等差数列及其前n项和习题与答案

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第六章第二节

1．{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于() A．40 C．400

B．200 D．20

20?a1＋a20?10?a1＋a10?

解析：选C S20－2S10＝－2× 22＝10(a20－a10)＝100d.又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d. ∴d＝4.∴S20－2S10＝400.故选C.

S3S22．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是()

321

A. 2

C．2

B．1 D．3

n?a1＋an?Sna1＋anS3S2a3a2解析：选C 因为Sn＝，所以＝.由－＝1，得－＝1，即a3－a2

2n23222＝2，所以数列{an}的公差为2.故选C.

3．(2022·临川一中质检)已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()

A．55 C．85

B．70 D．100

解析：选C 由题知a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于ab1＋ab2＋?＋ab10＝ab1＋ab1＋1＋?＋ab1＋9，ab1＝a1＋(b1－1)＝4，∴ab1＋ab1＋1＋?＋ab1＋9＝4＋5＋6＋?＋13＝85，选C.

4．(2022·中原名校联盟摸底考试)若数列{an}通项为an＝an，则“数列{an}为递增数列”的一个充分不必要条件是()

A．a≥0 C．a＞0

B．a＞1 D．a＜0

解析：选B 数列{an}为递增数列，则a＞0，反之a＞0，则数列{an}为递增数列，a＞0是数列{an}为递增数列的充要条件，“数列{an}为递增数列的一个充分不必要条件是a的范围比a＞0小，即包含于a＞0中，故选B.

5．(2022·浙江高考)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()

- 1 -

A．若d<0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d<0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn>0 D．若对任意n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列

d1d

a1－?n.由二次函数解析：选C 设数列{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋n(n－1)d＝n2＋?2??22性质知Sn有最大值时，则d0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－10，d>0，{Sn}必是递增数列，D正确．

Sn2n－3

6．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，

Tn4n－3则

a9a3＋的值为() b5＋b7b8＋b419

A. 41

C. 43

B. 524D. 31

解析：选A ∵{an}，{bn}为等差数列， ∴

a9a3a9a3a9＋a3a6＋＝＋＝＝. 2b6b6b5＋b7b8＋b42b62b6

?a＋a11?

S11212a62×11－319∵＝＝＝＝， T11112b64×11－341

?b＋b11?21a619

∴＝.故选A. b641

7．(2022·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.

解析：10 由题意S9＝S4得a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0. ∴5a7＝0，即a7＝0.

又ak＋a4＝0＝2a7，a10＋a4＝2a7，∴k＝10.

8．(2022·阜宁中学调研)在等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和S5＝________.

15－6解析：90 在等差数列{an}中，由a2＝6，a5＝15易知公差d＝＝3，

3∴an＝a2＋(n－2)d＝3n，∴bn＝a2n＝6n，所以数列{bn}为公差为6的等差数列， 5

所以前5项和S5＝(b1＋b5)，

- 2 -

又易知b1＝6，b5＝30，所以S5＝90.

9．(2022·江苏调研)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的差数列．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.

解析：2n1－2 由已知an＋1－an＝2n，a1＝2得a2－a1＝2,0＝22，?，an－an－1＝2n1，由

＋

－

累加法得an＝2＋2＋2＋?＋2

2n－1

2?1－2n?n＋1

＝2，从而Sn＝＝2－2.

1－2

10．(2022·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a7a14的最大值为________．

20?a1＋a20?解析：25 因为{an}为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以＝100，

2即a1＋a20＝10，

所以a7＋a14＝10.所以a7·a14≤?

a7＋a14?2

?2?＝25，

当且仅当a7＝a14＝5时等号成立．

11．(2022·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25 ，且a1，a11，a13

成等比数列．

(1)求{an}的通项公式； (2)求a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d. 由题意得a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.

又a1＝25，所以d＝－2或d＝0(舍去)．故an＝－2n＋27.

(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋?＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，

所以数列{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列． nn

从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.

12．(2022·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式；

?1?

(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列?b?的前n项和Tn.

?n?

解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，

- 3 -

???6a1＋15d＝60，?d＝2，?则解得? 2?a1?a1＋20d?＝?a1＋5d?，???a1＝5.

∴an＝2n＋3.

(2)由bn＋1－bn＝an，得bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N*)， bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋?＋(b2－b1)＋b1 ＝an－1＋an－2＋?＋a1＋b1 ＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)， ∴bn＝n(n＋2)，n∈N*. 1?111?1

－∴＝＝.

bnn?n＋2?2?nn＋2?111111

∴Tn＝?1－3＋2－4＋?＋n－n＋2?

2??11?3n2＋5n1?3

＝2－n＋1－n＋2＝2??4?n＋1??n＋2?. 1?n－1*13．(2022·济宁模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－?＋2(n∈N)，数列{bn}满足?2?bn＝2n·an.

(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝log2

?2?n25

，数列?cc?的前n项和为Tn，求满足Tn<(n∈N*)的n的最大值． an21?nn＋2?

1?n－1

(1)证明：在Sn＝－an－??2?＋2中， 1令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，得a1＝. 21?n－2

当n≥2时，Sn－1＝－an－1－??2?＋2， 1?n－1∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋??2?， 1?n－1即2an＝an－1＋??2?. ∴2n·an＝2n1·an－1＋1.

－

∵bn＝2n·an，∴bn＝bn－1＋1.

又b1＝2a1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． n于是bn＝1＋(n－1)·1＝n，∴an＝n.

(2)解∵cn＝log2＝log22n＝n.

an∴

2211＝＝－. cncn＋2n?n＋2?nn＋2

- 4 -

11?111

1－?＋?－?＋?＋?n－∴Tn＝?n＋2 ?3??24?

111

＝1＋－－.

2n＋1n＋2

2511125

由Tn＜，得1＋－－<，

212n＋1n＋221即

111311＋>，f(n)＝＋单调递减， n＋1n＋242n＋1n＋2

91113∵f(3)＝，f(4)＝，f(5)＝，

202242∴n的最大值为4.

1.(2022·石家庄模拟)已知数列{an}(n∈N*)中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}

5an－1

满足bn＝(n∈N*)，则关于数列{bn}的判断正确的是()

an－1

A．数列{bn}一定是等差数列 B．数列{bn}一定是等比数列

C．数列{bn}可以是等差数列，也可以是等比数列 D．数列{bn}既不是等差数列，也不是等比数列

111

解析：选A 因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝，所以当n≥2时，bn－bn－1＝

an－1an－1an－1－

＝an－1－1?

an－111115

－＝－＝1，又b1＝＝－，所以数列{bn}

1?2an－1－1an－1－1an－1－1a1－12－－1a

n－1

是以－为首项，1为公差的等差数列，选A.

2．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，→→

Q(2 011，a2 011)，则OP·OQ等于()

A．2 011 C．0

B．－2 011 D．1

解析：选A 方法一：由已知S21＝S4 000，则a22＋a23＋?＋a4 000＝0，设数列{an}的公差3 979?a22＋a4 000?为d，则＝0，又a22＋a4 000＝2a2 011，所以a2 011＝0，

→→∴OP·OQ＝2 011＋an·a2022＝2 011

方法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S21＝S4 000，且等差数列前n项和公式可看成二4 020×4 019次函数，所以由对称性可得S1＝S4 020，则有a1＝4 020a1＋d，整理得a2 011＝0，所

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