【综合文库】
第二章 曲面论
§1曲面的概念
1.求正螺面={ u ,u , bv }的坐标曲线.解u-曲线为={u ,u ,bv }=｛0,0，bv｝＋u {,,0}，为曲线的直母线；v-曲线为={,,bv }为圆柱螺线．
２．证明双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。证u-曲线为={ a（u+）, b（u-）,2u}={ a, b,0}+ u{a,b,2}表示过点{ a, b,0}以{a,b,2}为方向向量的直线; v-曲线为=｛a（+v）, b（-v）,2v｝=｛a, b,0｝+v{a,-b,2}表示过点(a, b,0)以{a,-b,2}为方向向量的直线。
3．求球面=上任意点的切平面和法线方程。解 = ，=
任意点的切平面方程为
即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ； 法线方程为 。
4．求椭圆柱面在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
解 椭圆柱面的参数方程为x = cos, y = asin, z = t ,,。所以切平面方程为：，即x bcos + y asin － a b = 0
此方程与t无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
5．证明曲面的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。 证 ，。切平面方程为： 。
与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为： 是常数。
§２ 曲面的第一基本形式
1. 求双曲抛物面＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.解 ,
∴I = 2。
２．求正螺面={ u ,u , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。解 ，，，，∴ I =，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为I =的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解 由条件,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入得=，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从到的弧长为。
4．设曲面的第一基本形式为I = ，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量，，，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为，，。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为，则有 cos= 。
5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x ,y =的交角.
解 曲面的向量表示为={x,y,axy}, 坐标曲线x = x的向量表示为={ x,y,axy } ，其切向量={0，1，ax}；坐标曲线y =的向量表示为={x , ,ax}，其切向量={1，0，a}，设两曲线x = x与y =的夹角为，则有cos =
6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明 因为du,dv不同时为零，假定dv0，则所给二次方程可写成为P+ 2Q+ R=0 ,设其二根,,则=，+=……①又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G = 0……② 将①代入②则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.证 用分别用δ、、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，即沿u－曲线δu０，δv＝０，沿v－曲线u＝０，v０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得 ，即。
展开并化简得E(EG-)=G(EG-),而EG->0，消去EG-得坐标曲线的二等分角线的微分方程为E=G.9．设曲面的第一基本形式为I = ，求曲面上三条曲线u = v, v =1相交所成的三角形的面积。
解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是S= =2=2== 。
10．求球面=的面积。解 = ，=
E ==,F== 0 ,G == .球面的面积为： S = .
11.证明螺面={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面={tcos,tsin,} (t>1, 0<<2)之间可建立等距映射 =arctgu + v , t= .
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为I=2+2 dudv+(+1), 旋转曲面的第一基本形式为I= ,在旋转曲面上作一参数变换 =arctgu + v , t = , 则其第一基本形式为:
==2+2 dudv+(+1)= I .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射=arctgu + v , t = . §3曲面的第二基本形式
1. 计算悬链面={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 ={sinhucosv,sinhusinv,1},={-coshusinv,coshucosv,0} ={coshucosv,coshusinv,0},={-sinhusinv,sinhucosv,0},
={-coshucosv,-coshusinv,0},= coshu,=0,=coshu. 所以I = coshu+ coshu . ==,
L=, M=0, N==1 .所以II = -+ 。
2. 计算抛物面在原点的第一基本形式,第二基本形式. 解 曲面的向量表示为, ,,,
,, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,I=, II=.
3. 证明对于正螺面={u,u,bv},-∞ ={-uucosv,cosv,0},={-ucosv,-usinv,0},，，， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 解 ,,, ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到单位球面(S)的中心距离为d(0 ,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于,所以(C)的法曲率为=1 . 6. 利用法曲率公式,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基本量成比例。证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv 或-，所以，即第一、第二类基本量成比例。 7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。证明对于正螺面={u,u,bv}， ，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}， L==0,N==0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。 8. 求曲面的渐近线. 解 曲面的向量表示为,, . . 渐近线的微分方程为,即一族为dy=0, 即,为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. 方法二：任取曲线，它的主法线曲面为， ，， 在曲线上，t = 0 , ,曲面的单位法向量，即，所以曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 10. 证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网. 证 曲面的向量表示为 ={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 ,. 因为,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数构成共轭网。 11.确定螺旋面={u,u,bv}上的曲率线. 解，={0,0,0}，={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L=0, M= , N=0,曲率线的微分方程为: ,即,积分得两族曲率线方程: . 12.求双曲面z=axy上的曲率线. 解 N=0 . 由=0得,积分得两族曲率线为. 13.求曲面上的曲率线的方程. 解 M=,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: :. 14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线. 证法一：因 L是曲率线,所以沿L有,又沿L 有?=常数,求微商 得,所以,即-·=0,则有=0,或·=0 . 若=0, 则L是平面曲线；若·=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ，=0 ，这时d=，为常向量，而当L是渐近线时，=，所以为常向量，L是一平面曲线. 证法二：若 ，则因‖ ，所以‖ ，所以d‖，由伏雷 内公式知d‖（）而L是曲率线，所以沿L有d‖，所以有=0,从而曲线为平面曲线； 若不垂直于， 则有?=常数,求微商得因为L是曲率线，所 以沿L有‖，所以，所以，即-·=0 ，若=0，则问题得证；否则·=0 ，则因，有‖，‖‖（-）‖ ，矛盾。 15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16．求正螺面的主曲率。 解 设正螺面的向量表示为={u,u,bv}. 解，={0,0,0}， ={-ucosv,-usinv,0}，={-sinv,cosv,0},，，， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式 （EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。所以主曲率为 。 17．确定抛物面z=a()在（0，0）点的主曲率. 解 曲面方程即，，，， 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 , N=2a .所以-4a+4=0 ，两主曲率分别为= 2 a , = 2 a . 18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为 、，任给一方向及与其正交的方向+，则这两方向的法曲率分别为，，即 为常数。 19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由 得,即渐进方向为 ,=-.又-+=2 为常数,所以为为常数,即为常数.20. 求证 正螺面的平均曲率为零.证由第3题或第16题可知. 21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率.证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=,K ==-. 22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.证法一：由H==0有==0或=-0 . 若==0,则沿任意方向,=0 ,即对于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,对应的点为平点.若=-0,则K=<0 ,即LN-M<0,对应的点为双曲点. 证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若< 0,则曲面上的点是双曲点。 23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.证 查看全文