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《三角函数》
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应用 弧长公式 同角三角函数诱导 应用的基本关系式 公式 应用三角函数的 角度制与 任意角的任意角的概念 图像和性质 弧度制 三角函数和角公式 应用 倍角公式 应用差角公式 应用一、任意角的概念与弧度制
1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
?2、同终边的角可表示为?????k360计算与化简 证明恒等式 应用 已知三角函数值求角 ???k?Z?
x轴上角：????k180??k?Z?
y轴上角：????90?k180??k?Z?
??k?Z? ??k?Z? ??k?Z? ??k?Z?
??3、第一象限角：?0?k360???90?k360??? 第二象限角：?90?k360???180?k360??? 第三象限角：?180?k360???270?k360??? 第四象限角：?270?k360???360?k360?4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角
?? 第一象限角：?0?k360???90?k360???k?Z?
锐角：?0???90??小于90的角：????90?
?为第几象限角？ 25、若?为第二象限角，那么
?2?2k??????2k?
?4?k???2??2?k?
k?0,所以
?4????2, k?1,5?3????, 42?在第一、三象限 26、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad. 7、角度与弧度的转化：1??8、角度与弧度对应表： 角度 弧度 ?180?0.017451?180???57.30??57?18?
0? 0 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 2? 33? 45? 6? 6? 4? 3? 2? 2?
9、弧长与面积计算公式弧长：l???R；面积：S?
二、任意角的三角函数
11l?R???R2，注意：这里的?均为弧度制. 22yxy1、正弦：sin??；余弦cos??；正切tan??
rrx 其中?x,y?为角?终边上任意点坐标，r?
2、三角函数值对应表：
度 0
0 弧度
sin? 0
cos? 1
P(x,y)rx2?y2. ? 30 45 60 90 120 135 150 180 270? 360 2? 0 ? 61 2? 42 22 2? 33 21 2? 22? 33? 45? 6? 0 3? 21 3 22 21 21 3 20 31?2? ? 222 ?1 0 1 tan? 0 3 31 3 无 ?3 ?1 ?33 0 无 0
3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）
sin? tan? cos? 第一象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第二象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第三象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0, 第四象限：.x?0,y?0 sin??0,cos??0,tan??0,
4、三角函数线
设任意角?的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P(x,y)， 过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角?的终边或其反向 延长线交于点T.y y T P P
A Ax M o o M x
T（Ⅱ）（Ⅰ）
y y T
M M A A
x x o o
P P T
（Ⅲ） （Ⅳ）
由四个图看出：
当角?的终边不在坐标轴上时，有向线段OM?x,MP?y，于是有
yyxx??y?MP，cos????x?OMr1r1， yMPATtan?????AT．
xOMOA我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。 sin??
5、同角三角函数基本关系式
sin2??cos2??1 tan??sin??tan?cot??1 cos?(sin??cos?)2?1?2sin?cos? (sin??cos?)2?1?2sin?cos?
(sin??cos?，sin??cos?，sin??cos?，三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
n???口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是2中整数n的奇偶性，把?看作锐角)
nn??n?n??(?1)2sin?,n为偶数?(?1)2cos?,n为偶数sin(??)????)??；cos(. n?1n?122?(?1)2cos?,n为奇数?(?1)2sin?,n为奇数??①.公式（一）：?与??2k?,?k?Z?
sin(??2k?)?sin?；cos(??2k?)?cos?；tan(??2k?)?tan?
②.公式（二）：?与??
sin??????sin?；cos?????cos?；tan??????tan?
③.公式（三）：?与???
sin???????sin?；cos???????cos?；tan??????tan?
④.公式（四）：?与???
sin??????sin?；cos???????cos?；tan???????tan?
⑤.公式（五）：?与
?2??
??????sin?????cos?；cos??????sin?； ?2??2?⑥.公式（六）：?与
?2??
??????sin?????cos?；cos?????sin?； ?2??2?⑦.公式（七）：?与
3??? 2?3???3??sin??????cos?；cos?????sin?； ?2??2?⑧.公式（八）：?与
3??? 2
?3???3??sin??????cos?；cos??????sin?； ?2??2?
三、三角函数的图像与性质
1、将函数y?sinx的图象上所有的点，向左（右）平移?个单位长度，得到函数y?sin?x???的图象；再将函数y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1?倍（纵坐标不变），得到函数y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数
y?Asin??x???的图象。
2、函数y?Asin??x????A?0,??0?的性质： ①振幅：A；②周期：T?2??；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?。 T2?3、周期函数：一般地，对于函数f?x?，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足
f?x?T??f?x?，那么函数f?x?就叫做周期函数，T叫做该函数的周期.
4、⑴y?Asin(?x??) 对称轴：令?x???k??，得x?2?k???k??? 对称中心：?x???k?，得x?，(,0)(k?Z)；
??k???⑵y?Acos(?x??) 对称轴：令?x???k?，得x?；
?k???2??
???k????k?????22对称中心：?x???k??，得x?，(,0)(k?Z)；
2??⑶周期公式:
①函数y?Asin(?x??)及y?Acos(?x??)的周期T?②函数y?Atan??x???的周期T?2?? (A、ω、?为常数，且A≠0).
? (A、ω、?为常数，且A≠0). ?5、三角函数的图像与性质表格
函数 性 质 y?sinx y?cosx y?tanx 图像
定义域 值域 R R ????xx?k??,k?Z? 2????1,1? 当x?2k????1,1? 当x?2k??k?Z?时， R ?k?Z?时，?2最值 ymax?1； 当x?2k???2?k?Z?时，ymax?1；当x?2k??? 既无最大值也无最小值 ?k?Z?时，ymin??1． ? ymin??1． 周期性 奇偶性 在??单调性 2? 2? 奇函数 偶函数 奇函数 ?????2k?,?2k?? 2?2??k?Z?上是增函数； 在?在????2k?,2k???k?Z?上是增函数； 在?2k?,2k?????k?Z? 上是减函数． 在?k?????2,k????? 2?3?????2k?,?2k?? 2?2??k?Z?上是增函数． ?k?Z?上是减函数． 对称中心对称性 对称中心?k?,0??k?Z? 对称轴x?k???2?k?Z? ???k??,0??k?Z? ?2??对称轴x?k??k?Z? 对称中心??k??,0??k?Z? ?2?无对称轴 6. 五点法作y?Asin(?x??)的简图，设t??x??，取0、再描点作图。
7. y?Asin(?x??) 的的图像
?3?、?、、2?来求相应x的值以及对应的y值22
8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
①y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 将y?f(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）
②y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 将y?f(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
①y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 将y?f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的
1倍（w?1缩短， w0?w?1伸长）
②y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 将y?f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A?1伸长，
0?A?1缩短）
（3）函数的对称变换：
① y?f(x)?y?f(?x)) 将y?f(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x轴对称）
② y?f(x)?y??f(x)将y?f(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y轴对称）
③y?f(x)?y?f(x) 将y?f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）
四、三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）sin(???)?sin?cos??sin?cos?(2）sin(???)?sin?cos??sin?cos? (3）cos(???)?cos?cos??sin?sin? (4）cos(???)?cos?cos??sin?sin?
???)?(5）tan(tan??tan? ?tan??ta?n?1?tan?tan?tn???a??? ?1?tan??tan???)?(6）tan(tan??tan??tan??tan??tan??????1?tan?tan??
1?tan?tan?(7) asin??bcos?=定,sin??a2?b2sin(???)(其中,辅助角?所在象限由点(a,b)所在的象限决
aa2?b2,tan??b ，该法也叫合一变形). aba2?b2,cos??(8)
1?tan??1?tan???tan(??)?tan(??)
1?tan?41?tan?4
2. 二倍角公式
（1）sin2a?2sinacosa
（2）cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1
2222tan2a?（3）
2tana
1?tan2a
3. 降幂公式：
cos2a?（1）
4. 升幂公式
1?cos2a1?cos2a2 （2） sina?22
2（1）1?cos??2cos（3）1?sin??(sin（5）sin??2sin
?2 （2）1?cos??2sin2?2
?2?cos?2)2 （4）1?sin2??cos2?
?2cos?2
5. 半角公式（符号的选择由
?所在的象限确定） 2sin（1）
a1?cosaa1?cosa， ， ??cos??2222（2）
a1?cosasina1?cosatan????21?cosa1?cosasina （3）
6. 万能公式:
2tan（1）sin???2, （2）cos??1?tan21?tan2??2, 21?tan22tan（3）tan???22.
??1?tan2
27.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、
化简的方法技能。
（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删除角的恒等变形 （2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：
asin??bcos??a2?b2sin(???)其中cos??aa?b22,sin??b22y?sinx?3cosx
a?b，比如：
?12?(3)2(11?(3)22sinx?31?(3)22cosx)
???13?2(sinx?cosx)?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
33322
（3）注意“凑角”运用：?????????， ?????????，??1?????????????
?2?例如：已知?、??(3?3?12?,?),sin(???)??，sin(??)?，则cos(??)?? 454134（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特别是常数“1”可转化为“sin??cos?”
（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：1?cosa常用升幂化为有理式。
（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去选择更合适、简捷的方法去解题目。
（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina?cosa ，sinacosa sina?cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。
22
8.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
①y?asinx?b（或acosx?b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②y?asinx?bcosx型：引进辅助角化成y?a2?b2sin(x??)再利用有界性 ③y?asin2x?bsinx?c型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx?1的约束 ④y?asinx?b型：反解出sinx，化归为sinx?1解决
csinx?d⑥y?a(sinx?cosx)?bsinx?cosx?c型：常用到换元法：t?sinx?cosx，但须注意t的取值范围：
t?2。
9.三角形中常用的关系：
sinA?sin(B?C)，cosA??cos(B?C)， sinsin2A??sin2(B?C)，cos2A?cos2(B?C)
AB?C?cos， 22sin15??cos75??10. 常见数据：
6?2,sin75??cos15??46?2， 4tan15??2?3, tan75??2?3,
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