【综合文库】
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4.1.2圆的一般方程（熊用兵）
一、教学目标 （一）核心素养
通过本节内容的学习，掌握圆的一般方程，能利用各种条件求出圆的一般方程. （二）学习目标
1.掌握圆的一般方程，理解二元二次方程表示圆的条件； 2.能够熟练进行圆的一般方程和标准方程之间的转换； 3.能够在各种条件下求圆的一般方程. （三）学习重点
1.圆的一般方程和标准方程之间的转换； 2.在不同条件下求圆的一般方程. （四）学习难点
1.理解二元二次方程表示圆的条件； 2.在不同条件下求圆的一般方程. 二、教学设计 （一）课前设计 1.预习任务
读一读阅读教材第121页到122页，填空：
（1）关于x,y的二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示一个圆的条件是
D2?E2?4F?0；其圆心坐标为(?DE1,?)，半径为D2?E2?4F. 222（2）求圆的方程常用的方法是待定系数法. 2.预习自测
（1）若圆的方程为x2?y2?2x?10y?23?0，则该圆的圆心坐标和半径分别为（） A.(?1,5),3 B. (1,?5),3C. (?1,5),3 D. (1,?5),3
【知识点】圆的一般方程.
【解题过程】方程配方得(x?1)2?(y?5)2?(3)2，故圆心和半径为(1,?5)、3 【思路点拨】一般方程通常通过配方成标准方程，从而方便找出圆心和半径. 【答案】B
（2）关于x,y的方程x2?y2?4mx?2y?5m?0表示圆的条件是（ ） A.
111?m?1B.m?或m?1 C.m?D. m?1 444【知识点】二元二次方程表示圆的条件.
【解题过程】由D2?E2?4F?0得：(4m)2?(?2)2?4?5m?0，解得m?1或4m?1
【思路点拨】形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程表示一个圆的条件是
D2?E2?4F?0.
【答案】B
0),M(11),，N(4，2)的圆的方程为（ ） （3）过三点O(0，A. x2?y2?8x?6y?25?0 B. x2?y2?8x?6y?25?0 C. x2?y2?8x?6y?0 D. x2?y2?8x?6y?0 【知识点】圆的一般方程.
【解题过程】设圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，则代入三点的坐标得：
?F?0?D??8????E?6，故圆的方程为x2?y2?8x?6y?0 ?1?1?D?E?F?0?14?4?4D?2E?F?0?F?0??【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程. 【答案】D （二）课堂设计 1.知识回顾：
（1）确定圆的基本要素是：圆心位置和半径大小；
（2）圆心为点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2 2.问题探究
探究一二元二次方程表示的图形
活动①分别研究方程x2?y2?2x?4y?1?0……①，
x2?y2?2x?4y?5?0……②，x2?y2?2x?4y?6?0……③表示什么图形？ 对方程①配方的：(x?1)2?(y?2)2?4，由圆的标准方程可知它表示一个圆心为(1,-2)，半径为2的圆；
对方程②配方的：(x?1)2?(y?2)2?0，显然只有一个点(1,-2)满足这个方程，所以这个方程只表示一个点(1,-2)；
对方程③配方的：(x?1)2?(y?2)2??1，显然没有任何的点(x,y)满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形.
【设计意图】让学生了解形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程可能表示不同的图形.
活动②形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程表示一个圆的条件
D2E2D2?E2?4F 将方程x?y?Dx?Ey?F?0配方得(x?)?(y?)?，比
22422较圆的标准方程(x?a)2?(y?b)2?r2可知：
当D2?E2?4F?0时方程表示一个圆，且圆心为(?DE,?)，半径为221D2?E2?4F； 2当D2?E2?4F?0时方程表示一个点； 当D2?E2?4F?0时方程不表示任何一个图形.
【设计意图】通过配方并与圆的标准方程比较得出形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程表示一个圆的条件. 探究二 圆的一般方程
?活动①圆的方程是不是都能表示成形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程？所有圆都是由圆心和半径决定，而且圆心为点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，展开可得：x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0， 令D??2a,E??2b,F?a2?b2?r2，则得：x2?y2?Dx?Ey?F?0 故所有的圆的方程都可以表示为形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程. 【设计意图】让学生了解圆的方程与形如x2?y2?Dx?Ey?F?0的方程之间的充要关系.
?活动②圆的一般方程
由以上的探究可知：方程x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）表示一个圆心为(?程.
【设计意图】明确掌握圆的一般方程的形式和条件，以及该圆的圆心和半径. 巩固基础，检查反馈
例1. 若方程x2?y2?ax?2ay?2a2?a?1?0表示圆，则实数a的取值范围是（）
A. a??2或a?DE1,?)，半径为D2?E2?4F的圆，我们称之为圆的一般方222222 B.??a?2 C.?2?a?0 D.?2?a? 333【知识点】一般方程表示圆的条件.
【解题过程】由条件知a2?(2a)2?4(2a2?a?1)?0，解得?2?a?2 3【思路点拨】方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件为D2?E2?4F?0 【答案】D
同类训练 已知方程x2?y2?2(t?3)x?2(1?4t2)y?16a4?9?0表示的图形是一个圆，则实数t的取值范围是____________； 【知识点】一般方程表示圆的条件.
【解题过程】由一般方程表示圆的条件可知：
1[?2(t?3)]2?[2(1?4t2)]2?4(16t4?9)?0，解得??t?1.
7【思路点拨】方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的条件为D2?E2?4F?0
1【答案】??t?1.
7，5),B(?2，?2),C(5，5)，则?ABC的外接例2、已知?ABC的三个顶点分别为A(?1圆的一般方程为____________________. 【知识点】圆的一般方程的求法.
【解题过程】设外接圆的方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，将A,B,C的坐标代
??D?5E?F?26?0?D??4??入得：??2D?2E?F?8?0??E??2，所以所求方程为
?5D?5E?F?50?0?F??20??x2?y2?4x?2y?20?0
【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程. 【答案】x2?y2?4x?2y?20?0
同类训练 经过点A(1，5)、B(2,?22)，且圆心在x轴上的圆的方程为_____________.
【知识点】圆的一般方程的求法. 【数学思想】
【解题过程】设所求方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，则圆心为(?DE,?)，所22以E?0，即方程为x2?y2?Dx?F?0，将A,B坐标代入得
?6?D?F?0?D??6??，所以圆的方程为x2?y2?6x?0 ??12?2D?F?0?F?0【思路点拨】待定系数法求圆的一般方程. 【答案】x2?y2?6x?0 强化提升、灵活应用
，0),B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方例3、已知直角?ABC的斜边为AB，且A(?1程为（ ）
A. x2?y2?2x?3?0B. x2?y2?2x?3?0(x??1,3) C. x2?y2?2x?3?0D. x2?y2?2x?3?0(x??1,3) 【知识点】轨迹方程问题
【解题过程】设顶点C(x,y)，∵AC⊥BC且A,B,C不共线，∴kAC?kBC??1且x≠-1,3，又kAC?kBC?yy???1，化简得x2?y2?2x?3?0(x??1,3) x?1x?3另解：由几何关系可知，点C的轨迹方程为以线段AB为直径的圆去掉两个端点A、B，易求得方程为x2?y2?2x?3?0(x??1,3).
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