【教育文库】
由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】当被积函数为两多项式的商
P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q(x)在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分
两个多项式的商
P?x?称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式P?x? Q?x?与分母多项式Q?x?之间无公因式，当分子多项式P?x?的次数小与分母多项式Q?x?，称有理式为真分式，否则称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
3x4?2x2例1.1?dxx2?13x2?x2?1??x2解 原式??dxx2?1x22 ??3xdx??2dxx?11?? ?3?x2dx???1?2?dx?x?1?1 ?3?x2dx??dx??2dxx?1 ?x3?x?arctanx?C
2x4?x2?3dx 例1.2 ?2x?1解 原式??2x2?x2?1??3?x2x?122dx
1x2 ?2?xdx?3?2dx??2dx
x?1x?1 1
?23x?4arctanx?x?C 3总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：
x21??dx?1??dx 2?x2?1???x?1?对于真分式
P?x?，若分母可分解为两个多项式乘积Q?x?=Q1?x?Q2?x?，且Q1?x?，Q?x?P?x?P?x??P2?x?，上述过程称为
?1Q?x?Q1?x?Q2?x?Q2?x?无公因式，则可拆分成两个真分式之和：
把真分式化为两个部分分式之和.若Q1?x?或Q2?x?再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、式的积分容易求的
P1?x??x?a?k、
P2?x??x2?px?q?l等三类函数，则多项
2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分
(ax?b)mdx 2.1 类型一 ?kcx例2.1.1
??x?1?x23dx
x3?3x2?3x?1解 原式=?dx 2x11 =?xdx?3?dx?3?dx??2dx
xx11 =x2?3x?3Inx??C
2x总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二 ?cxk?ax?b?mdx
2
例2.2.1
??x?2?dx
3x2解 令x+2=t,则x?t?2，?有dx?dt
原式=?dxt3t2?4t?4 =?dt3t111=?dt?4?2dt?4?3dtttt42 =Int+-2+Ctt42 =Inx?2???Cx?2?x?2?2总结：当被积函数形如时解法求解
?t?2?2??ax?b?cxkm(ax?b)mdx，将其用换元法转换为?dx，再按照后者kcx2.3类型三
?P?x??ax2?bx?c?ldx
3
例2.3.1 ? 原式=?x3?x2?2x?2?222dxx3??x?1??1???设 x-1=tant,x=tant+1,dx=set2tdt 上式=?dt?1+tant?23setttan3t?3tan2t?3tant?1 =?dt2sett =??sin3tcos?1t?3sintcost?3sin2t?cos2t?dt=-??1?cos2t? costd?cost?+3sin2tdt??dt??cos2tdt?4 set2tdt1 =-Incost+cos2t+2t+2sintcost21?tant=x-1,?cost=,sint=2?x?1??1x?1?x?1?2 ?1112x?2
?上式=Inx2?2x?2?2?2arctan?x?1??2?C22x?4x?4x?2x?2例2.3.2?x?1dxx?2x?321?2x?2??22=?2 dxx?2x?3111=?2 d?x2?2x?3?-2?dx 22x?2x?3?x?1??21?x?1?= Inx2?2x?3-2arttan??+C 2?2?总结：当被积函数分母含有ax2+bx+c时，可以用凑微分法进行积分 ；对于形如?ax2?bx+c?时，l可将其变形为T2?x?+1或者是1-T2?x?,然后利用三角函数恒等变形sin2x+cos2x=1和1+tan2x=set2x将T2?x?降次，便于计算 .3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
4
例3.1?2x+3dxx2?3x?102x+3解法1?2dxx?3x?101 =?2d?x2?3x?10?x?3x?10 =Inx2?3x?10+C解法2 ?2x+3dxx2?3x?102x+32x+3AB2==+x?3x?10?x+5??x?2?x?5x?2=?A?B?x?5B?2A?1?1x?5x?2?x?5??x?2?1??1 ?原式=????dxx?5x?2?? =Inx2?3x?10+C
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公
式进行运算.
x?2dx?2例3.2?2x?1??x?x?1?
x?2?原式=???2?dx2x?1x?x?1??112x?1???12dx=?d?2x?1?-?222x?1x?x?1
111112=?d?2x?1???2d?x?x?1???dx22x?12x?x?12?1?3x????2??4111??=In2x?1-Inx2?x?1+arctan?x??+C22?3?
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3
x?3??x?1??x2?1?dx
5
=?x?3?x?1??x?1?2dx1??x?2???2??dx?x?2x?1x?1??1?2x?2?1???2?1?dx??2 ?dx??x?2x?1x?1????1111??2d?x2?2x?1???dx?dx2?2x?2x?1x?1?x?1??Inx?11??Cx?1x?1总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：
1+sinxdx.例如被积函数中含有?sinx?1?cosx?nax?b或nax?bdx1?x时用换元法将根号去掉，例：?.虽然形式dx，?3cx?d1?x?1x1?x各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起
来应当是信手拈来，甚是轻松
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