【综合文库】
2022高考数学二轮复习课时规范训练
1?π?由x∈?0，?，从而sin x＝，
2?2?π
所以x＝.
6
(2)f(x)＝a·b＝3sin x·cos x＋sinx＝
2
π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋， 6?2222?
π?π?π??当x＝∈?0，?时，sin?2x－?取最大值1.
2?6?3??3
所以f(x)的最大值为.
2
10．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.
(1)求B的大小；
(2)若b＝2，△ABC的面积为3，求a，c. 解：(1)因为p⊥q，
所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0， 则sinB－cosB＋2sinB－2＝0， 32
即sinB＝，
4
又角B是锐角三角形ABC的内角， 所以sin B＝3
，所以B＝60°. 2
2
2
2
(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为3， 1
所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①
2由余弦定理得b＝a＋c－2accos B， 又b＝2，所以a＋c＝8，② 取立①②，解得a＝c＝2.
12
11．(2022·淄博诊断)已知函数f(x)＝3sin ωxcos ωx－cosωx＋(ω＞0)，与
2
2
2
2
2
2
f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.(导学号 55410111)
π3π12
?π5π?(1)讨论函数f(x)在区间?－，?上的单调性； ?1212?
(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝3，f(C)＝1，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值．
44
2022高考数学二轮复习课时规范训练
解：(1)f(x)＝π??sin?2ωx－?， 6??
31＋cos 2ωx131
sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝22222
由于f(x)图象的对称轴x＝12ππππ
得·＝－＝， 42ω3124
ππ相邻的零点为x＝， 312
π??所以ω＝1，则f(x)＝sin?2x－?.
6??
ππ?π?令z＝2x－，函数y＝sin z单调增区间是?－＋2kπ，＋2kπ?，k∈Z，
26?2?πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
262ππ
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
63π5π??－，?， 设A＝?
?1212?
??π?π??， －＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ZB＝x?3??6?
?ππ?易知A∩B＝?－，?，
?123?
?π5π??ππ??π5π?所以当x∈?－，?时，f(x)在区间?－，?上单调递增，在区间?，?上单?1212??123??312?
调递减．
π??(2)sin?2C－?－1＝0， 6??π??则sin?2C－?＝1. 6??因为0＜C＜π，
ππ11π
所以－＜2C－＜，
666πππ
从而2C－＝，解得C＝.
623
因为m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线， 所以sin B＝2sin A， 由正弦定理得，b＝2a，①
π222
由余弦定理得c＝a＋b－2abcos ，
3
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2022高考数学二轮复习课时规范训练
即a＋b－ab＝3② 由①②解得a＝1，b＝2.
(对应学生用书P33)
[典例] (本小题满分12分)(2022·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，
22
b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
33
(2)若c＝7，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
2规范解答：(1)因为2cos C(acos B＋bcos A)＝c，
由正弦定理，得2cos C(sin A·cos B＋sin B·cos A)＝sin C，(1分) 得2cos C·sin(A＋B)＝sin C．(3分)
因为A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，所以sin(A＋B)＝sin C＞0， 1
所以2cos C＝1，cos C＝.(5分)
2因为C∈(0，π)，所以C＝
2
2
2
π
.(6分) 3
(2)由余弦定理c＝a＋b－2ab·cos C， 122
得7＝a＋b－2ab·，
2(a＋b)－3ab＝7，
2
S＝ab·sin C＝
2
12333ab＝，所以ab＝6，(10分) 42
所以(a＋b)－18＝7，a＋b＝5，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7.(12分)
1．牢记公式，正确求解：在三角函数及解三角形类解答题中，通常涉及三角恒等变换公式、诱导公式及正弦定理和余弦定理，这些公式和定理是解决问题的关键，因此要牢记公式和定理．如本题第(2)问要应用到余弦定理及三角形的面积公式．
2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．
3．写全得分关键：在三角函数及解三角形类解答题中，应注意解题中的关键点，有则给分，无则不得分，所以在解答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中，没有将正弦定理表示出来的过程，则不得分；第(2)问中没有将面积表示出来则不得分，只有将面积转化
46
2022高考数学二轮复习专题
课时规范训练
目 录
专题一函数与导数不等式 ............................. 1 第1讲函数的图象与性质 .......................... 1 第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用 ...... 6 第3讲不等式与线性规划 ......................... 11 第4讲导数与函数的单调性、极值与最值 ........... 17 第5讲导数与函数零点、不等式的综合问题 ......... 22 专题二三角函数与平面向量 .......................... 31 第1讲三角函数的图象与性质 ..................... 31 第2讲三角恒等变换与解三角形 ................... 36 第3讲平面向量 ................................. 41 专题三数列 ........................................ 49 第1讲等差数列与等比数列 ....................... 49 第2讲数列的求和及综合应用 ..................... 54 专题四立体几何 .................................... 60 第1讲空间几何体的三视图、表面积及体积 ......... 60 第2讲空间点、线、面的位置关系 ................. 66 专题五解析几何 .................................... 74 第1讲直线与圆 ................................. 74
第2讲椭圆、双曲线、抛物线 ..................... 79 第3讲圆锥曲线的综合问题 ....................... 85 专题六概率与统计 .................................. 94 第1讲统计与统计案例 ........................... 94 第2讲概率 .................................... 101 专题七选修系列 ................................... 109 第1讲坐标系与参数方程（选修4-4） ............. 109 第2讲不等式选讲（选修4-5） ................... 114
2022高考数学二轮复习课时规范训练
专题一函数与导数不等式
第1讲函数的图象与性质
一、选择题
1－3
1．(2022·清远一中模拟)函数f(x)＝的定义域为()
x－1A．(－∞，0] C．[1，＋∞)
x
x
B．[0，1]∪[1，＋∞) D．(1，＋∞)
??1－3≥0，
解析：由题意知?解得x≤0且x≠1，即x≤0.
?x≠1，?
答案：A
2．(2022·湖南衡阳联考)已知函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，且g(x)≠0，设p：函数f(x)＝g(x)·?55410092)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 11
解析：令h(x)＝x－(x≠0)，
1－22易知h(x)＋h(－x)＝0
所以h(x)为奇函数，g(x)为奇函数， 则f(x)为偶函数． 反过来，结论也成立． 因此p是q的充要条件． 答案：C
?1x－1?是偶函数；q：函数g(x)是奇函数，则p是q的()(导学号
?
?1－22?
?1?3．(2022·浙江卷)函数f(x)＝?－x?sin x的大致图象为() ?x?
1
2022高考数学二轮复习课时规范训练
1?1?解析：函数y1＝－x与y2＝sin x为奇函数，可得函数f(x)＝?－x?sin x为偶函数，x?x?因此排除C，D.
π?π?又当x＝时，y1＜0，y2＞0，f??＜0，因此B正确．
2?2?答案：B
?1?4．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝3－??，则f(x)()
?3?
x
x
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
解析：f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－3＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
－x
x
?1??1?x
y＝3为增函数，y＝??为减函数，则f(x)＝3－??为增函数．
?3??3?
x
xx
答案：A
5．已知定义在R上的函数f(x)＝2
|x－m|
－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝
f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()
A．a＜b＜c C．c＜a＜b 解析：由f(x)＝2
|x|
|x－m|
B．a＜c＜b D．c＜b＜a
－1是偶函数可知m＝0，
所以f(x)＝2－1.
所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2， b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4， c＝f(0)＝2－1＝0，所以c＜a＜b. 答案：C 二、填空题
6．(2022·全国卷Ⅱ改编)函数f(x)＝ln(x－2x－8)的单调增区间是________． 解析：要使函数有意义，则x－2x－8＞0，解得x＜－2或x＞4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．
2
2
|0|
2
2022高考数学二轮复习课时规范训练
答案：(4，＋∞)
7．(2022·四川卷)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，
?5?x
f(x)＝4，则f?－?＋f(1)＝________．(导学号 55410093)
?2?
解析：因为f(x)是周期为2的奇函数， 所以f(1)＝f(－1)＝－f(1)，即f(1)＝0，
?5??1??1?又f?－?＝f?－?＝－f??＝－42＝－2， ?2??2??2??5?从而f?－?＋f(1)＝－2. ?2?
答案：－2
8．(2022·郴州二模)已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝a(a＞0且a≠1)，且f(log14)＝－3，则a的值为________．
2
解析：因为奇函数f(x)满足f(log14)＝－3，log14＝－2＜0，所以f(2)＝3，
22又因为当x＞0时，f(x)＝a(a＞0且a≠1)，2＞0， 所以f(2)＝a＝3，解之得a＝3. 答案：3 三、解答题
9．已知函数f(x)＝a＋b(a＞0，a≠1)．
x
2
x
x
1
图① 图②
(1)若f(x)的图象如图①所示，求a、b的值； (2)若f(x)的图象如图②所示，求a、b的取值范围；
(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，
??a＋b＝0，
所以?0解得a＝3，b＝－3.
??a＋b＝－2，
2
(2)因为f(x)单调递减， 所以0＜a＜1，
3
2022高考数学二轮复习课时规范训练
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解：(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0得tan A＝－3， 2π
又0＜A＜π，所以A＝. 3
2π2
由余弦定理，得28＝4＋c－4c·cos .
3则c＋2c－24＝0，解得c＝4或－6(舍去)． π
(2)由题设AD⊥AC，知∠CAD＝.
22ππ
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝π－＝.
326
1π
AB·ADsin 26
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.
1
AC·AD21
又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝23，
2所以△ABD的面积为3.
10．(2022·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝5(a－b－c)．
(1)求cos A的值； (2)求sin(2B－A)的值．
解：(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.
sin Asin B由ac＝5(a－b－c)及余弦定理，得 5b2＋c2－a25
cos A＝＝＝－.
2bcac525
(2)由(1)知A为钝角，且sin A＝，
5代入asin A＝4bsin B， 得sin B＝
－
2
2
22
2
2
2
abacasin A5
＝， 4b5
易知B为锐角，
252
cos B＝1－sinB＝. 5
39
2022高考数学二轮复习课时规范训练
432
则sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sinB＝，
55
4?255?325
所以sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2B·sin A＝×?－?－×＝－. 5?5?55511．(2022·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0.(导学号 55410108)
(1)求角A；
(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状． 解：(1)由正弦定理＝＝＝2R，
sin Asin Bsin C可得sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2R2R2R代入(a－c)sin A－bsin B＋(a＋b－c)sin C＝0， 化简整理得b＋c－a＝bc，
2
2
2
abcabcb2＋c2－a211
则＝，所以cos A＝. 2bc22
π又因为A为三角形内角，所以A＝. 32
(2)由(1)得B＋C＝π，
3
223?2?所以sin B＋sin C＝sin B＋sin?π－B?＝sin B＋sin πcos B－cos πsin B＝sin 332?3?
B＋
3
cos B＝ 2
π??B＋3sin?. 6???
2ππ5
因为0＜B＜π，所以＜B＋＜π，
3666πππ
所以当B＝时，B＋＝，
362sin B＋sin C取得最大值3，
π
因此C＝π－(A＋B)＝，所以△ABC为等边三角形．
3
40
2022高考数学二轮复习课时规范训练
第3讲平面向量
一、选择题
→→
3??1?31?
1．(2022·全国卷Ⅲ)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝()
?22??22?A．30°B．45°C．60°D．120° →→
→→
BA·BC3
解析：|BA|＝1，|BC|＝1，cos ∠ABC＝＝.
→→2|BA|·|BC|因为∠ABC∈[0°，180°]， 所以∠ABC＝30°. 答案：A
2．(2022·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|＜0，因而是充分条件，反之m·n＜0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件．
答案：A
3．(2022·长春中学联考)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(4，－2)，且a∥b，则|a＋
2
b|＝()
A.5B．5C.
8585
D. 24
解析：因为a∥b，所以x·(－2)＝1×4， 得x＝－2，
所以a＋b＝(2，－1)，|a＋b|＝2＋1＝5. 答案：A
→→→→
4.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，BF＝2FO，则FD·FE等于()
2
41
2022高考数学二轮复习课时规范训练
3A．－ 41C．－ 4
8B．－ 94D．－ 9
→→→
1
解析：因为BF＝2FO，圆O的半径为1，所以|FO|＝，
3
→→→→→→→→→→→→12
8??2
所以FD·FE＝(FO＋OD)·(FO＋OE)＝FO＋FO·(OE＋OD)＋OD·OE＝??＋0－1＝－. 9?3?答案：B
5．(2022·安徽江淮十校第二次联考)已知平面向量a、b(a≠0，a≠b)满足|a|＝3，且
b与b－a的夹角为30°，则|b|的最大值为()(导学号 55410109)
A．2B．4C．6D．8
→→→→→
解析：令OA＝a，OB＝b，则b－a＝OB－OA＝AB，如图，
因为b与b－a的夹角为30°， 所以∠OBA＝30°， →
因为|a|＝|OA|＝3， →|OA|
所以由正弦定理＝
sin ∠OBA→
→
|OB|
得，|b|＝|OB|＝6·sin ∠OAB≤6.
sin ∠OAB答案：C 二、填空题
6．(2022·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________． 解析：由题意，得－2×3＋3m＝0， 所以m＝2.
42
2022高考数学二轮复习课时规范训练
答案：2
→→
7．(2022·潍坊二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，向量AB，AC→
的夹角为60°，则|OA|＝________．
→→→→→→
13
解析：向量AB，AC的夹角为60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos 60°＝1×3×＝，
22→→→→→→→→→→11122222
又AO＝(AB＋AC)，所以AO＝(AB＋AC)＝(AB＋2AB·AC＋AC)，即AO244→
答案：
13
2
→→
π
8．(2022·济南调研)在△ABC中，已知AB·AC＝tan A，当A＝时，△ABC的面积为
6________．
解析：令角A，B，C的对边分别为a，b，c， →→→→
则AB·AC＝|AB||AC|cos A＝cbcos A＝tan A， π332
因为A＝，所以bc＝，即bc＝，
623311211
所以△ABC的面积S＝bcsin A＝××＝.
223261
答案： 6三、解答题
?π?9．设向量a＝(3sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈?0，?.
2??
(导学号 55410110) (1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
解：(1)由题意，得|a|＝(3sin x)＋(sin x)＝4sinx， |b|＝cos x＋sinx＝1， 因为|a|＝|b|，所以4sinx＝1.
2
2
2
2
2
2
2
2
43
2022高考数学二轮复习课时规范训练
题目的结论等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚．
[解题程序] 第一步，准确求出函数f(x)的导数．
第二步，讨论a的取值，分情况讨论函数的单调性、极值、从而判断函数零点，确定a的取值范围．
第三步，将结论x1＋x2＜2转化为判定f(2－x2)＜0＝f(x1)． 第四步，构造函数g(x)＝－xe
2－x－(x－2)e，判定x＞1时，g(x)＜0.
x第五步，写出结论，检验反思，规范步骤．
[跟踪训练] (2022·郴州二模)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－3. (1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
12
(2)探讨函数F(x)＝ln x－x＋是否存在零点？若存在，求出函数F(x)的零点，若不
eex存在，请说明理由．
解：(1)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 32
则2xln x≥－x＋ax－3，即a≤2ln x＋x＋恒成立．
2
x323x＋2x－3（x＋3）（x－1）
令h(x)＝2ln x＋x＋，h′(x)＝＋1－2＝＝， 22
2
xxxxx当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)是增函数， 当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)是减函数， 所以a≤h(x)min＝h(1)＝4. 即实数a的取值范围是(－∞，4]．
(2)令m(x)＝2xln x，m′(x)＝2(1＋ln x)，
1?1???0，0，当x∈??时，m′(x)＜0，m(x)在?e?上单调递减；
?e???
?1??1?当x∈?，＋∞?时，m(x)＞0，m(x)在?，＋∞?上单调递增． ?e??e?
2?1?所以m(x)的最小值为m??＝－，
e?e?21
则2xln x≥－，所以ln x≥－，
eex121121?1x?
则F(x)＝ln x－x＋≥－－x＋＝?－x?.①
eexexeexx?ee?1xx－1
令G(x)＝－x，则G′(x)＝x，
eee
当x∈(0，1)时，G′(x)＜0，G(x)在(0，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，G′(x)＞0，G(x)在(1，＋∞)上单调递增； 所以G(x)≥G(1)＝0，②
29
2022高考数学二轮复习课时规范训练
121121?1x?
所以F(x)＝ln x－x＋≥－－x＋＝?－x?≥0，
eexexeexx?ee?因为①②中取等号的条件不同， 所以F(x)＞0，故函数f(x)没有零点．
30
2022高考数学二轮复习课时规范训练
专题二三角函数与平面向量
第1讲三角函数的图象与性质
一、选择题
1?π??π?1．(2022·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin?x＋?＋cos?x－?的最大值为()
3?6?5??631
A. B．1 C. D. 555
?π?π???π??π?解析：cos?x－?＝cos?－?x＋??＝sin?x＋?，
3??6?3????2?
1?π?6?π?6?π?则f(x)＝sin?x＋?＋sin?x＋?＝sin?x＋?，函数的最大值为. 3?3?53?5?5??答案：A
2．若函数f(x)＝sin ax＋3cos ax(a>0)的最小正周期为2，则函数f(x)的一个零点为()
π
A．－ 3
2B. 3D．(0，0)
?2?C.?，0? ?3?
π?2π?解析：f(x)＝2sin?ax＋?，因为T＝＝2，所以a＝π. 3?a?π?2?所以f(x)＝2sin?πx＋?，所以当x＝时，f(x)＝0. 3?3?答案：B
π
3．(2022·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图
12象的对称轴为()
A．x＝C．x＝
kπkπ
π
－(k∈Z) 26π
－(k∈Z) 212
B．x＝D．x＝
kπkπ
π
＋(k∈Z) 26π
＋(k∈Z) 212
解析：将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π??2sin?2x＋?. 6??
π
个单位长度后得到函数的解析式为y＝12
31
2022高考数学二轮复习课时规范训练
ππkππ
由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
6226答案：B
4．(2022·天津卷)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f?＝2，f?
?5π?
??8?
?11π?＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则()
??8?
211π
B．ω＝，φ＝－
31217π
D．ω＝，φ＝ 324
1
2π
A．ω＝，φ＝ 312111π
C．ω＝，φ＝－
324
5ωππ
＋φ＝2kπ＋，??82
解析：由题意?其中k，k∈Z.
11ωπ??8＋φ＝kπ，
1
2
2
42
所以ω＝(k2－2k1)－，
332π
又T＝＞2π，
ω
2
所以0＜ω＜1，所以ω＝.
3
1π
φ＝2k1π＋π，由|φ|＜π得φ＝.
1212答案：A
π??5．(2022·惠州调研)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的部分图象
2??
?ππ??x1＋x2?等于()(导学号
如图所示，若x1，x2∈?－，?，且f(x1)＝f(x2)，则f???63??2?
55410103)
123
A．1B.C.D. 222
ππ
－＋63?π??π?解析：由题中图象可知，f?－?＝f??＝0，得到f(x)的一条对称轴为x＝＝2?6??3?
32
2022高考数学二轮复习课时规范训练
π， 12
ππ?π??x1＋x2?＝1.
所以x1＋x2＝2×＝，观察题中图象可知f??＝1，所以f??126?12??2?答案：A 三、填空题
6．(2022·江苏卷)定义在区间[0，3π]上的函数y＝sin 2x的图象与y＝cos x的图象的交点个数是________．
解析：在区间[0，3π]上分别作出y＝sin 2x和y＝cos x的简图如下：
由图象可得两图象有7个交点． 答案：7
π
7．(2022·石家庄质检)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后得到函数y＝f(x)
2的图象，已知函数y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为则φ＝________．(导学号 55410104)
π
的交点，3
?π?解析：依题意，f(x)＝sin?x＋?＝cos x.
2??
π
又y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)的图象有一个横坐标为的交点．
3ππ?2π?所以cos ＝sin?＋φ?，且0≤φ≤π，则φ＝. 36?3?π
答案： 6
8．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
π??解析：f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin?ωx＋?， 4??因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，
?2π?所以f(ω)＝2sin?ω＋?＝±2，
4??
πππ22
所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，即ω＝kπ＋(k∈Z)，
424
33
2022高考数学二轮复习课时规范训练
πππ2
又f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω＋≤，取k＝0，则ω＝.
422答案：
π
2
三、解答题
π??9．(2022·北京卷)已知函数f(x)＝3cos?2x－?－2sin xcos x. 3??(1)求f(x)的最小正周期；
1?ππ?(2)求证：当x∈?－，?时，f(x)≥－. 2?44?
π?33?(1)解：f(x)＝3cos?2x－?－2sin x·cos x＝cos 2x＋sin 2x－sin 2x＝
3?22?π?13?sin 2x＋cos 2x＝sin?2x＋?，
3?22?所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π. 2
π??(2)证明：由(1)知f(x)＝sin?2x＋?. 3??
?ππ?因为x∈?－，?，
?44?
π?π5π?所以2x＋∈?－，?.
6?3?6
πππ
所以当2x＋＝－，即x＝－时，
364
f(x)取得最小值－.
1
所以f(x)≥－成立．
2
10．(2022·山东卷)设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x).(导学号 55410105)
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的π?π?图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g??的值． 3?6?
解：(1)f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)＝23sinx－(1－2sin xcos x)π??＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin?2x－?＋3－1，
3??
2
2
2
1
2
34
2022高考数学二轮复习课时规范训练
πππ
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232解得kπ－
π5π
≤x≤kπ＋(k∈Z)． 1212
π5π??所以f(x)的单调递增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
1212??
π??(2)由(1)知f(x)＝2sin?2x－?＋3－1，经过变换后，g(x)＝2sin x＋3－1， 3??π?π?所以g??＝2sin ＋3－1＝3.
6?6?11．(2022·西安模拟)已知函数f(x)＝sin?
?π－x?sin x－3cos2x＋3. ?2?2?
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；
2
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
3解：(1)f(x)＝cos xsin x－
π?313?2
(2cosx－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin?2x－?.
3?222?
ππ
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，
325π
即x＝＋kπ(k∈Z)时，
12函数f(x)取最大值，且最大值为1.
5π
(2)由(1)知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，
125π
所以当x∈(0，π)时，对称轴为x＝.
122
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
35π5π
所以x1＋x2＝，则x1＝－x2，
66所以cos(x1－x2)＝cos?
?5π－2x2?＝sin?2x2－π?，
??3??6???
π?2?又f(x2)＝sin?2x2－?＝，
3?3?2
故cos(x1－x2)＝.
3
35
2022高考数学二轮复习课时规范训练
第2讲三角恒等变换与解三角形
一、选择题
31
1．(2022·衡水中学月考)已知α为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，则tan β
53的值为()
1913
A. B．3 C. D. 31393解析：由α为锐角，cos α＝，
54
得sin α＝，
5
41
所以tan α＝，因为tan(α－β)＝－，
33
tan α－tan（α－β）
所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝3.
1＋tan α·tan（α－β）答案：B
π22
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c＝(a－b)＋6，C＝，则
3△ABC的面积是()
9333
A．3B.C.D．33
22
解析：c＝(a－b)＋6，即c＝a＋b－2ab＋6.① π222
因为C＝，由余弦定理得c＝a＋b－ab，②
3由①和②得ab＝6，
11333
所以S△ABC＝absin C＝×6×＝.
2222答案：C
372π
3．(2022·德州二模)已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，那么5102β＝()(导学号 55410106)
A.
ππππ
B.C.D. 12643
2
2
2
2
2
3π解析：由cos α＝，0＜α＜，
52
36
2022高考数学二轮复习课时规范训练
4
得sin α＝，
5
72π
又cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，
102得sin(α－β)＝
2， 10
372
则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋
510422×＝， 5102
ππ
由0＜β＜，得β＝.
24答案：C
?π?1则cos?2x－5π?＋sin2?π－x?的值为()
4．(2022·韶关调研)已知cos?x－?＝，??3?3?33??????
1155A．－B.C.D．－ 9933
5π?2?π?π???2?π22?解析：cos?2x－?＋sin?－x?＝－cos?2x－π?＋sin(x－)＝1－2cos?x－?3?3?3?3??3???π?π?52?2?＋1－cos?x－?＝2－3cos?x－?＝.
3?3?3??
答案：C
5．(2022·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是()
A．a＝2b C．A＝2B
B．b＝2a D．B＝2A
解析：因为2sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C＋sin(A＋C)＝sin Acos C＋sin
B.
所以等式左边去括号，得
sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin B， 则2sin Bcos C＝sin Acos C，
因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理变形，得a＝2b. 答案：A 二、填空题
6．(2022·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝
37
2022高考数学二轮复习课时规范训练
6，c＝3，则A＝________．
解析：由正弦定理，得sin B＝bsin C＝c6×3
32
＝
2. 2
又b＜c，则B为锐角，所以B＝45°. 因此A＝180°－(B＋C)＝75°. 答案：75°
7．(2022·池州模拟)已知sin?学号 55410107)
解析：因为sin?
?π－α?＝1?0＜α＜π?，?π?则sin?＋α?＝________．(导???2??3?3??6?
?π－α?＝1，
?3
?3?
ππ?π??????π?＋α所以cos?＝cos?－?－α??＝sin?－α?； ?
???6??3??2?3πππ2π
又0＜α＜，所以＜＋α＜. 2663
?π?所以sin?＋α?＝ ?6?
22. 3
22答案：
3
?π?1－cos?＋α?＝ ?6?
2?1?1－??＝
?3?
2
8．△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝________．
解析：由
c－bsin A＝，则B2c－asin B＋sin Cc－bsin A＝及正弦定理， 2c－asin B＋sin C得
c－ba222
＝，则a＋c－b＝2ac， 2c－ab＋ca2＋c2－b22π
所以cos B＝＝，从而B＝.
2ac24
π
答案： 4三、解答题
9．(2022·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos
A＝0，a＝27，b＝2.
(1)求c；
38
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false