【综合文库】
习题一 （A）
1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。
2. 记三事件为A,B,C。试表示下列事件：
（1）A,B,C都发生或都不发生；（2）A,B,C中不多于一个发生；（3）A,B,C中只有一个发生；（4）A,B,C中至少有一个发生； （5）A,B,C中不多于两个发生；（6）A,B,C中恰有两个发生；（7）A,B,C中至少有两个发生。
3.指出下列事件A与B之间的关系：
（1）检查两件产品，事件A=“至少有一件合格品”，B=“两件都是合格品”； （2）设T表示某电子管的寿命，事件A={T>2022h}，B={T>2500h}。 4.请叙述下列事件的互逆事件：
（1）A=“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B=“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C=“射击三次，至少中一次”；
（4）D=“加工四个零件，至少有两个合格品”。
5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是0,1,?,9中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。
7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。
8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。
9.设A,B为任意二事件,且知p(A)?p(B)?0.4,p(AB)?0.28,求p(A?B)；
p(BA)。
10.已知p(A)?111，p(BA)?，p(AB)?，求p(A?B)。43211.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,
求第二次抽出的是次品的概率。
12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？
13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。
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14.10个考签中有4个难签,3人参加抽签（不放回）,甲先、乙次,丙最后。求: (1)甲抽到难签；（2）甲、乙都抽到难签；（3）甲没抽到难签而乙抽到难签；（4）甲、乙、丙都抽到难签的概率。
15.设A，B为两事件，且p(A)?0.6,p(B)?0.7，问（1）在什么条件下p(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下p(AB)取到最小值，最小值是多少？
16.设事件A与B互不相容，且0?p(B)?1，试证明p(AB)?p(A) 。
1?p(B)17.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处,当任一河流泛滥时,该地区被淹没。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1,乙河流泛滥的概率为0.2,当甲河流泛滥时乙河流泛滥的概率为0.3,求（1）该时期内这个地区被淹没的概率？（2）当乙河流泛滥时甲河流泛滥的概率是多少？
18.12个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3个用完后放回去,求第三次比赛时取到的3个球中有2个是新球的概率。
19.某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求:（1）全厂的次品率；（2）如果抽出的产品是次品，此产品是哪个车间生产的可能性大？
20.设一仓库中有12箱同种规格的产品,其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱、4箱、3箱,三厂产品的废品率依次为0.1,0.15,0.18,从这12箱产品中任取一箱,再从这箱中任取一件,求取得合格品的概率；若取得合格品,问该产品为哪个厂生产的可能性大？
21.设患乙肝的人经过检查,被查出患乙肝的人概率为0.95,而未患乙肝的人经过检查,被误认为有乙肝的概率为0.002；又设全城居民中患有乙肝的概率为0.001。若从居民中随机抽一人检查,诊断为有乙肝,求这个人确实有乙肝的概率。
22.据统计男性有5%是患色盲的，女性有0.25%的是患色盲的，今从男女人数相等的人群中随机挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
23.两射手彼此独立地向一目标射击,设甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,则目标被击中的概率是多少？
24.某射手的命中率为0.95,他独立重复地向目标射击5次,求:（1）恰好命中4次的概率；（2）至少命中3次的概率。
25.事件A,B,C相互独立，证明A,B,C也相互独立。
26.高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），设每发炮弹击中敌机的概率均为0.3。又知若敌机中一弹，其坠落的概率为0.2；若敌机中两弹，其坠落的概率为0.6；若敌机中三弹则必然坠落。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。
27.袋中有10个乒乓球，其中7个黄的，3 个白的，不放回地依次从袋中随机取一球。试求第一次和第二次都取到黄球的概率。
（B）
1.已知某家庭有3个小孩,且至少有一个是女孩,求该家庭至少有一个男孩的概率。
2.甲、乙、丙3部机床独立工作，由一个工人照管,某段时间内它们不需要工人照管的概
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率分别为0.9,0.8及0.85。求:（1）在这段时间内有机床需要工人照管的概率；（2）机床因无人照管而停工的概率；（3）若3部机床不需要工人照管的概率均为0.8，这段时间内恰有一部机床需要人照管的概率。
3.设p(A)?a,p(B)?b，则p(AB)?a?b?1。 b4.若p(AB)?p(A)，则p(BA)?p(B)。
5.已知三事件A1,A2,A3都满足Ai?A(i?1,2,3)，证明：
p(A)?p(A1)?p(A2)?p(A3)?2。
6.酒店一楼有三部电梯，今有5位客人要乘电梯.假定选择哪部电梯是随机的，求每部电梯内至少有一位旅客的概率。
7.有6匹赛马，编号为1,2,3,4,5,6.比赛时，它们越过终点的顺序是等可能的，记A=1号马跑在前三位，B=2号马跑在第二位，求p(A)，p(B)和p(AB)。
8.设A,B,C是两两独立且不能同时发生的随机事件，且p(A)?p(B)?p(C)?x，求
x的最大值。
9.带活动门的小盒子中有采自同一巢的20只工蜂和10只雄峰，现随机地放出5只做实验，求其中有3只工蜂的概率。
习题二 （A）
1.下列函数中哪些可以作为某个随机变量的分布函数，并说明理由。
1?x22(1)F(x)?e,(x?R)；(2)F(x)?sinx；
2??0,x?0?1??,x?1(3) F(x)??1?x2；(4) F(x)??0.6,x?0 。
?1,x?0?x?1?1,?2.设离散型随机变量X的分布函数
?0,x??1?0.2,?1?x?0?F(x)??
0.7,0?x?1??x?1?1,求X的分布列。
3.设离散型随机变量X的分布列为
X -1 1 2p0.20.5 0.3
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求：（1）X的分布函数；（2）p{X?0.5}；（3）p{?1?X?3}。 4.设随机变量X的概率函数为：p{X?k}?a,k?0,1,?,n，试确定常数a。 n5. 设随机变量X服从泊松分布，且p{X?1}?p{X?2}，求p{X?4}及p{X?1}。 6.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.
（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率. 7.设随机变量X的密度函数为
0?x?1?x,1???2(1?2),1?x?2f(x)?（1）f(x)??；（2）?2?x,1?x?2， x?0,?其它?0,其它?求X的分布函数F(x).
8.设随机变量X的密度函数
?a?bx,0?x?1f(x)??，
0,其它?且p{X?}?3，试求出 a，b。89.设随机变量X的密度函数为
?ce?2x,x??1f(x)??，
0,其它?12求:（1）c；（2）p{1?X?2}；（3）X的分布函数。 10.设随机变量X的概率密度为
?Ae?x,x?0;f(x)??x?0,?0,，
求:（1）A；（2）p{0?X?4}；（3）X的分布函数。
11.在长度为t的时间间隔内到达某港口的轮船数X服从参数为t/3的泊松分布，而与时
间间隔的起点无关（时间以小时计）。某天12至15时至少有一艘轮船到达该港口的概率为多少？
12.若随机变量X在[1,6]上服从均匀分布，试求方程x?Xx?1?0有实根的概率。
13.设随机变量X~N(2,?)，且p{2?X?4}?0.3，求概率p{X?0}。 14.设X~N(4,25)，求p{0?X?8}。
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2215.由某机器生产的螺柱的长度（cm）服从正态分布N(10.05,0.06)，规定长度在范围 10.05±0.12内为合格品，求一螺柱为合格品的概率。
16.某种型号器件的寿命X（以小时计）具有密度函数
2?1000?,x?1000, f(x)??x2?其它.?0,现有大批此种器件（设各器件损坏与否相互独立），任取5只，问其中至少有2只寿命大于
1500小时的概率是多少？
x?0?0,?17.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??ax2,0?x?1，求：（1）系数a；（2）
?1,x?1?（3）密度函数f(x)。 p{0.3?X?0.7}；
18.设(X,Y)的联合分布为下表
X Y 0 1 0 0.1 0.8 1 0.1 0 （1）求X,Y的边缘分布；（2）判别X,Y是否独立。
19.设二维随机变量(X,Y)只能取数组?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?的值，且取这
??1?3?1115些组值的概率依次为,,,，写出(X,Y)的联合分布列并求出X,Y的边缘
631212分布。
20.已知随机变量X,Y的分布列分别为
X -1 1/4 0 1/2 1 1/4p
Y 0 1/2 1 1/2p且p{XY?0}?1，求（1）X,Y的联合分布列；（2）X,Y是否独立？为什么？
21.已知二维随机变量(X,Y)的联合联合分布列为
X Y 1 2 0 1/6 1/3 2 1/9 α 3 1/18 β 问当?,?为何值时，X,Y相互独立？
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