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第三章 平面与空间直线
§ 3.1平面的方程
1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程：
（1）通过点M1(3,1,?1)和点M2(1,?1,0)且平行于矢量{?1,0,2}的平面（2）通过点
M1(1,?5,1)和M2(3,2,?2)且垂直于xoy坐标面的平面；
（3）已知四点A(5,1,3)，B(1,6,2)，C(5,0,4)D(4,0,6)。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与?ABC平面垂直的平面。
解： （1）?M1M2?{?2,?2,1}，又矢量{?1,0,2}平行于所求平面， 故所求的平面方程为：
?x?3?2u?v? ?y?1?2u
?z??1?u?2v?一般方程为：4x?3y?2z?7?0
（2）由于平面垂直于xoy面，所以它平行于z轴，即{0,0,1}与所求的平面平行，又
M1M2?{2,7,?3}，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为：
?x?1?2u??y??5?7u ?z?1?3u?v?一般方程为：7(x?1)?2(y?5)?0，即7x?2y?17?0。 （3）（ⅰ）设平面?通过直线AB，且平行于直线CD： AB?{?4,5,?1}，CD?{?1,0,2} 从而?的参数方程为：
?x?5?4u?v? ?y?1?5u?z?3?u?2v?一般方程为：10x?9y?5z?74?0。
（ⅱ）设平面??通过直线AB，且垂直于?ABC所在的平面
? AB?{?4,5,?1}， AB?AC?{?4,5,?1}?{0,?1,1}?{4,4,4}?4{1,1,1}
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均与??平行，所以??的参数式方程为：
?x?5?4u?v??y?1?5u?v ?z?3?u?v?一般方程为：2x?y?3z?2?0.
2.化一般方程为截距式与参数式： ?:x?2y?z?4?0. 解：
?与三个坐标轴的交点为：(?4,0,0),(0?2,0),(0,0,4)，
xyz???1. ?4?24所以，它的截距式方程为：
又与所给平面方程平行的矢量为：{4,?2,0},{4,0,4}，
? 所求平面的参数式方程为：
?x??4?2u?v? ?y??u?z?v?3.证明矢量v?{X,Y,Z}平行与平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：
AX?BY?CZ?0. 证明：不妨设A?0，
则平面Ax?By?Cz?D?0的参数式方程为：
DBC?x???u?v?AAA? ?y?u?z?v??BC故其方位矢量为：{?,1,0},{?,0,1}，
AA从而v平行于平面Ax?By?Cz?D?0的充要条件为：
v，{?BC,1,0},{?,0,1}共面? AA19
XYB?1AC?0A? AX?BY?CZ?0.
Z0?0 14. 已知连接两点A(3,10,?5),B(0,12,z)的线段平行于平面7x?4y?z?1?0，求B点的z坐标.
解：? AB?{?3,2,5?z} 而AB平行于7x?4y?z?1?0 由题3知：(?3)?7?2?4?(z?5)?0 从而z?18.
5. 求下列平面的一般方程.
⑴通过点?1?2,?1,1?和?2?3,?2,1?且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点??3,2,?4?且在x轴和y轴上截距分别为?2和?3的平面; ⑶与平面5x?y?2z?3?0垂直且分别通过三个坐标轴的三个平面; ⑷已知两点?1?3,?1,2?,?2?4,?2,?1?,求通过?1且垂直于?1,?2的平面; ⑸原点?在所求平面上的正射影为??2,9,?6?;
⑹求过点?1?3,?5,1?和?2?4,1,2?且垂直于平面x?8y?3z?1?0的平面.
x?2解:平行于x轴的平面方程为
y?1z?1?1000?0.即z?1?0.
11同理可知平行于y轴,z轴的平面的方程分别为z?1?0,x?y?1?0. ⑵设该平面的截距式方程为
xyz24???1,把点??3,2,?4?代入得c?? ?2?3c19故一般方程为12x?8y?19z?24?0.
⑶若所求平面经过x轴，则?0,0,0?为平面内一个点,
?5,1,?2?和?1,0,0?为所求平面的方位矢量,
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x?0∴点法式方程为
y?0z?010?2?0 051∴一般方程为2y?z?0.
同理经过y轴,z轴的平面的一般方程分别为2x?5z?0,x?5y?0.
1,?1,?3?.?1?2垂直于平面?, ⑷?1?2??1,?1,?3?,平面?通过点?1?3,?1,2?, ∴该平面的法向量n??因此平面?的点位式方程为?x?3???y?1??3?z?2??0. 化简得x?y?3z?2?0.
??. (5) op??2,9,?6?p?op????4?81?36?11.
op?p?n0?11?cos?,cos?,cos????2,9,?6?. 296,cos??,cos???. 111111296y?z?11?0. 则该平面的法式方程为:x?111111∴ cos??既 2x?9y?6z?121?0.
1,?8,3?，M1M2??（6）平面x?8y?3z?1?0的法向量为n??1,6,1?，点从?4,1,2?
?x?4写出平面的点位式方程为
y?1z?2?863111?83?0，则A???26,
61B?3113?2,C??14,D??26?4?2?28??74， 1111则一般方程Ax?By?Cz?D?0,即：13x?y?7z?37?0. 6．将下列平面的一般方程化为法式方程。
?1?.x?2y?5z?3?0.?2?x?y?1?0.?3?x?2?0.?4?4x?4y?7z?0.
解：?D??3.
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???1A?B?C222?130
?将已知的一般方程乘上??130.得法式方程
x30?2y30?5z30?1330?0.
?2??D?1.?????12x?12y?1212.?将已知的一般方程乘上???2.得法式方程
?0.
?3?.?D?2.????1.?将已知的一般方程乘上???1.得法式方程?x?2?0. ?4?.?D?0.????1.即??1或???1
999将已知的一般方程乘上??11447或???.得法式方程为x?y?z?0或99999?447x?y?z?0. 9997．求自坐标原点自以下各平面所引垂线的长和指向平面的单位法矢量的方向余弦。
?1?.2x?3y?6z?35?0.?2?.x?2y?2z?21?0.
解：?1?.D??35.??1236.化为法式方程为x?y?z?5?0原点指向平面?的单位法7777236,cos??,cos??.原点o到平面?777矢量为u??,,?,它的方向余弦为cos??的距离为P???D?5.
?236??777??2?.D?21.???1.化为法式方程为-?1x?2y?2z?7?0原点指向平面?的单位法
3333矢量为n???0122?122?,,??,它的方向余弦为cos???,cos??,cos???.原点o到
333?333?平面?的距离p???D?7. 第20页
8．已知三角形顶点A?0,?7,0?,B?2,?1,1?,C?2,2,2?.求平行于?ABC所在的平面且与她相距为2各单位的平面方程。
????????????解：设AB?a,AC?b.点A?0,?7,0?.则a??2,6,1?,b??2,9,2?写出平面的点位式方程
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