线性代数性质定理公式全总结

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时间: 2022-10-15

【综合文库】

概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确

?A可逆 ??r(A)?n??A的列（行）向量线性无关?A的特征值全不为0 A?0????Ax??只有零解 ? ?x??，Ax??????Rn,Ax??总有唯一解?AT?A是正定矩阵 ?A?E??A?p1p2???pspi是初等阵??存在n阶矩阵B,使得AB?E 或 AB?E注：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间. ?A不可逆 ?r(AA?0???)?n?A的列（行）向量线性相关 ??0是A的特征值??Ax??有非零解,其基础解系即为A关于??0的特征向量?r(aE?bA)?n注 aE?bA?????(aE?bA)x??有非零解 ???=-ab1

○

向量组等价??矩阵等价(?)?具有?反身性、对称性、传递性 ????矩阵相似()?矩阵合同()??√ 关于e1,e2,???,en：

①称为

n的标准基，

n中的自然基，单位坐标向量p教材87；

②e1,e2,???,en线性无关； ③e1,e2,???,en?1； ④trE=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,???,en线性表示.

a11行列式的定义 Dn?a12a22an2a1na2nann?j1j2a21an1?(?1)?(j1j2jnjn)a1j1a2j2anjn

√ 行列式的计算：

①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

②若A与B都是方阵（不必同阶）,则

AOA?AO=??ABOBOB?BOABO=?ABO?(?1)mnAB（拉普拉斯展开式）

③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

?④关于副对角线：

a1na2n?1?OOa2n?1an1a1n?(?1)On(n?1)2a1na2nan1 （即：所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和）

an11x1⑤范德蒙德行列式：x121x22x21xn2?xn1?j?i?n??x?x?

ijx1n?1n?1x2n?1xn?a11?a21矩阵的定义由m?n个数排成的m行n列的表A?????am1?A11?A12?????A1nA21A22A2na12a22am2a1n??a2n?称为m?n矩阵.记作：A??aij?或Am?n

m?n??amn?伴随矩阵 A?Aij*??TAn1??An2?，Aij为A中各个元素的代数余子式. ??Ann?√ 逆矩阵的求法:

主换位?ab?1?d?b?A??1注① A? ○： ? ????

cd?caad?bcA副变号????初等行变换②(AE)?????(EA?1)

?1?a1?③???a2?1?a1??1?????a3????mn1a2????? ???a1??3a3? (A)?(A)

mnmna2?1?a1????????1?a??11a31a2??? ???√ 方阵的幂的性质：AA?Am?n√ 设Am?n,Bn?s,A的列向量为?1,?2,???,?n,B的列向量为?1,?2,???,?s，

则

AB?Cm?s??b11b12?b21b22??1,?2,???,?n?????bn1bn21b1s??b2s???c1,c2,??bns?,cs??A?i?ci ，

(i?1,2,,s)??i为

Ax?ci的解

?A??1,??2,?s??,??A??A,2??s,??AT,,c2,?,???c1?scc?12,,cc,?1,?2,???,?n线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. s可由

同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，A为系数矩阵.

?a11?a21?即： ???an1a12a22an2a1n???1??c1??a11?1?a12?2???????a??a??a2n???2??c2??211222???????????????amn???n??cm??am1?1?am2?2??a1n?2?c1?a2n?2?c2?amn?2?cm

√ 用对角矩阵?左乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；

○○

用对角矩阵?右乘一个矩阵,相当于用?的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.

○○

?AB??AT√ 分块矩阵的转置矩阵：????TCD???B?A?1?A?分块矩阵的逆矩阵：????B????A?1?AC?????OB???O?1?1TCT? T?D??? ??B?1??BA??????1??A?1?1B?1?? ??A?1A?1CB?1?O??AO?????1?1? ??CBB?B?????BCA?A11分块对角阵相乘：A?????B11,B???A22??*??A11B11AB????B22???? ??AB*??B*n?n?A11?,A??A22B22??? n?A22??A??BA*分块对角阵的伴随矩阵：????B???A??????(?1)mnBA???(?1)mnAB???? ?√ 矩阵方程的解法(A?0)：设法化成(I)AX?B或(II)XA?B (I)的解法：构造(AB)?????(EX)

初等行变换(II)的解法：将等式两边转置化为ATXT?BT，用(I)的方法求出X，再转置得XT

① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.