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习题一 一、选择题
1．质点沿轨道AB作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C处的加速度?[ ]
?a
BCCB?aACBB (A) (B)(C)(D) 答案：C
解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C）。
2．一质点沿x轴运动的规律是x?t2?4t?5（SI制）。则前三秒内它的[ ] （A）位移和路程都是3m；
（C）位移是-3m，路程是3m；答案：D 解：
?x?xt?3AA?a?aAC（B）位移和路程都是-3m； （D）位移是-3m，路程是5m。
?xt?0?2?5??3
dxdx?2t?4，令?0，得t?2。即t?2时x取极值而返回。所以： dtdtS?S0?2?S2?3?|x0?2|?|x2?3|?|xt?2?xt?0|?|xt?3?xt?2|?|1?5|?|2?1|?5
???3．一质点的运动方程是r?Rcos?ti?Rsin?tj，R、?为正常数。从t＝?/?到t=2?/?时间内
（1）该质点的位移是[ ]
???（A） -2Ri；（B）2Ri；（C） -2j；（D）0。 （2）该质点经过的路程是[ ]
（A）2R；（B）?R；（C）0；（D）?R?。 答案：B；B。
?????2?解：（1）t1?,t2?，?r?r(t2)?r(t1)?2Ri；
??（2）?t内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为?R。或者：
1
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t2dxdy2，v?vx?v2??R,S?,vy?y?t1vdt??R dtdtvx?
4．一细直杆AB，竖直靠在墙壁上，B端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C的速度[ ]A （A）大小为v/2，方向与B端运动方向相同；
（B）大小为v/2，方向与A端运动方向相同； （C）大小为v/2, 方向沿杆身方向；
（D）大小为v/(2cos?)，方向与水平方向成?角。 答案：D
解：对C点有
5．某人以4km/h的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。实际风速与风向为[ ] (A) 4km/h，从北方吹来； (B)4km/h，从西北方吹来；
(C)42km/h，从东北方吹来；(D) 42km/h，从西北方吹来。 答案：D
??????解：v风地?v风人?v人地?v?v??v0
??C?Bv位置：xC?lsin?,速度：vCx?lcos?yC?lcos?；
d?d?d?v22；所以，vC?vCx. ,vCy?lsin??vCy?l?dtdtdt2cos?d?d?v）。 ?v,??dtdt2lcos?（B点：xB?2lsin?,vB?2lcos???????，v0??2v0 v?v???v0v?v0，v??v0tan?v??sin45??v?cos??v0??v?v0??v???v45??v??v???2v??2v0tan?
v?v?2??2vv0?cos???0??4v0v???v?v0?20.2v0cos?cos??cos??
2v0222??4v0?4v0?2v0tan2?cos2?2222 2
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2sin2??1v?sin??12??45?
v0。 ?2v0?42(km/h)（从西北方吹来）
cos?
二、填空题
1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P点处速度大小为v，其方向与水平方向成30°角。则物体在P点的切向加速度 aτ=，轨道的曲率半径?=。 2v21答案：?g；。
23g?1?解：a??gja??asin???gsin30???g
2v2v22v2 ??an?acos???gcos30。又因an?，所以??angcos30?g3??yP??v??30??an?a?x?av2
?????22． 一质点在xy平面内运动，其运动学方程为r?2ti?(2?t)j，其中r,t分别以米
和
秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为；t=2秒时质点的加速 度为；质点的轨迹方程是。
???x2答案：2i?3j；?2j；y?2?。
4???????d2x?d2y??r?r(2)?r(1)?2i?3j， a?2i?2j??2j 解：
dtdt2x。 x?2t,y?2?t2，消去时间t得y?2?4
3. 一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为s?v0t?t时刻，质点的加速度矢量a?；加速度大小为b时，质点沿圆周运行的圈数为。
?12bt，其中v0,b都是常数，2v02(v0?bt)2??答案：。 n?b?；
4?RbR解：
d2sds（1）v??v0?bt，a??2??b
dtdt3
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???(v0?bt)2??a?ann?a???n?b?
R（2）
v0?(v0?bt)2??2?b?b令a??，得 t??Rb??2vv01v02v0?s?0 ?s?s(t)?s(0)?v0?b()?，得n?2?R4?Rbb2b2b22
4．火车静止时，侧窗上雨滴轨迹向前倾斜?0角。火车以某一速度匀速前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?1角，火车加快以另一速度前进时，侧窗上雨滴轨迹向后倾斜?2角，火车加速前后的速度之比为。
??v1cos?0tg?1?sin?0答案：
cos?0tg?2?sin?0解：设v0为火车静止时观察到的雨滴的速度，已知其倾角为?（这也是雨滴相对地面的速度和倾角）。设火车以v1行0驶时，雨滴相对火车的速度为v?，已知其倾角为?1，根据伽利略变换：v??v0?v1
?v???v2?1?0?v0?v0??2?v??0???同理，火车以v2行驶时，雨滴相对火车的速度为v??，已知其倾角为?2，所以
???v???v0?v
v?sin?1?v1?vosin?0
(1)；(3)；
v?cos?1?v0cos?0
(2) (4)
v??sin?2?v2?vosin?0
联立（1）（2）式得tg?1?v??cos?2?v0cos?0
v1?v0sin?0，v1?v0(cos?0tg?1?sin?0)
v0cos?0联立（3）（4）式得tg?2?v2?v0sin?0，v2?v0(cos?0tg?2?sin?0)
v0cos?0v1cos?0tg?1?sin?0? v2cos?0tg?2?sin?0所以，火车加速前后速度之比为
5.一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为??2?4t，?的单位为rad，t 的单位为s。问t= 2s时，质点的切向加速度法向加速度；?等于rad时，质点的加速度和半径的夹角为45°。
3 4
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答案：24Rt；230.4m/s2；2.67rad。
d2?d?2解：（1）???12t，??2?24t；an?R?2?144Rt4，a??R??24Rt。
dtdtt=2s时，an?230.4m/s2，a??4.8m/s2
（2）设t?时，a和半径夹角为45°，此时an?a?，即144Rt?4?24Rt?，得t?3?1/6 所以
三、计算题
1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为a0，以后加速度均匀增加，每经过?秒增加a0，求经过t秒后质点的速度和位移。 答案：v?a0t?
??(t?)?2?4t?3?2.67rad
a02a1t；x?a0t2?0t3。
26?2?
由题意可知，角速度和时间的关系为 根据直线运动加速度定义
a?a0?a0?t
a?dv dtttaadvdt??adt??(a0?0t)dt?a0t?0t2
00dt?2?at?0时刻，v0?0所以 v?a0t?0t2
2?ttaadxdx1又v?，所以 x?x0??dt??vdt??(a0t?0t2)dt?a0t2?0t3
00dt2?26?dta1 x?a0t2?0t3 t?0时刻，x0?0所以
26?v?v0??
2．一质点以初速度v0作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为
v0n(n?1)时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。
答案：1?1。 n解：质点作一维运动。初始条件：t?0时，x?0，v?v0。又由题意，质点的加速度可表示为
a??kv
式中，k为大于零的常数。
解法一：由加速度的定义有
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a?分离变量
dv??kv dtdv??kdt vtdv??k?v0v?0dt v由初始条件t?0时v?v0，有
积分得
v?v0e?kt(1)
所以
v?dx?v0e?kt dtt由初始条件t?0时x?0，积分得
x??v0e?ktdt?0v0(1?e?kt) k上式可写为其中，xm?
x?xm(1?e?kt) (2)
v0为质点所能行经的最大距离。 kx?xm(v0?v) v0联立式（1）和式（2），得故将v?
xv?(1?) xmv0v0代入上式，得nx1?1? xmn 解法二：由加速度的定义，并作变量替换有
即
dv??kv dxdv??kdx a?vvx由初始条件x?0时v?v0，有
?积分得
v0dv??k?dx
0v?v0?kx(3)
由上式得x?
v0?vv。故当v?0时，
nk6
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x? 又由v?v01(1?)(4) kndx?dt
v0?kxdx及式（3），有dt
由初始条件t?0时x?0，积分得
ln即
v0?kx??kt v0x?可见，质点所能行经的最大距离为故当v?v0(1?e?kt) kvxm?0
kv0时，由式（4）及上式得 nx1?1? xmn
3．在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s距离处，当人以速率
yv0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。 v0h2?s2h22答案：vx??；ax??3v0。
sslhxv0解：建立如图所示的坐标系。 根据题意可得
dl?-v0 dtxo由上图可得x?l2?h2 dxldllh2?x2??(?v0)?(?v0) 船的速率vx?22dt22dtxl?hl?hdv船的加速度大小ax?x?dth2(l2322?h)h22(?v0)??3(v0)
x2当
v0h2?s2h22x = s时，ax??3v0，vx??
ss
4．如图，一超音速歼击机在高空A 时的水平速率为1940km/h，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B，其速率为2192km/h，所经历的时间为3s，设圆弧 AB的半径约为3.5km，且飞机从A到B的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）
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飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B所经历的路程。 答案：（1）a?109m?s?2，与法向成12.4?角；（2）s?1722m。 解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以at和?为常量
vBtdv，at?dt?vAdv??atdt?vB?vA?att，
0?1?1A?vAB已知vA?1940km?h，vB?2192km?h
rot?3s，r?3.5km，所以 at?在点B的法向加速度在点B的总加速度大小
vB?vA?23.3m?s?2 t??vB2vBan??106m?s?2
r2a?at2?an?109m?s?2
?a与法向之间夹角
??arctanat?12.4? an?1（2）在时间t内矢径r所转过的角度为 ???At??t2
2飞机经过的路程为
1s?r??vAt?att2?1722m
2 5．如图所示，一条宽度为d的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为v0。现有一人以不变的划船速度u沿垂直于水流方向从岸边划船渡河，试求小船到达河心之前的运动轨迹。 答案：x?v02y，即运动轨迹为抛物线。 udy解：以河岸为参照系，建立如图所示的直角坐标。根据v0y?u。题意，初始条件为t?0时， x0?y0?0，v0x?0，
d又根据题意，当y?时，水流速度可表示为vw?ky，
2d2v且当y?时，vw?v0。故k?0
d2即
vw?2v0y ddy?u dtv0uodx对小船有
vx?dx?vw， dtvy?利用前面各式及初始条件，对上两式分别积分，得
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x?uv02t， y?ut d联立消去t，得
x?v02y ud上式即为小船渡河的运动轨迹方程，为一抛物线。
注意，上式是小船划至河中心之前的轨迹方程。当y?vw2?k(d?y)
d时，水流速度应为 2此时有
vx?dx?vw2， dtvy?dy?u dt2v?d?vddd根据前半部的计算结果知，在河心，即y??时，t??，x??0???0。
ud?2?4u22u以此为新的初始条件代入，积分
?可解得，当y?xx?dx??vw2dt??k(d?y)t?y?tydy ud时 2x??v0dvv?20y?0y2 2uuud可见小船运动轨迹仍为抛物线。..
习题二
一、选择题
1．用铁锤把质量很小的钉子敲入木板，设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。在铁锤敲打第一次时，能把钉子敲入1.00cm。如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同，那么第二次敲入的深度为[ ]
（A）0.41cm；（B）0.50cm；（C）0.73cm；（D）1.00cm。 答案：A
12解： f??kxAf??Ek??mv02x11Af??fdx???kxdx??kx12
021??2?A???E??mv0fk2??v0v0?fdx???x2x1kxdx?1212kx1?kx2 22A?f?Af
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121212kx1?kx2??kx1222x2?2x1
?x2?x2?x1?(2?1)x1?0.41x1?0.41cm
2．一轻绳跨过一定滑轮，两端各系一重物，它们的质量分别为m1和m2，且m1?m2 (滑轮质量及一切摩擦均不计)，此时系统的加速度大小为a，今用一竖直向下的恒力F?m1g代替m1，系统的加速度大小为a?，则有 [ ]
（A）a??a；（B）a??a；（C）a??a；（D）条件不足，无法确定。 答案：B
解：m1g?T?m1a T?m2g?m2a
(m1?m2)g?(m1?m2)a
?am2a?m?m2g
m1?m2m1?m2g，所以，a??a。 m2Tm2gT?am1?a?m2F1F1?m2g?m2a?F1?m1g
m1gm2gF1a??
3．对质点组有以下几种说法：
（1）质点组总动量的改变与内力无关；（2）质点组总动能的改变与保守内力无关；（3）质点组机械能的改变与保守内力无关。在上述说法中，[ ]
（A）只有（1）是正确的； （B）（1）、（3）是正确的； （C）（1）、（2）是正确的； 答案：B 解：略
４．如图所示，系统置于以g/2加速度上升的升降机内，A、B两物块质量均为m，A所处桌面是水平的，绳子和定滑轮质量忽略不计。 （1）若忽略一切摩擦，则绳中张力为 [ ] （A）mg；（B）mg/2；（C）2mg；（C）3mg/4。 （2）若A与桌面间的摩擦系数为? (系统仍加速滑动)，则绳中张力为[ ] （A）?mg；
（B）3?mg/4；
N（D）（2）、（3）是正确的。
A a?g2aA TB a?a?Tmg
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B mga?g2
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（C）3(1??)mg/4；（C）3(1??)mg/4。 答案：（1）D；（2）C。 解：（1）受力分析 B：mg?T?m(a??a)
A：T?ma?，N?mg?ma mg?T?ma?ma?
m(g?a)?T?T，2T?m(g?a)，
T?m3(g?a)?mg a4NaA T?a?a?T?（2）B:mg?T??m?a??a? A:T??f?ma?，f??N N?mg?ma
fmgB mga?g2N?m?g?a??3mg 2?mg?T??ma??ma ???T??N?ma??m?g?a??T??ma?3333?????，gm?T?T??mg2T?mg1??,T????1???mg ?32224??T??mg?ma??2
5．沙子从h = 0.8m高处落到以3m/s速度水平向右运动的传送带上。取g = 10m/s2，则传送带给予沙子的作用力的方向[ ]
（A）与水平夹角53?向下；（B）与水平夹角53?向上； （C）与水平夹角37?向上； 答案：B
v0?2gh 解：h?0.8m??????v1?v0??v0j,v2?v?vi ??????I?m?v?m?v2?v1??m?vi?v0j?
（D）与水平夹角37?向下。
y?v0?v?v?v0?hx??53?向上
??vtan??2ghv02?10?0.84???,vv33
二、填空题
1．如图，已知水深为1.5m，水面至街道的距离为5m。把水从面积为50m2的地下室中抽到街道上来所需做的功为。
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答案：4.23?106J
解：该功数值上等于同一过程中重力做的功，取坐标如图，则有： dAP???Sgzdz
o5mz11.5mdzAP????Sgzdz???Sg?zdzz1z1z2z2z?1?103?50?9.8?zdz??4.23?106J5.06.5zz2抽水所需的功A??AP?4.23?106J
2．质量为m的质点在变力Ｆ=F0 (1－kt)（F0、k为常量）作用下沿ox轴作直线运动。若t =０时，质点在坐标原点，速度为v0，则质点运动微分方程为；速度随时间变化规律为v =；质点运动学方程x =。
FF0?213?12?d2xF0t?ktvt?答案：2?；?1?kt?；v0?0?0???t?kt?。
mm22m3?dt???解：（1）F?F0?1?kt?t?0,x?0,v?v0
d2xd2xF0?1?kt? F?ma?m2，所以，微分方程为：2?mdtdt（2）
dvF0??1?kt?dtmdv?F0?1?kt?m?vv0dv???F0?1?kt?dt 0mt所以，速度为：v?v0?（3）
F0?12??t?kt? m?2?xtF?1F0dx12??v0?0?t?kt2?dx?[v?(t?kt)]dt 0?0?0dtm?2?m2F?1?运动方程为：x?v0t?0?t2?kt3?
2m?3?
3．质量为m的子弹，以水平速度v0射入置于光滑水平面上的质量为M的静止砂箱，子弹在砂箱中前进距离l后停在砂箱中，同时砂箱向前运动的距离为S，此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动，则子弹受到的平均阻力F?；砂箱与子弹系统损失的机械能?E =。 （注意：此题第一问有多种解法，也有多种答案）
mM(2m?M)v02Mm2答案：f?；。 ?E?v022(m?M)(l?s)2(M?m)解：设共同运动的速率为v，则
mmv0?(m?M)v，v?v0
m?n
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v0Mlmvs第13页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
子弹停止时相对地面移动距离l + s，则有
?121212?m2?f(l?s)?mv?mv0?mv0??1? 2222?(m?M)?2121(m?M)2?11mM(2m?M)v0 ?f?mv0l?s(m?M)22(m?M)2(l?s)2能量损失
2121121m2v01Mm22?E?mv0?(M?m)v?mv0??v0
2222M?m2M?m??4． 如图所示，质量m =2.0kg的质点，受合力F?12ti 的作用，沿ox轴作直线运动。
??已知t =０时x0=0，v0=0，则从t =0到t =3s这段时间内，合力F的冲量I为；质点的末速
度大小为v?。
答案：54N?s；27m/s。
??解：m?2kgF?12tia?dvF??6tdtm?Ft?0,x0?0,v0?0
xo?vv0dv?6t
0?tv?3t2
t1?0,t2?3,v1?v0?0v2?3?9?27m/s；I?m?v?2?27?54N?s
5．一轻质弹簧的劲度系数为k=100N/m，用手推一质量m=0.1kg的物体A把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m，如图所示。放手后，物体沿水平面移动距离x2=0.1m后停止。求物体与水平面间的滑动摩擦系数为。 答案：0.2
koAx1x21解：在x1处，物体和弹簧分离，在物体整个运动过程中，弹性力做功kx12，摩擦力做功
22kx11?0.2 ??mgx2，根据动能定理有kx12??mgx2?0，解得??2mgx22
三、计算题
1．图中A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体m1=200g，m2=100g，m3=50g，滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。求：
（1）每个物体的加速度； （2）两根绳子的张力T1与T2。
A T1 B
13
m1 m2
T2
m3
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113答案：（1）a1?g，a2?g，a3?g；
555
（2）T1?0.16g?1.568N，T2?0.08g?0.784N。
解：设两根绳子的张力分别为T1、T2； ?； m2、m3相对B轮的加速度为a2m1、m2、m3的加速度分别为a1、a2、a3。 根据牛顿运动定律
m1g?T1?m1a1；
??a1) m2g?T2?m2a2?m2(a2??a1)； 2T2?T1?0 m3g?T3?m3(?a3)?m3(?a2由以上六式解得
1a1?g?1.96m/s2
52??g?3.92m/s2 a251a2?g?1.96m/s2
53a3?g?5.88m/s2
5T1?0.16g?1.568N
T2?0.08g?0.784N，加速度方向如图所示。
a1m1AT1T1Ba1T2T2a?2a3a2a?2m2m3
2．质量为60Kg的人以8Km/h的速度从后面跳上一辆质量为80Kg的，速度为2.9Km/h的小车，试问小车的速度将变为多大；如果人迎面跳上小车，结果又怎样？ 答案：（1）5.09Km/h；（2）?1.77Km/h。 解：（1）设人和车的质量分别为m1和m2，初速率分别为v1和v2。人和车组成的系统沿水平方向动量守恒，有m1v1?m2v2?（m1?m2）v，所以
v?m1v1?m2v260?8?80?2.9??5.09Km/h
m1?m260?80m2v2?m1v1?（m1?m2）v?
（2）人迎面跳上小车，根据动量守恒
v??m2v2?m1v180?2.9?60?8???1.77Km/h
m1?m260?80
3．一小球在弹簧的作用下振动（如图所示），弹力F= - kx，而位移x=Acos?t，其中k、A、?都是常量。求在t= 0到t=?/2?的时间间隔内弹力施于小球的冲量。
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答案：? ?解法一：由冲量的定义得
??kAFkA?xxI??2?0Fdt??2?0?kAcos?tdt???sin?t|??2?0kA?
O解法二：由动量定理I?mv?mv0
而v0??A?sin?t??A?sin0?0，v??A?sin?t??A?sin?所以I??mA???
4．一质量为200g的砝码盘悬挂在劲度系数k=196N/m的弹簧下，现有质量为100g的砝码自30cm高处落入盘中，求盘向下移动的最大距离（设砝码与盘的碰撞是完全弹性碰撞）。 答案：0.037m。
解：砝码从高处落入盘中，机械能守恒：
kA???A? 2??，（这里利用了??k）。 m1 m1gh?m1v112又碰撞过程动量守恒，设共同运动速度为v2有：
m1v1?(m1?m2)v2
砝码与盘向下移动过程机械能守恒
h m2 m1 12112kl1?(m1?m2)v2?k(l1?l2)2?(m1?m2)gl2 222平衡时，有 m2g?kl1
2?0.98l2?0.096?0，解得盘向下移动的最大距离为l2?0.037m。 解以上方程得：98l2
5．如图所示，从太阳系外飞入太阳系的一颗流星离太阳最近的距离为5.0?1010m，这时它的速度为
v0 b r v 7.5?104m/s。若不考虑其他行星的影响，试求这
颗流星在进入太阳系之前的速率和它飞向太阳的瞄准距离b。
答案：（1）1.8?104m/s；（2）2.1?1011m。 解：对流星飞经太阳附近的过程，由机械能守恒得
12GMm120?mv0???mv
2r2由此得流星刚进入太阳系时的速率为
15
第16页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
2GM2?6.67?10?11?1.99?103042v0?v??(7.5?10)??1.8?104m/s 10r5.0?102流星受太阳的引力总指向太阳，流星对太阳的角动量守恒：mv0b?mvr
v7.5?10410流星飞向太阳的瞄准距离为b?r?5?10??2.1?1011m 4v01.8?10习题三
一、选择题
1．一根长为l、质量为M的匀质棒自由悬挂于通过其上端的光滑水平轴上。现有一质量为m的子弹以水平速度v0射向棒的中心，并以v0/2的水平速度穿出棒，此后棒的最大偏转角恰为90?，则v0的大小为 [ ]
4M（A）mglgl2M；（B）；（C）32m16M2gl（D）。 gl；23m答案：A 解：
2?J1?1?J1?2?J?,ml212?l??J?m?,J?Ml ?111??2243J??Mg?l????22l1J?J1(?1??2)211v02v0v0/2v01?，?2? ?1?????1，??JJl/2ll/2l2v0mv0/2mM121?J??J??Mgl， J??11??Mgl， 22?2J?22J12?12?Mgl 4J2?ml2?4v0??2222?4?l?Mgl，3?mv0?Mgl，v2?16Mgl，所以v?4M00212m16M3m4?Ml3gl 3
2．圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为4kg?m2。在恒力矩作用下，10s内其角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为
[ ]
（A）80J，80N?m；（B）800J，40N?m；（C）4000J，32N?m；（D）9600J，16N?m。 答案：D
解：?0?80，??40，t?10，J?4
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第17页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
??Ek?111122J?2?J?0?Ek?J(?0??2)??4?(6400?1600)?9600(J)2222
M恒定，匀变速，所以有
???0??t，??
?0??t，M?J??J??0??t?4?80?40?16N?m 103．一个转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，初角速度为?0。设它所受阻力矩与转动角速度成正比M??k? (k为正常数)。
（1）它的角速度从?0变为?0/2所需时间是 [ ]
（A）J/2；（B）J/k；（C）(J/k)ln2；（D）J/(2k)。
（2）在上述过程中阻力矩所做的功为 [ ]
2222（A）J?0（B）?3J?0（C）?J?0/4；/8；/4；(D)?J?0/8。
答案：C；B。
解：已知M??k?，?0,1J，???0
2d?d?d?k（1）M?J??k?，J??k?，??dt
dtdt?J??kJ???0d???t0dt，ln?kJ?J??t，所以 t?ln0?ln2 ?0Jk?k（2）A?
111?123J222?J?2?J?0?J??0??0???0 ?222?48?4．如图所示，对完全相同的两定滑轮（半径R，转动惯量J均相同），若分别用F（N）的力和加重物重力P?mg?F(N) 时，所产生的角加速度分别为?1和?2，则[ ]
（A）?1??2；（C）?1??2；答案：A
解：根据转动定律，有mg?R?J?1,T?R?J?2， 依受力图，有mg?T?ma，T?mg?ma?mg 所以，?1??2。
5． 对一绕固定水平轴O匀速转动的转盘，沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹，并停留在盘中，则子弹射入后转盘的角速度应 [ ]
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（B）?1??2； （D）不能确定。
?1?2TF(F?mg)mgvOv第18页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）无法确定。 答案：B
解：J1?1?J?0?J2?2?(J1?J2?J)?
J1?J2?m1r2?m2r2所以
二、填空题
v(m1?m2)， ?1??2?
r??J?0??0
2J1?J1．半径为r?1.5m的飞轮，初角速度?0=10rad/s，角加速度???5rad/s2，若初始时刻角位移为零，则在t?答案：4s；?15m/s。 解：已知
时角位移再次为零，而此时边缘上点的线速度为v?
。
r?1.5m，?0=10rad/s，???5rad/s2，?0?0。
因??const，为匀变速，所以有
???0??0t??t2。
122?12?10令??0，即(?0??t)t?0得，由此得 t??0???4s
2??5???0??t?10?5?4??10，所以v??r??15m/s
2． 一根质量为m、长度为L的匀质细直棒，平放在水平桌面上。若它与桌面间的滑动摩擦系数为?，在t?0时，使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转，其初始角速度为?0，则棒停止转动所需时间为 答案：t?
。
L2?0L 3?grodrdmmgdr L????m?m12?mgdM?r?df，dM?rdf? grdr， M??dM?g?L?LL22Ld?1d??mg又，M??J???J，所以 ??mL2?dt3dt2L0t3?g3?g3?gd???dt，?d????dt，两边积分得：?0?t，
?02L2L2L2?Lt?0 所以
3?g解：df??dmg???drg??0 18
第19页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
3． 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘半径为R，转动惯量为J，角速度为?。如果这人由盘边走到盘心，则角速度的变化??= 能的变化?Ek =。
；系统动
2mR2122mR答案：?；mR?(?1)。
2JJ解：应用角动量守恒定律J??mR2??J??
?mR2?mR2解得?????1? ?，角速度的变化?????????JJ??211122222mR系统动能的变化?Ek??J????J?mR??，即?Ek?mR?(?1)
2J22
4． 如图所示，转台绕中心竖直轴以角速度?0作匀速转动，转台对该轴的转动惯量
J?5?10?5kg?m2。现有砂粒以1g/s的流量落到转台，并粘在台面
形成一半径r?0.1m的圆。则使转台角速度变为?0/2所花的时间为
。
答案：5s
解：由角动量守恒定律 得 m?所以
ωr(J?mr2)?02?J?0
J， 2rm?1?10?3kg/s tmJ5?10?5t????5s 1?10?3r2?1?10?30.12?1?10?3由于
5． 如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力为答案：T?11mg 8(1)(2)(3)(4) 。
R m 2m ?m1g?T1?m1a??T2?m2g?m2a解：列出方程组 ??(T1?T)R1?J1?1??(T?T2)R2?J2?2
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TM2R2M1R1Ta第20页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1
其中，?1?a,R11a12 J1?M1R12，?2?,J2?M2R22R22?T1?m1(g?a)由（1）、（2）两式得：?
T?m(g?a)2?2可先求出a，解得
a?2(m1?m2)g4m1m2?m1(M1?M2)，T1?g，
2(m1?m2)?(M1?M2)2(m1?m2)?(M1?M2)4m1m2?m2(M1?M2)4m1m2?m1M2?m2M1g，T?g
2(m1?m2)?(M1?M2)2(m1?m2)?(M1?M2)T2?将m1?2m，m2?mM1?M2?m,R1?R2代入，得：T?
11mg 8三．计算题
1．在半径为R1、质量为M的静止水平圆盘上，站一静止的质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕过盘中心的竖直轴转动。当这人沿着与圆盘同心，半径为R2（ 4?mR222?MR124?2?答案：（1）；（2）。 ?，或?，或22222mR2?MR122?MR12/(mR2)2mR2?MR122mR2/(MR12)?1解：设人相对圆盘的角速度为?，圆盘相对地面的角速度为?M。 则人相对地面的角速度为 ?m????M 2应用角动量守恒定律 mR2?m?112MR12?M?0得，mR2????M??MR12?M?0 22mR222mR22解得?M??????2212mR?MR221mR2?MR122圆盘相对地面转过的角度为 2mR222mR224??M???Mdt???dt???2??? 2222mR2?MR12?2mR2?MR122?MR12/(mR2)人相对地面转过的角度为 2?MR122??m???mdt?2???M?? 222mR2?MR122mR2/(MR12)?1 20 第46页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1 狭缝数 11??2022（条/厘米） a?b5?10?4(a?b)?（2）由光栅公式(a?b)sin??k?得k?sin?。??对应于最高衍射级次 ?2 N?kmax。将??680nm代入，得 5?10?6kmax???7.3?7（向前取整数） ?7?6.8?10所以在屏上出现的光谱级数为0,?1,?2,?3,?5,?6,?7，可看到共13条明纹。 (a?b) 4．波长为400nm~760nm范围的一束复色可见光垂直入射到光栅常数d?4.8?10?4cm的透射光栅上，在屏上形成若干级彩色光谱。已知透镜焦距f?1.2m。求： （1）第二级光谱在屏上的线宽度； （2）第二级与第三级光谱在屏上重叠的线宽度。 答案：（1）19.7cm；（2）9cm。 解：由光栅公式dsin??k?得第k级衍射角 ?k?arcsink? d可见光为连续光谱，其最短波长和最长波长分别为?min?400nm和?max?760nm，因此其第k级光谱分布的角宽度为 ??k??kmax??kmin 第k级光谱在焦平面上的线宽度为 ?yk?ykmax?ykmin?f?tan?kmax?f?tan?kmin 式中，?kmax?arcsin射角。 （1）令k?2，即可由上式算出第二级谱线宽度 k?maxk?, ?kmin?arcsinmin分别为同一级光谱中最长和最短波长的衍dd?y2?f?tan?2max?tan?2min??1?2??0.333?0.169??0.197m=19.7cm （2）当第三级光谱最短波长的衍射角?3min小于第二级光谱最长波长的衍射角?2max时，将发生第二级与第三级光谱的重叠。其重叠的线宽度为 ?L?f?tan?2max?tan?3min? 46 第47页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1 令k?3，可解得tan?3min?0.258，所以 ?L?f?tan?2max?tan?3min??1?2??0.333?0.258??0.09m=9cm 计算提示： 令A?k?maxk?，B?min，则?kmax?arcsinA, ?kmin?arcsinB。再利用关系 ddx1?x2arcsinx?arctan，及tan?arctanx??x，可得 tan?kmax?A1?A2?11/A?12，tan?kmin?B1?B2?11/B?12 5．已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84?10-6rad，它们发出的光波波长为550nm。问望远镜物镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星？ 答案：0.139m。 解：由最小分辨角公式 ?1?1.22??D，得 ?1.22?550?10?9D?1.22???0.139m ?14.84?10?6 习题八 一、选择题 1．自然光从空气连续射入介质1和介质2（折射率分别为n1和n2）时，得到的反射光a和b都是完全偏振光。已介质1和介质2的折射率之比为1则光的入射角i0为[ ] （A）30?；（B）60?；（C）45?；（D）75?。 答案：A 解：由题意知，光在两种介质介面上的入射角都等于布儒斯特角， 所以有 nntani0?1,tani??tanr?2，r?i0?90? 1n13， i0n1n2ari?b 47 第48页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1 所以 tanr?tan(90??i0)?n2?3 n1由此得 90??i0?60?，i0?30? 2．一束光强为I0的自然光，相继通过三个偏振片P1、P2、P3后出射光强为I0 /8。已知P1和P3的偏振化方向相互垂直。若以入射光线为轴旋转P2，要使出射光强为零，则P2至少应转过的角度是[ ] （A）30°；（B） 45°；（C）60°；（D） 90°。 答案：B 解：设开始时P2与另两者之一的夹角为?，则根据马吕斯定律，出射光强为 IIII?0cos2??cos2(90???)?0cos2??sin2??0 228即sin22??1，??45? 说明当P2转过45°角度后即与另两者之一平行，从而出射光强为零。 3．一束自然光自空气射向一块平板玻璃（如图），入射角i0等于布儒斯特角，则在界面2的反射光[ ] i0 （A）光强为零； （B）是完全偏振光，且光矢量的振动方向垂直于入射面； １ （C）是完全偏振光，且光矢量的振动方向平行于入射面； ２ （D）是部分偏振光。 答案：B 解：根据起偏时的特性和布儒斯特定律可证明，当光由介质A入射于介质B时入射角为起偏振角，则其由介质B入射于介质A的角度也是起偏角。证明如下：设光由空气射入玻璃时的折射角为r，在表面“2”处由玻璃入射到空气的入射角为??r。又根据布儒斯特定律有 ?，则由图可知i0i0tani0?n2，i0?r?90? n1所以 n?????tanr?tan??i0??coti0?1 tani0n2?2???可见，光再由玻璃入射到空气时，也满足布儒斯特公式tani0n1。这说明此时的反射光n2也是完全偏振光，且光矢量的振动方向垂直于入射面。 4．两偏振片的偏振化方向成30?夹角时，自然光的透射光强为I1，若使两偏振片透振方向间的夹角变为45?时，同一束自然光的透射光强将变为I2，则I2/I1为[ ] 48 第49页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1 （A） 1； 4 （B） 2； 3 （C） 3；16（D） 3。 2答案：B 解：设入射自然光的光强为I0，则其通过第一块偏振片后光强减半，为I0/2。所以，根据马吕斯定律，通过第二块偏振片的光强为 I?1I0cos2? 2依题意，当??30?, I?I1；??45?, I?I2，即 I1?13I0cos230?I0， 28I2?11I0cos245?I0 24所以 I22? I135．一单色光通过偏振片P投射到屏上形成亮点，若将P以入射光线为轴旋转一周，发现在转动过程中屏上亮点的亮度不变；再将一块四分之一波片置于P前，然后再转动P，发现屏上亮点产生明暗交替的变化，由此，判定入射光是[ ] （A）线偏振光；（C）部分偏振光； （B）圆偏振光； （D）自然光。 答案：B 解：分析题意后可知，经过1/4波片的光是线偏振光。因插入1/4波片前旋转P时屏上亮度不变，所以入射光只能是自然光或圆偏振光，而这两者中只有圆偏振光经过1/4波片后才会变成线偏振光，由此判断这一单色光为圆偏振光。 二、填空题 1．一束平行的自然光，以60°角入射到平玻璃表面上，若反射光是完全偏振的，则折射光束的折射角为_________；玻璃的折射率为__________。 答案：30?；3。 解：此时入射角为起偏振角。根据布儒斯特定律，折射角为r?90??i0?30?，玻璃的折射率由tani0?n2，得到 n1n2?n1tani0?1?tan60??349 第50页共65页1 质点运动学习题详解习题册-上-1 2．如右图，如果从一池静水（n=1.33）的表面反射的太阳光是完全偏振的，那么太阳的仰角?大致等于的振动方向应与入射面 答案：37?；垂直。 解（1）据题意，此时光的入射角为起偏角，按布儒斯特定律得 ；这反射光E矢量 （垂直，平行）。 ?i0i0?arctan由图示可知，仰角??90??i0?37?； n21.33?arctan?53? n11（2）反射光是完全偏振光，其E矢量的振动方向垂直于入射面。 3．当光线沿光轴方向入射到双折射晶体上时，不发生___________现象，沿光轴方向寻常光和非寻常光的折射率__________；传播速度___________。 答案：（1）双折射；（2）相等；（3）相等。 4．线偏振的平行光，在真空中波长为589nm，垂直入射到方解石晶体上，晶体的光轴与表面平行，如图所示。已知方解石晶体对此单色光的折射率为no=1.658，ne=1.486，则在晶体中的寻常光的波长?o =_____________，非寻常光的波长?e =_____________。 答案：355nm；396nm。 解： o e 方解石晶 ?o??no?589?589?355nm； ?e???396nm 1.658ne1.486 三、计算题 1．自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片后，透射光的强度为I1。若在这两个偏振片之间插入另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成30°角，则透射光强为多少（用I1表示）？ 答案：(9/4)I1 解：设入射光的强度为I0。根据马吕斯定律，自然光通过两个偏振片后，透射光的强度与入射光的强度的关系为 I1?11I0?cos260??I0， I0?8I1 2850 查看全文