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培优讲义九一次函数与等腰三角形存在性

【综合文库】

一次函数与三角形存在性问题

相关知识点

1、两点距离公式A(x1,y1)B(x2,y2),则AB=

2、等腰三角形相关性质及作法

3、对于一次函数y=kx+b(k≠0) ①当k> 0时,y随x的增大而,向 当k<0时,y随x的增大而。向

②k越,倾斜角度越。直线y=x,与x轴夹角为,y=3x,与x轴正方向夹角为 ,y=

3x,3与x轴正方向夹角为

③经过点(0,k)且平行于x轴的直线叫做直线,经过点(k ,0)且平行于y轴的直线叫做直线

④对于直线l1:y?k1x?b1和l2:y?k2x?b2

当l1∥l2时,;当l1?l2时,.

⑤若A(x1,y1)B(x2,y2),则直线AB的斜率kAB=; 若直线斜率k=3,且过点(1,4),则直线解析式为

类型一、等腰三角形存在性 例1. 如图,直线y?3x?2与x轴、y轴分别交于A,B两点,点P是x轴上的动点, 3若使△ABP为等腰三角形,则点P的坐标是

例2、如图,直线y=x+3与y轴交于点A,与直线x=1交于点B,点P是直线x=1上的动点,

1

若使△ABP为等腰三角形,则点P的坐标是

例3、如图,直线l1:y=x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点,点C为x轴上任意一点,直线l2:y=﹣x+b经过点C,且与直线l1交于点D,与y轴交于点E,连结AE. (1)当点C的坐标为(2,0)时, ①求直线l2的函数表达式; ②求证:AE平分∠BAC;

(2)问:是否存在点C,使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形?若存在,直接写出点C的坐标;若不存在,请说明理由.

类型二、等腰直角三角形存在性

2

例4、(1)模型建立:如图(1),等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于D,过B作BE⊥ED于E.求证△BEC≌△CDA; (2)模型应用:

①已知直线l1=x+4与y轴交于A点,将直线l1绕点A顺时针旋转45°至l2,求l2的函数解析式;

②如图3,矩形ABCO,O为坐标原点,B的坐标为(8,6),A,C分别在坐标轴上,P是线段BC上动点,设PC=m,已知点D在第一象限,且是直线y=2x﹣6上的一点,若△APD是不以A为直角顶点的等腰直角三角形,请直接写出点D的坐标.

例5、如图,点M是直线y=2x+3在第二象限上的动点,过点M作MN垂直x轴于点N,在y轴的正半轴上求点P,使△MNP为等腰直角三角形,请写出符合条件的点P的坐标 .

练习:

3

31、如图,直线y?-x?3与x轴、y轴分别交于A,B两点,点P是线段AB上的动点,

4若使△OAP为等腰三角形,则点P的坐标是

2、如图,在平面直角坐标系中,过点A的两条直线分别交y轴于B(0,3)、C(0,﹣1)两点,且∠ABC=30°,AC⊥AB于A. (1)求线段AO的长,及直线AC的解析式;

(2)若点D在直线AC上,且DB=DC,求点D的坐标;

(3)在(2)的条件下,直线BD上是否存在点P,使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

3、直线y?

1x?1与x轴,y轴分别交于A,B两点,C是第二象限点,则使△ABC是等腰直角34

三角形的C点坐标是

4、如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(5,5)为第一象限内一点,点B在x轴正半轴上,且∠AOB=45°,OA=OB. (1)求点B的坐标;

(2)动点P以每秒2个单位长度的速度,从点O出发,沿x轴正半轴匀速运动,设点P的运动时间为t秒,△ABP的面积为S,请用含有t的式子表示S(S≠0),并直接写出t的取值范围;

(3)如图2,在(2)的条件下,点D坐标为(2,0),连接AD,AK⊥AD,过点B作x轴的垂线交AK于点K,过点A作x轴的平行线a,在点P的运动过程中,直线a上是否存在一点R,使△PKR是以PR为腰的等腰直角三角形?若存在,求出点R坐标;若不存在,请说明理由.

5

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