【综合文库】
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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号： ______________ 副校长/组长签字： 签字日期：学 员 编 号 ： 年级 ： 课时数： 学 员 姓 名 ：辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课题 授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点 【考纲说明】
1、 了解概率的意义、解频率与概率的区别、随机事件发生的不确定性和频率的稳定性; 2、 掌握两个互斥事件的概率加法公式。
【趣味链接】
一种杯子，若在第N层被摔破，则在任何比N高的楼层均会破，若在第M层不破，则在任何比M低的楼层均会破，给你两个这样的杯子，让你在100层高的楼层中测试，要求用最少的测试次数找出恰巧会使杯子破碎的楼层。
【知识梳理】
一、事件与概率 1、随机事件和确定事件
（1）在一定条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件.一般用大写字母A、B、C表示. （2）在一定条件S下，一定会发生的事件叫做相对于事件S的必然事件；在一定条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于事件S的不可能事件.必然事件与不可能事件统称相为对于事件S的确定事件.
（3）在试验中，能够用来描绘其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件.所有基本事件构成的集合称为基本事件空间. 2、频率与概率 （1）频数与频率
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设随机事件A在n次重复试验中发生了nA次，则nA称为事件A出现的频数，比值nA/n称为随机事件A发生的频
n率，记作fn(A)，即 f(A)?A.
nn（2）概率：在进行大量重复试验中，随机事件A发生的频率具有稳定性，即当试验次数n很大时，频率fn(A)在一个稳定的值p(0
（1）包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A，记作A?B(或B?A)． （2）相等：若两事件A与B相互包含，即A?B且B?A，那么，称事件A与B相等，记作A?B. （3）和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作A?B或A+B. （4）积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作A?B或AB. （5）互不相容：若事件A和B不能同时发生，即AB??，那么称事件A与B互不相容(或互斥)．
（6）对立事件：若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB??且A?B??，那么，称A与B是对立的．事件A的对立事件(或逆事件)记作A．
（7）差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A与B的差事件，记作A?B(或AB)． 4、概率的基本性质
（1）任何事件的概率都在0-1之间，即0?P(A)?1，其中当P(A)?1时称为必然事件；当P(A)?0时称为不可能事件P(A)=0
（2）当事件A与事件B互斥时，P(A?B)?P(A)?P(B).
（3）对立事件的概率之和为1，即事件A与事件B对立，则P(A)?P(B)?1.
【经典例题】
【例1】（2022湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A．1-
2 1121
B．- C． D． π2πππ
【例2】（2022湖北）如图所示，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E(X)＝()
2
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A.
12661687B. C.D.12551255
【例3】（2022陕西）如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是() ．
ππππA．1－ B．－1 B．2－ D．
4224
【例4】在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为( )
4323
A．B． C． D． 77714
【例5】（2022安徽理）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 A．
【例6】（2022江西理）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（ ） A．
1234B． C．D． 75757575?B ?C ?F ?E ?A
?D 31334850 B． C．D． . 81818181【例7】（2022江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为.
【例8】（2022江苏）现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概
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率为________．
【例9】某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查．瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人，下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果．例如表中听觉记忆能力为中等，且视觉记忆能力偏高的学生为3人．
视觉 听觉 偏低 偏低 听觉 中等 记忆 偏高 能力 超常 0 2 1 1 由于部分数据丢失，只知道从这40位学生中随机抽取一个，视觉记忆能力恰为中等，且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为
2 1 8 3 0 0 视觉记忆能力 中等 7 偏高 5 超常 1 b 1 a 2． 5（1）试确定a、b的值；
（2）从40人中任意抽取1人，求此人听觉记忆能力恰为中等，且视觉记忆能力为中等或中等以上的概率．
【例10】（2022陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在 3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． （1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．
【课堂练习】
1、（2022辽宁文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 A．
?4 B．1??4C．
? 8 D．1??8
4
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2、（2022广州）在区间[1，5]和[2，4]上分别取一个数，记为a，b，则方程2＋2＝1表示焦点在x轴上且离心率小于
ab2
的椭圆的概率为()
1151731
A． B． C．D．
2323232
3、（2022湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率
是，三人中至少有一人达标的概率是。
4、（2022新课标全国Ⅱ）从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为1
，则n＝________． 14
5、（2022安徽）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.
（1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；（2）求使P(X＝m)取得最大值的整数m.
【课后作业】
1、已知数列{an}满足an＝an－1＋n－1(n≥2，n∈N)，一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子连续抛掷三次，得到的点数分别记为a，b，c，则满足集合{a，b，c}＝{a1，a2，a3}(1≤ai≤6，i＝1，2，3)的概率是( )
1111
A． B．C． D．
72362412
2、（2022江西文）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A．
1111B．C．D． 6432 ?B
D． 0 .
C
?
?F
?D
3、（2022安徽文）考察正方体6个面的中心，从中任意选3个点连成三角形，再把剩下的3个点也连成三角形，则所得的两个三角形全等的概率等于
A．1B．
C．
? E ? A
5
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