第二章随机变量及其分布

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第二章随机变量及其分布

习题2.1 P73

2. 一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数. (1) 试求X的分布列;

(2) 写出X的分布函数, 并作图.

4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X表示所取到的白球数.

(1) 试求X的概率分布列;

(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?

6. 设随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?1/4,0?x?1;??F(x)??1/3,1?x?3;

?1/2,3?x?6;???1,x?6.试求X的概率分布列及P(X1),P(X≥1).

11. 如果X的密度函数为

?x,0?x?1?p(x)??2?x,1?x?2

?0,其他?试求P(X≤1.5).

13. 设连续随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?F(x)??Ax2,0?x?1;

?1,x?1.?试求 (1) 系数A;

(2) X落在区间(0.3,0.7)内的概率;

(3) X的密度函数.

15. 设随机变量X和Y同分布,X的密度函数为

?32?x,0?x?2; p(x)??8??0,其他.已知事件A={X>a}和B={Y>a独立, 且P(A∪B)=3/4,求常数a.

16. 设连续随机变量X的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有

(1)F(?a)?1?F(a)?0.5?(2)P(|X|?a)?2F(a)?1; (3)P(|X|?a)?2[1?F(a)].

习题2.2P81

1.设离散型随机变量X的分布列为

X P 试求E(X)和E(3X+5).

5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?

7. 对一批产品进行检查, 如查到第a件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?

11. 设随机变量X的分布函数如下, 试求E(X).

-2 0.4 0 0.3 2 0.3 ?a0p(x)dx;

?ex?,x?0;?2?1 F(x)??,0?x?1;2??1?1(x?1)2,x?1.?1?e?2

12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为

X P 10 0.4 11 0.3 12 0.2 13 0.1 (1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数; (2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万元. 试求工程队的平均利润; (3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间X1(单位:月)的分布为

X1 P 则其平均利润可增加多少? 13. 设随机变量X的概率密度函数为

10 0.5 11 0.4 12 0.1 x?1?cos,0?x??; p(x)??22??0,其他.对X独立重复观察4次,Y表示观察值大于π/3的次数,求Y的数学期望.习题2.3

P88

4. 设随机变量X的分布函数为

?ex?,x?0;?2?1 F(x)??,0?x?1;2??1?1(x?1)2,x?1,?1?e2?试求Var(X).

5. 设随机变量X的密度函数为

?1?x,?1?x?0;?p(x)??1?x,0?x?1;

?0,其他,?试求Var(3X+2).

7. 设随机变量X仅在区间[a,b]上取值,试证

a?E(X)?b,Var(X)?(

b?a2). 29. 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有

P(X??)?

E(g(X)).

g(?)9

11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×10,标准差是0.7×10. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×10至9.4×10之间的概率的下界.习题2.4

P101

3. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率.

5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n与p各为多少?

7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.

9. 已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布.

12. 设随机变量X的密度函数为

?2x,0?x?1;p(x)??

?0,其他.以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2}出现的次数,试求P(Y=2).

13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备.习题2.5

P115

23. 设K服从(1,6)上的均匀分布,求方程x?Kx?1?0有实根的概率.

6. 设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.

10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润.

11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其密度函数为

x?1?5?e,x?0; p(x)??5?0,其他.?某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y≥1).

13. 设随机变量X的密度函数为

??e??x,x?0;p(x)??(λ>0)

?0,x?0.试求k,使得P(X>k)=0.5.

20. 设X~N(3,2),(1)求P(22);(3)确定c合得P(X>c)=P(X

(1) 该机在下午2:30以后到达乙地的概率是多少? (2) 该机在下午2:20以前到达乙地的枝率是多少? (3) 该机在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率是多少?

24. 某单位招聘员工,共有10000人报考.假设考试成绩服从正态分布,且已知90分以上有359人,60分以下有1151人.现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人,试问被录用者最低分为多少?

30. 设随机变量X~N(μ,σ),求E|X-μ|.习题2.6

P123

1. 已知离散随机变量X的分布列为

X P 2

-2 1/5 -1 1/6 0 1/5 1 1/15 3 11/30 试求Y=X与Z=|X|的分布列.

3. 设随机变量X服从(-1,2)上的均匀分布,记

?1,X?0; Y????1,X?0.试求Y的分布列.

7. 设随时机变量X服从区间(1,2)上的均匀分布,试求Y?e

8. 设随机变量X服从区间(0,2)上的均匀分布,(1)求Y=X的密度函数.(2)P(Y<2).

213. 设X~N(?,?),求Y?e的数学期望与方差.

2X的密度函数.

15. 设随机变量X的密度函数为

?e?x,若x?0;p(x)??

?0,若x?0.试求以下Y的密度函数

X(1) Y=2X+1; (2)Y?e;(3)Y?X.

17. 设X~LN(?,?),试证:Y?lnX~N(?,?).