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第1章质点运动学P21
1.8一质点在xOy平面上运动，运动方程为：x=3t+5, y=
x的单位为m。质点在x=0处，速度为10m/s,试求质点在任何坐标处的速度值。
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t+3t-4. 2解：由a?两边积分
dvdvdxdv??v得：vdv?adx?(2?6x2)dx dtdxdtdxv式中t以 s计，⑴以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；x,y以m计。⑵求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；⑶
计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；⑷求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)。
2解：（1）r?(3t?5)i?(t?3t?4)jm
?10vdv??(2?6x2)dx得：v22?2x?2x3?50
0x∴v?2x3?x?25 m?s?1
1.11一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为?=2+3t3，式中?以弧度计，t以秒计，求：⑴ t＝2 s时，质点的切向和法向加速度；⑵当加速度
的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?
??12???????⑵ t?1s,t?2s时，r1?8i?0.5j m；r2?11i?4jm
?????∴ ?r?r2?r1?3i?4.5jm
⑶t?0s时，r0?5i?4j；t?4s时，r4?17i?16j
d?d??9t2,???18t dtdt⑴ t?2s时，a??R??1?18?2?36m?s?2
解： ??an?R?2?1?(9?22)2?1296m?s?2 ⑵ 当加速度方向与半径成45ο角时，有：tan45??a?an?1
3222即：R??R?，亦即(9t)?18t，解得：t?3则角位移为：??2?3t?2?3??????????????r?r?r12i?20j??40??3i?5jm?s?1 ∴v??t4?04??????dr??1?3i?(t?3)jm?s⑷v?，则：v4?3i?7j m?s?1 dt??????(5)t?0s时，v0?3i?3j；t?4s时，v4?3i?7j
???????vv4?v04j???1jm?s?2 a??t44???dv?1j m?s?2这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。 (6) a?dt1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a?2?6x，a的单位为m/s2，
22 92?2.67rad 91.13 一质点在半径为0.4m的圆形轨道上自静止开始作匀角加速度转动，其角加速度为?=0.2 rad/s2，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度。
?1解：t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s
则v?R??0.4?0.4?0.16m?s
?2an?R?2?0.4?(0.4)2?0.064m?s
?1a??R??0.4?0.?2a?m0.0?s?2
2an?a?2?(0.064)2?(0.08)2?0.102m?s?2
与切向夹角??arctan(ana?)?0.0640.08?43?
1
第2章质点动力学
2.10质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，
???????1?1?v1??p1m?5.6m?si；I1??p1?56kg?m?si
若物体原来具有?6m?s?1初速，则
t?t??????p0??mv0 , p?m(?v0??Fm?dt)??mv0??Fdt00 ??t???????于是：?p2?p?p0??Fdt??p1,同理有：?v2??v1,I2?I1
t=0时质点的速度为v0，证明：⑴t时刻的速度为v=v0ekk?()tm；⑵ 由0到t的
?()tmv0时间内经过的距离为x＝()［1-em］；⑶停止运动前经过的距离为
kmm1v0()；⑷当t?时速度减至v0的，式中m为质点的质量。
kke解：f??kv，a?fm??kvm
dvkvdt⑴ 由a?得：dv?adt??dtmvdvt?kdtdvk??dt，即???分离变量得：，
v0v0mvmv?kt?kt因此有：ln?lnem，∴v?v0em
v0xtdx?kt?kt⑵ 由v?得：dx?vdt?v0emdt，两边积分得：?dx??v0emdt00dt
kmv0?t(1?em)∴x?k0这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理。
⑵ 同上理，两种情况中的作用时间相同，即：I?2?t0(10?2t)dt?10t?t2
亦即：t?10t?200?0，解得t?10s，(t??20s舍去)
???????2.17 设F合?7i?6jN。⑴ 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km?时，求F所作的功。⑵ 如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率。⑶ 如果
质点的质量为1kg，试求动能的变化。
??解： ⑴ 由题知，F合为恒力，且r0?0
⑶ 质点停止运动时速度为零，v?v0e故有：x??kt?m?0，即t→∞，
???????∴ A合?F??r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)??21?24??45J
A45??75w⑵ P??t0.6⑶ 由动能定理，?Ek?A??45J
2.20一根劲度系数为k1的轻弹簧A的下端，挂一根劲度系数为
??0v0ekt?mdt?mv0k
k?m?mkk2的轻弹簧B，B的下端又挂一重物C，C的质量为M，如
⑷ t?mk时，其速度为：v?v0e即速度减至v0的1e.
?v0e?1?v0e，
???2.13 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，又F?k?x，F?k?x
A11B22⑴ 求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量。⑵ 为了
使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物
?体和一个具有初速度?6jm/s的物体,回答这两个问题。 解：⑴ 若物体原来静止，则
弹性势能之比为：
图。求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比。 解：弹簧A、B及重物C受力如题2.20图所示平衡时，有： FA?FB?Mg ，
所以静止时两弹簧伸长量之比为：?x1?x2?k2k1
Ep1Ep2??t?4??p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?s?1i,沿x轴正向，
0012?k1?x12k2??212?k2?x2k1
2
第3章刚体力学基础
3.7 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩。
???解： 由题知，质点的位矢为：r?x1i?y1j
?????作用在质点上的力为：f??fi
所以，质点对原点的角动量为：
????????L0?r?mv?(x1i?y1j)?m(vxi?vyj)?(x1mvy?y1mvx)k
???????作用在质点上的力的力矩为：M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk 3.8 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为r1＝8.75×1010m 时的速率是v1＝5.46×104m/s，它离太阳最远时的速率是v2＝
9.08×102 m/s,这时它离太阳的距离r2是多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力，即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有：
????∴?L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1
??t?t???L??M?dt??(r?f)dt00?????dL3??152????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt 解法(二) ∵M?， ∴??023dt????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?103.10 平板中央开一小孔，质量为m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M1的下方再挂一质量为M2的物体，如题3.10图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?
解：只挂重物M1时，小球作圆周运动，向心力为
2M1g，即：M1g?mr① ?00
挂上M2后，则有：(M1?M2)g?mr???② 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒。 即：r0mv0?r?mv??r02?0?r?2?? ③ 联立①、②、③得：?0?2r1v18.75?1010?5.46?104rmv2∴ r2???5.26?1012m 1v1?r2m2v29.08?10???????3.9 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im,v?i?6j(m/s)，如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后，⑴ 物体动量的变化；⑵ 相对z轴角动量的变化。
??3???1 解：⑴?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s
0???⑵ 解法(一) 由a?fm?53 jN得：x?x0?v0xt?4?tt?3?4?3?7m
?1515y?v0yt?at2?6t?t2?6?3???32?25.5j
26t?323?????即有：r1?4i,r2?7i?25.5j
vx?v0x?1；vy?v0y?at?6?53?3?11
??????????即有：v2?i1?6j,v2?i?11j
?????????∴L1?rv1?4i?3(i?6j)?7 2k1?m??????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j?)3i(?1j1?)1 5k4.53
M1gM1gM1?M22，???()3， mr0mr0M1
1M1?M2M1r??g?()3?r0 2m??M1?M23.11飞轮的质量m＝60kg，半径R＝0.25m，绕其水平中心轴O转动，转
速为900 rev/min。现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F，可使飞轮减速。已知闸杆的尺寸如题3.11图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算。试求：
⑴ 设F＝100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? ⑵ 如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力F?
N?是正压力，解：⑴ 先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b))。图中N、Fr、
mRl?60?0.25?0.50?15?Fr?是摩擦力，Fx和Fy是杆在A点
转轴处所受支承力，R是轮的重力，
P是轮在O轴处所受支承力。
杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有：
F(l1?l2)?N?l1?0， N??(l1?l2)Fl1
对飞轮，按转动定律有???FrRI，式中负号表示?与角速度?方向相反。∵ Fl?l2r??N ，N?N?∴Fr??N???1lF 1又∵I?12FR2?(l1?l2)2mR，∴???rI??mRlF ① 1以F?100N等代入上式，得：
???2?0.40?(0.50?0.75)60?0.25?0.50?100??403rad?s?2
由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为：
t???0??900?2??360?40?7.06s 这段时间内飞轮的角位移为：
???1900?2?0t?? t2?60?94??12?403?(924?)2?53.1?2?rad 可知在这段时间里，飞轮转了53.1转。 ⑵?0?900?2?60rad?s?1，要求飞轮转速在t?2s内减少一半，可知 ???02??0???015?2t??2rad?s?2t
用上面式⑴所示的关系，可求出所需的制动力为：
F??12?(ll??177N
1?2)2?0.40?(0.50?0.75)?23.13计算题3.13图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆
柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1=50kg，m2=200 kg，M=15 kg，r=0.1 m
解：分别以m1、m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对m1、m2运用牛顿定律，有：m2g?T2?m2a；T1?m1a
对滑轮运用转动定律，有：T?T122r1r?(2Mr)?又a?r?
由以上4个方程解得：a?m2gm?200?9.8?7.6 m?s?2
1?m2?M25?200?152
题3.13(a)图题3.13(b)图
3.14如题3.14图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。求： ⑴ 初始时刻的角加速度；⑵ 杆转过?角时的角速度. 解：⑴ 由转动定律有：mg12l?(13ml2)?， ∴ ??3g2l⑵ 由机械能守恒定律有：mglsin??1(1ml2)?2223∴ ??3gsin?l 4
3.15 如题3.15图所示，质量为M，长为l的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴O无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上。现有一质量为m的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度??30°处。
⑴设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速v0的值； ⑵相撞时小球受到多大的冲量?
解：⑴ 设小球的初速度为v0，棒经小球碰撞后得到的初角速度为?，而小球的速度变为v，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：mv0l?I??mvl①
3.17 一质量为m、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转动。另一质量为m0的子弹以速度v0射入轮缘(如题3.17图所示方向)。 ⑴开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? ⑵用m,m0和?表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比。
解：⑴射入的过程对O轴的角动量守恒：
112122mv?I??mv0222②
上两式中I?Ml23，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度??30o，按机械能守恒定律可列式：
Rsin?m0v0?(m?m0)R2?
mvsin?∴??00
(m?m0)Rmvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2?⑵??2Ek0m0v02m?m03.18 弹簧、定滑轮和物体的连接如题3.18图所示，弹簧的劲度系数为2.0 N/m；定滑轮的转动惯量是0.5kg·m2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长。
解：以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有：mgh?又??v/R，
12lI??Mg(1?cos30?) ③ 221212?3g3??Mgl?(1?cos30?)???(1?)? 由③式得：???Il2????I?2I?22由①式得：v?v0?④由②式得：v?v0?⑤
mlmI?2I2)?v0??2 所以：(v0?mlm111mv2?I?2?kh2 2226(2?3)gl3m?Ml?Il1M (1?2)?(1?)??2ml23m12m⑵相碰时小球受到的冲量为：?Fdt??(mv)?mv?mv0
求得：v0?由①式求得：Fdt?mv?mv0??(2mgh?kh2)R2(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32v??2故有： mR?I6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1
?6(2?3)glI?1??Ml???M l36负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反。
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