【高考高中】
向量的知识点与高考应用及题型融合 一,向量重要结论
(1、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||
a b a b θ?= (3、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。
(4、两向量平行的充要条件:向量11(,a x y =,22(,b x y =平行?12210x y x y -= (5、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?
(7、向量的坐标运算:向量11(,a x y =,22(,b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等向量:长度相等且
方向相同的向量。
(10、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0 由
于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别
(11、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1
(12、平行向量(共线向量:方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量,平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1 给出直线的方向向量(k u ,1= 或(n m u ,= ,要会求出直线的斜率;
(2给出+与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点; (3给出0 =+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;
(4给出(
+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,A B A C
λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.
(6 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB
∠是钝角, 给出0>=?m MB MA ,等于已知 AMB ∠是锐角。 (8
给出=?? ?+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9在平行四边形ABCD 中,给出0((=-?+,等于已知ABCD 是菱形;
(10 在平行四边形ABCD 中,给出||||AB AD AB AD +=-,等于已知ABCD 是矩形; (11在ABC ?中,给出222==,等于已知O 是ABC ?的外心(三角形外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点; (12 在ABC ?中,给出0=++OC OB OA ,等于已知O 是ABC ?的重心(三角形的重心是三角形三条
中线的交点;
(13在ABC ?中,给出OA OC OC
OB OB OA ?=?=?,等于已知O 是ABC ?的垂心(三角形的垂心是三角形三条高的交点;
(14在ABC ?中,给出+=OA OP (||||
AB AC AB AC λ+(+∈R λ等于已知通过ABC ?的内心; (15在ABC ?中,给出=?+?+?c b a 等于已知O 是ABC ?的内心(三角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点;
(16 在ABC ?中,给出(12
AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线。 (17如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数21,λλ使:2211e e a λλ+=,其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 (18向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合,而向量平行则包括共线(重合的情况
(19向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关 (201.结合律不成立:((
a b c a b c ??≠??;
2.消去律不成立a b a c ?=?不能得到b c =?
3.a b
?=0不能得到a =0或b =0
1、 向量与三角函数的结合
向量与三角函数结合,题目新颖而精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查
1.(江西18.已知向量 x f x x x x ?=-+=+=(,4
2tan(,42sin(2(,42tan(,2cos 2(令πππ. 是否存在实数?(((0((],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x "="+∈π若存在,则求出x 的值;若不存在,则证明之. 解:4
2tan(42tan(42sin(2cos
22(πππ-+++=?=x x x x x f 12cos 22cos 2sin 22
tan 112tan 2tan 12tan 12cos 222sin 22(2cos 222-+=+-?-+++=x x x x x x x x x x .cos sin x x += x
x x x x f x f x f x f sin cos cos sin ((:,0((-++="+="+即令 .0cos 2==x .
0((],,0[2,2="+∈==x f x f x x 使所以存在实数可得ππ π
2.已知向量(cos ,sin m θθ=和((2sin ,cos ,,2n θθθππ=-∈,且825m n +=求cos 28θπ??+ ???的值. 分析:考查知识点:(三角和向量相结合
解:(cos sin sin m n θθθθ+=-+ (cos m n +=
由已知82m n +=,得7cos 425πθ??+= ?? ?又2cos 2cos (1428πθπθ??+=+- ??? 216cos ( 2825θπ+= ∴(,2θππ∈ ∴ 598288
πθππ<+< ∴ cos 028θπ??+< ???
∴ 4cos 285θπ??+=- ??? 3.(2022上海卷文(本题满分14分本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分 . 已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ,设向量(,m a b =,
(s i n ,s i n B A =,(2,2p b a =-- . (1 若m //n ,求证:ΔABC 为等腰三角形;
(2 若m ⊥p ,边长c = 2,角C = ΔABC 的面积 . 证明:(1//,sin sin ,m n a A b B ∴=u v v Q 即22a b a b R R
?=?,其中R 是三角形ABC 外接圆半径,a b = ABC ∴?为等腰三角形
解(2由题意可知//0,(2(20m p a b b a =-+-=u v u v 即 a b ab ∴+= 由余弦定理可知, 222
4(3a b ab a b ab =+-=+- 2(340ab ab --=即 4(1
ab ab ∴==-舍去 11 sin 4sin 223
S ab C π∴==??=2、 与函数的结合
向量与函数的结合,是以向量为载体来考查函数,所以本质上仍然是函数题 4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定义函数
3(,3(,2(,2(,1(,1(.:f C f B f A N M f 若点→若三角形ABC 的外接圆圆心为D,且(R ∈=+λλ则满足条件的函数f(x有(
A 6个 B 10个 C 12个 D 16个
5.(湖北理17.已知向量b a x f t x b x x a ?=-=+=(,,1(,1,(2若函数在区间(-1,1上是增函数,求t
的取值范围.
分析:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性,以及运用基本函数的性质分析
和解决问题的能力。
解法1:依定义,1(1((232t tx x x x t x x x f +++-=++-= .23(2t x x x f ++-="则
.0(1,1(,1,1((≥"--x f x f 上可设则在上是增函数在若 ,3 1(,
23(,1,1(,230(22=-=--≥?≥"∴x x g x x x g x x t x f 的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间 开口向上的抛物线,故要使x x t 232
-≥在区间(-1,1上恒成立?.5,1(≥-≥t g t 即 .1,1((,0(1,1((,5上是增函数在即上满足在时而当->"-"≥x f x f x f t
5≥t t 的取值范围是故. 解法2:依定义,1(1((2
32t tx x x x t x x x f +++-=++-= . 0(1,1(,1,1((.
23(2≥"--++-="x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若
(x f " 的图象是开口向下的抛物线, 时且当且仅当051(,011(≥-=-"≥-="∴t f t f .5.
1,1((,0(1,1((≥->"-"t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在 3、 与解析几何的结合
平面向量与解析几何结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理,目标是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算
6.已知双曲线2 2 12
y x -=的焦点为F 1、F 2,点M 在双曲线上且120,MF MF ?=则点M 到x 轴的距离为(C (A 43 (B 53 (C
3 (D
7.已知两点M (-2,0、N (2,0,点P 0=?+,则动点P
(x ,y 的轨迹方程为( B (A x y 82= (B x y 82-= (C x y 42= (D x y 42-= 8.已知点A(-2,0,B(3,0,动点P(x,y满足2x PB PA =?,则点P 的轨迹是(DA.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
[点评]此题考查轨迹方程和向量的基本运算等知识,属于较简单的题. 9.(2022全国卷Ⅰ理已知椭圆2 2:12
x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF =
解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ,易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆
的第二定义,得2||233BF ==||AF =故选A 10.(2022浙江理过双曲线22 221(0,0x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C .若12AB BC =,则双曲线的离心率是 (
A B C D 答案:C
【解析】对于(,0A a ,则直线方程为0x y a
+-=,直线与两渐近线的交点为B ,C ,22,,(,a ab a ab B C a b a b a b a b ??- ?++--??
, 则有22222222(,,,a b a b ab ab BC AB a b a b a b a b ??=-=- ?--++?? ,
因222,4,AB BC a b e =∴=∴=
11.(2022浙江文已知椭圆22 221(0x y a b a b
+=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是(
A B C .13 D .12D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.
【解析】对于椭圆,因为2AP PB =,则1 2,2,2OA OF a c e =∴=∴=
12.(2022四川卷文已知双曲线0(1222 2>=-b b
y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ,其一条渐近线方程为x y =,点,3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF =
A. -12 B. -2 C. 0
D. 4 【答案】C
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。(同文8 解析:由题知22
=b ,故0,2(,0,2(,123210F F y -±=-±=, ∴01431,32(1,32(21=+-=±-?±--=?PF PF ,故选择C 。
解析2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程
22 122
x y -=,则左、右焦点坐标分别为12(2,0,(2,0F F -, 再将点0P y
代入方程可求出1P ±,则可得120PF PF ?=,故选C 。
13.(2022全国卷Ⅱ理已知双曲线(22 2210,0x y C a b a b -=>>:的右焦点为F ,过F C 于
A B 、两点,若4AF FB =,则C 的离心率为 A .
65 B. 75 C. 58 D. 95
解:设双曲线22 221x y C a b
-=:的右准线为l ,过A B 、分 别 作
AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N , BD AM D ⊥于,由直 线AB 的斜 率 为 ,知直线 AB 的倾斜角为
1 6060,||||2
BAD AD AB ?∴∠=?= , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有
1||||||(||||AM BN AD AF FB e -==-11 ||(||||22AB AF FB ==+. 又156 43||||25
AF FB FB FB e e =∴?=∴= 故选A
14.(2022年上海卷理已知1F 、2F 是椭圆1:22 22=+b
y a x C (a >b >0的两个焦点,P 为椭圆C 上一点, 且21PF PF ⊥.若21F PF
?的面积为9,则b =____________.【答案】3 【解析】依题意,有?? ?
??=+=?=+2222121214||||18||||2||||c PF PF PF PF a PF PF ,可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b =3。 15.已知椭圆22 221x y a b
+=(a >b >0上总存在点P ,使120PF PF ?=,其中F 1,F 2是椭圆的焦点, 那么该椭圆离心率的取 值范围是? ????
[点评]此题借助向量语言给出12PF PF 和的垂直关系,重点考查椭圆的几何性质. 向量与解析解答题
16.已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足|a
|+|b |=4.
(1求点P(x,y的轨迹C 的方程. (2如果过点Q(0,m且方向向量为c
=(1,1 的直线l 与点P 的轨迹交于A ,B 两点,当?AOB 的面积取到最大值时,求m 的值。
解:(1 a =j y i x +-3(, |b |=j y i x ++3(,且|a |+|b |=4.
∴ 点P(x,y到点(3,0,(-3,0的距离这和为4,故点P 的轨迹方程为14
22=+y x (2设A(11,y x ,B(22,y x 依题意直线AB 的方程为y=x+m.代入椭圆方程,得
0448522=-++m mx x ,则1x +2x =-5 8m, 1x ?2x =1(254 -m 因此,225 22 1
5(m m d AB S AOB -= =?
当225m m =-时,即m=2 10±
时,1max =S
[变式1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足 ||a |-|b
||=2.求点P(x,y的轨迹C 的方程.(轨迹为双曲线 [变式2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足b ?i =|a |.求点P(x,y的轨迹C 的方程. [提示:设K(-3,0,F (3,0,则b ?i
表示在x 轴上射影,即点P 到x= -3的距离,所以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为1,故点P 的轨迹是以(3,0为焦点以x= -3为准线抛物线]
[变式3] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足b ?i =λ|a |.求点P(x,y的轨迹C 的方程. [提示:设K(-3,0,F (3,0,则b ?i
表示在x 轴上射影,即点P 到x= -3的距离,所
以点P 到定点F 的距离与到定直线x= -3的距离比为λ1 =?i b a ,当110<<λ时,点P 的轨迹是
以(3,0为焦点,以x= -3为相应准线的椭圆;当11>λ
时,点P 的轨迹是以(3,0为焦点,
以x= -3为相应准线的双曲线的右支;若想得到双曲线的双支λ应满足什么条件?]
[变式4] 已知平面上两定点K 、F ,P 为一动点,满足,KF KP
?=求点P(x,y的轨迹C 的方程.(以F 焦点,过K 且垂直于KF 的直线为准线的抛物线
[变式5] 已知平面上两定点K 、F ,P 为一动点,满足,
?=.求点P(x,y的轨迹C 的方程.(以F 焦点,过K 且垂直于KF 的直线为准线的圆锥曲线。 17. 已知点A(22-,0,B(2-,0动点P 满足||||2?=?
(1若动点P 的轨迹记作曲线C 1,求曲线C 1的方程. (2已知曲线C 1交y 轴正半轴于点Q ,过点D (0,3
2 -
作斜率为k 的直线交曲线 C 1于M 、N 点,求证:无论k 如何变化,以MN 为直径的圆过点Q.
解:(1设P(x ,y,则有,22(y x += 0,2(= ,2(y x += ∵||||2BP AB AB AP ??= ? ∴222(2242y x x ++??=+ 得:4222=+y x
(2由12422=+y x 得Q (0,2 设直线C 的方程为y=kx -3 2
代入x 2+2y 2=4得 (1+2k 2 x 209 32 324=--
kx 设M(x 1,y 1 N(x 2,y 2 2,(,2,(2211-=-=y x QN y x QM ∵2 211(324k k x x +=
+ 21(932221k x x +-=? 又∵324(121- +=?kx x x 3 24(2-kx =09 3221(32432421 1(932
932(3241(222212
21=++?-++-=++-+k k k k k x x k k x x ∴QN QM ⊥ ∴点Q 在以MN 为直径的圆上.
[变式1] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足
|a +b
|=4..求点P(x,y的轨迹C 的方程. (OP BP AP 2=+,点P 轨迹为圆,其中A (3,0,B (- 3,0
[变式2] 已知j i ,是x,y 轴正方向的单位向量,设a =j y i x +-3(, b =j y i x ++3(,且满足 a ?b
=6.求点P(x,y的轨迹C 的方程. (轨迹为圆 18设椭圆方程为22 14 y x +
=,过点M(0,1的直线l 交椭圆于A,B,O 是坐标原点,点P 满足( 1
2OP OA OB =+,点N 的坐标为11,22?? ???
.当l 绕点M 旋转时,求(1动点P 的轨迹方程;(2NP 的最大值和最小值. [解析]⑴设:1l y kx =+,代入2
2 14
y x +=中消y 得(224230k x kx ++-=. 设((1122,,,,A x y B x y 则(121212
22 28
,244k x x y y k x x k k +=-+=++=++ ( 12122214,,22
244x x y y k OP OA OB k k ++??? ?∴=
+==- ? ?++???? 设(,P x y ,则2 2444k x k y k ? =-??+??=?+? ,消k 得2240x y y +-=
当k 不存在时,AB 中点为(0,0,满足上述方程. 所以P 点轨迹方程是22 40x y y +-=.
⑵由P 点轨迹方程知2 111 ,1644 x x ≤ ∴-≤≤
24.(天津市十二区县重点中学 如图，若 F1 , F2 为双曲线 满足
的左、右焦点， O 为坐标原点， P 在双曲线左支上， M 在右准线上，
且
（Ⅰ）求此双曲线的离心率； （Ⅱ）若此双曲线过点 N (2,
3, 求双曲线的方程； （Ⅲ）设（Ⅱ）中双曲线的虚轴端点为 B1 , B2 ( B1 在 y 轴的正半轴上） ，过 B2 点作直线 l 与双曲线交于 A, B 两 点，当 直线 l 的方程。 解． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由 PF1OM 是平行四边形， 又 c，则
=c+2a， 由双曲线第二定义 ????4 分 PF2 可知 分） c P M PM c （Ⅱ）∵
∴
，即
时，求知四边形
，四边形 PF1OM 是菱形 设焦半距为
分 ∴即
（6
∴双曲线方程为 2
a 3a ????8
又∵双曲线过点 N（2， 3 ） ，∴
分 ∴所求双曲线方程为
（Ⅲ）由题意知 B1（0，3） ，B2（0，-
3） ， 设直线 l 的方程为 y=kx-3，A（x1，y1） ，B（x2，y2） 则由
消去 y 得 当
∵双曲线的渐近线为
， ∴
分 ????10 分 x
时，直线 l 与双曲线只有一个交点，即
分
而
????13 分 l 的方程为
又∵
即 分 直线
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false