?3
9、某市今年1月10起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25％，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6 m3，求该市今年居民用水的价格．
解：设市去年居民用水的价格为x元／m3，则今年用水价格为(1+25％) x元／m3．根据题意，得 3618??6， 解得x=1.8 (1?25%)xx
经检验，x=1．8是原方程的解．所以(1+25％）x=2．25．
3 答：该市今年居民用水的价格为 2．25 x元／m．
点拨：分式方程应注意验根．本题是一道和收水费有关的实际问题．解决本 题的关键是根据题意找到相等关系：今年5月份的用水量一去年12月份的用量=6m3.
10、就要毕业了，几位要好的同学准备中考后结伴到某地游玩，预计共需费用1200元，后来又有2名同学参加进来，但总费用不变，于是每人可少分摊30元，试求原计划结伴游玩的人数．
专题六：数的开方与二次根式
一、中考要求：
1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．
2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．
3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．
4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．
二、考点讲解：
1．平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．
2．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
3．算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．
4．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=A，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．
7．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．
8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根； （2
方根为士 2
9．无理数：无限不循环小数叫做无理数．
10．实数：有理数和无理数统称为实数．
有理数?11．实数的分类：实数?或?0??无理数?正实数?负实数?。
12．实数和数轴上的点是一一对应的．
13．二次根式的化简：
14．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式．
15．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．
16．无理数的错误认识：⑴无限小数就是无理数，这种说法错误，因为无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类．如1．414141···(41 无限循环）是无限循环小数，而不是无理数；（2
）带根号的数是无理数，这种说法错误，如
（3）
是无理数，但它们的积却是有理数，再如?和2?都是无理数，但?却是有理数，2?
却是有理数；（4）无理数是无限不循环小数，所以无法在数轴上表示出来，这种说法错误，每一个无理数在数轴上都有一个位
是如此；（5）无理数比有理数少，这种说法错误，虽然无理数在人们生产和生活中用的少一些，但并不能说无理数就少一些，实际上，无理数也有无穷多个．
17．二次根式的乘法、除法公式
18、二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式．
三、经典例题剖析：
1、一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（ ）
A、
+3 D.a2+3
2
3、已知(x-2)2
=0，求xyz的值．
解：48 点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，
若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．
4、27 的平方根是_________
3
点拨27 =3.3
25、在实数中－ ，0
，－3.14
） 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6
那么x取值范围是（ ）
A、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x＞2
7、下列各式属于最简二次根式的是（ ）
A
．3
8、当a
为实数时，则实数a在数轴上的对应点在（ ）
A．原点的右侧 B．原点的左侧 C．原点或原点的右侧 D．原点或原点的左侧
9、下列命题中正确的是（ ）
A．有限小数是有理数 B．无限小数是无理数
C．数轴上的点与有理数一一对应 D．数轴上的点与实数一一对应
10、阅读下面的文字后，回答问题：小明和小芳解答题目：“先化简下式，再求
值：
a+其中a=9时”，得出了不同的答案 ，小明的解答：原式=
－a)=1，小芳的解答：原式= a+(a－1)=2a－1=2×9－1=17 ⑴___________是错误的；
⑵错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：
解：（1）小明 （2）被开方数大于零
点拨：小明的解答是错的．因为a=9时，1－a<0,
根据
化简.
专题七：一元一次方程与二元一次方程组
中考要求：
1．根据具体问题中的数量关系，经历形成方程模型、解方程和运用方程解决实
际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
2．了解一元一次方程及其相关概念，会解一元一次方程（数字系数）
3．能以一元一次方程为工具解决一些简单的实际问题，包括列方程、求解方程
和解释结果的实际意义及合理性，提高分析问题、解决问题的能力．
4．在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体会数学的应用价值．
5．经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，体会方程的模型思想，发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养良好的数学应用意识．
6．了解二元一次方程（组）的有关概念，会解简单的二元一次方程组（数字系
数人能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，并能检验解的合理性．
7．了解二元一次方程组的图象解法，初步体会方程与函数的关系．
8．了解解二元一次方程组的“消元”思想．从而初步理解化“未知”为“已知”
和化复杂问题为简单问题的化归思想．
知识点讲解：
1．方程：含有未知数的等式叫方程．
2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，
这样的方程叫一元一次方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0）
3．解一元一次方程的一般步骤及注意事项：
4．等式的基本性质及用等式的性质解方程：
性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，所得结果仍是等式．若a=b，则a±m＝b±m
性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式；若a=b，则am=bm等式其他性质：若a=b，b=c,则a=c（传递性）． 等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意式性质成立的条件．
5．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程
叫做二元一次方程．
6．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做
二元一次方程组．
7．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元
一次方程组的解．
8．二元一次方程组的解法．
（1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，
主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法．
（2）减消无法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解
二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
9．整体思想解方程组．
?3(x?1)?y?5 ① （1）整体代入．如解方程组?5(y?1)?3(x?5) ②，方程①的左边可化为3(x+5)?
－18=y+5③，把②中的 3（x+5）看作一个整体代入③中，可简化计算过程，求得y．然后求出方程组的解．
?1x+3y?19①?3（2）整体加减，如?因为；调，所以可采用两个方程二元一次方程与一次函数的区；区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数；一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函；表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示；联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程；点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的；坐标都适合
?1x+3y?19 ①?3 （2）整体加减，如?因为方程①和②的未知数?1?3x+y?11 ②?3?x、y的系数正好对
调，所以可采用两个方程二元一次方程与一次函数的区别和联系．
区别：（1）二元一次方程有两个未知数，而一次函数有两个变量；（2）二元
一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式
表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系．
联系：（1）在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些
点都在相应的一次函数的图象上；（2）在一次函数的图象上任取一点，它的
坐标都适合相应的二元一次方程．
10．两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系：在同一直 坐标系
中，两个一次函数图象的交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过
来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的
交点，
11．用作图象的方法解二元一次方程组：（1）将相应的二元一次方程组改写成
一次函数的表达式；（2）在同一坐标系内作出这两个一次函数的图象；（3）观察
图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解．整体相加减求解．利用①+②，得
x+y=9③，利用②－①得x－y=3④，可使③、④组成简单的方程组求得x，y．
经典例题剖析：
23x?5与1．若代数式?mn24x+32nm是同类项，则x=__________. 3
2．已知2x+5y＝3，用含y的代数式表示x，则x=___________；当y=1时，
x=________
3．当k=_______时，方程5x－k=3x＋8的解是－2．
4．有一个数，十位数字是a，个位数字是b，十分位数字是c，那么这个数可表
示为_______.
5．三个连续奇数的和是15，那么其中的奇数为_______.
6
．若x+y+4则 3x+2y＝_______
7．方程??x+y=2没有解，由此一次函数2x+2y=3?3y=2－x与y= －x的图象必定（ ） 2
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法判断
8．已知点(2，－1)是方程y=kx＋1的一个解，则直线y=kx+l的图象不经过的象限是_______
9．若
a+b4b 与3a+b 是同类二次根式，求a、b的值.
10．解方程组：⑴?
?2x+5y=5?3x+2y=5 ⑵? 3x-5y=102x+5y=7??
11．若??ax+by=1?x=-2 是方程组?的解，则（a+b）（a－b）的值为_______. bx+ay=7y=1??
12．学生问老师多少岁，老师说我像你这么大时你才2岁，你长到我这么大时，
我就35岁了，请你算算老师、学生各多少岁？
13．今年我省荔枝又喜获丰收. 目前市场价格稳定，荔枝种植户普遍获利. 据估计，今年全省荔枝总产量为50 000吨，销售收入为61 000万元. 已知“妃子笑”品种售价为1.5万元/吨，其它品种平均售价为0.8万元/吨，求“妃子笑”和其它品种的荔枝产量各多少吨. 如果设“妃子笑”荔枝产量为x吨，其它品种荔枝产量为y吨，那么可列出方程组为 .
x+y=50000 解：??
?1.5x+0.8y=61000
14．甲、乙两件服装的成本共n0元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50％利润定价，乙服装接40％的利润定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
答：甲、乙两件服装的成本分别为300元，200元．
1
4 15．已知x=－3是方程mx=2x-3的一个根，(1)求m的值；⑵求代数式(m2-13m+11)2022
的值．
16．一个由父亲、母亲、叔叔和x个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：
3家庭旅游算团体票，按原价的优惠．这两家旅行社的原价均为100元．试比4
较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？
解：甲旅行社的收费总额为：y1=400+50（x－1）= 50x＋350，乙旅行社的收
费总额为：y2=75（x+3）－75x+225． (1)当孩子数x<5时，乙旅行社的收费
优惠；（2）当孩子数x=5时，两旅行社的收费相同；（3）当孩子数x＞5时，甲旅行社的收费优惠．
专题八：一元一次不等式和一元一次不等式组
一、中考要求：
1．经历将一些实际问题抽象为不等式的过程，体会不等式也是刻画现实世界中
量与量之间关系的有效数学模型，进一步发展符号感．
2、能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义．
3．经历通过类比、猜测、验证发现不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的
基本性质．
4．理解不等式（组）的解及解集的含义；会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示一元一次不等式的解集；会解一元一次不等式组，并会在数轴上确定其解集；初步体会数形结合的思想．
5．能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式（组）解决简单的实际问题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
6．初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别．
二、知识点讲解：
1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子．
2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．
4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．
5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式．
6．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式．
7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以0．
8．一元一次不等式的解法．
解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1（不等号的改变问题）
9．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解．
10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．
11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组．
13．不等式组的分类及解集(a＜
b
14、一元一次不等式组的解．
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。
15．已知不等式组的解集，求字母系数的取值范围．
16．求一元一次不等式组的整数解，非负整数解等特解．
17．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最
多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．
18．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般
步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验，其中检验是正确求解的必要环节．
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