九年级数学上册期末试卷附答案

　　九年级数学期末考试就到了，考试是检测学习成效的重要手段，孰能生巧，考前一定要多做多练。以下是小编为你整理的九年级数学上册期末试卷，希望对大家有帮助!

　　九年级数学上册期末试题

　　一、选择题

　　1.与是同类二次根式的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　2.方程x2=2x的解是(　　)

　　A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=±

　　3.从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是(　　)

　　A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB

　　5.如图：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(﹣2，0)，顶点是(1，3).下列说法中不正确的是(　　)

　　A.抛物线的对称轴是x=1

　　B.抛物线的开口向下

　　C.抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)

　　D.当x=1时，y有最大值是3

　　6.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0，下列说法正确的是(　　)

　　A.当k=0时，方程无解

　　B.当k=1时，方程有一个实数解

　　C.当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

　　D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

　　7.如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA= ，则下列结论正确的有(　　)

　　①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD= cm.

　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

　　8.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于(　　)

　　A.2：5 B.14：25 C.16：25 D.4：21

　　二、填空题

　　9.当x　　时，在实数范围内有意义.

　　10.已知四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b= ，c= ，则d=　　.

　　11.在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=　　.

　　12.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为　　.

　　13.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为　　cm，面积为　　cm2.

　　14.共青团x委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图所示)，若设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为　　.

　　15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B、C重合)，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时，BD的长为　　.

　　三、解答题(共75分)

　　16.(7分)计算：4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2.

　　17.(7分)用配方法解方程：x2+4x﹣1=0.

　　18.(9分)如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.

　　(1)求证：△CDF∽△BGF;

　　(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.

　　19.(10分)如图，一条抛物线经过(﹣2，5)，(0，﹣3)和(1，﹣4)三点.

　　(1)求此抛物线的函数解析式.

　　(2)假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，试判断△OCB的形状.

　　20.(10分)如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，己知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字， ≈1.732)

　　21.(10分)为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：

　　每千克售价(元) 25 24 23 … 15

　　每天销售量(千克) 30 32 34 … 50

　　如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：

　　(1)求y与x之间的函数解析式;(不写定义域)

　　(2)若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元?

　　22.(11分)阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.

　　小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2).

　　请回答：∠ACE的度数为　　，AC的长为　　.

　　参考小腾思考问题的方法，解决问题：

　　如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.

　　23.(11分)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点P(t，0)在x轴上，B是线段PA的中点.将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC.

　　(1)判断△PBC的形状，并简要说明理由;

　　(2)当t>0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求出相应的t的值?若不能，请说明理由;

　　(3)当t为何值时，△AOP与△APC相似?

　　九年级数学上册期末试卷答案与解析

　　一、选择题

　　1.与是同类二次根式的是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】同类二次根式.

　　【分析】根据同类二次根式的定义进行选择即可.

　　【解答】解：A、与不是同类二次根式，故错误;

　　B、 =3与不是同类二次根式，故错误;

　　C、 =3 与不是同类二次根式，故错误;

　　D、 = 与是同类二次根式，故正确;

　　故选D.

　　【点评】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键.

　　2.方程x2=2x的解是(　　)

　　A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=±

　　【考点】解一元二次方程-因式分解法.

　　【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.

　　【解答】解：方程变形得：x2﹣2x=0，

　　分解因式得：x(x﹣2)=0，

　　解得：x1=0，x2=2.

　　故选C

　　【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

　　3.从1，2，3，4这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是(　　)

　　A. B. C. D.

　　【考点】概率公式.

　　【分析】列举出所有情况，看能被3整除的数的情况占总情况的多少即可.

　　【解答】解：第一个数字有4种选择，第二个数字有3种选择，易得共有4×3=12种可能，而被3整除的有4种可能(12、21、24、42)，所以任意抽取两个数字组成两位数，则这个两位数被3整除的概率为 = ，故选A.

　　【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)= .

　　4.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是(　　)

　　A.b=a•sinB B.a=b•cosB C.a=b•tanB D.b=a•tanB

　　【考点】锐角三角函数的定义.

　　【分析】根据三角函数的定义即可判断.

　　【解答】解：A、∵sinB= ，∴b=c•sinB，故选项错误;

　　B、∵cosB= ，∴a=c•cosB，故选项错误;

　　C、∵tanB= ，∴a= ，故选项错误;

　　D、∵tanB= ，∴b=a•tanB，故选项正确.

　　故选D.

　　【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

　　5.如图：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的一个交点是(﹣2，0)，顶点是(1，3).下列说法中不正确的是(　　)

　　A.抛物线的对称轴是x=1

　　B.抛物线的开口向下

　　C.抛物线与x轴的另一个交点是(2，0)

　　D.当x=1时，y有最大值是3

　　【考点】二次函数的性质.

　　【分析】根据二次函数的性质，结合图象，逐一判断.

　　【解答】解：观察图象可知：

　　A、∵顶点坐标是(1，3)，

　　∴抛物线的对称轴是x=1，正确;

　　B、从图形可以看出，抛物线的开口向下，正确;

　　C、∵图象与x轴的一个交点是(﹣2，0)，顶点是(1，3)，

　　∴1﹣(﹣2)=3，1+3=4，

　　即抛物线与x轴的另一个交点是(4，0)，错误;

　　D、当x=1时，y有最大值是3，正确.

　　故选C.

　　【点评】主要考查了二次函数的性质，要会根据a的值判断开口方向，根据顶点坐标确定对称轴，掌握二次函数图象的对称性.

　　6.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0，下列说法正确的是(　　)

　　A.当k=0时，方程无解

　　B.当k=1时，方程有一个实数解

　　C.当k=﹣1时，方程有两个相等的实数解

　　D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解

　　【考点】根的判别式;一元一次方程的解.

　　【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可.

　　【解答】解：关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0，

　　A、当k=0时，x﹣1=0，则x=1，故此选项错误;

　　B、当k=1时，x2﹣1=0方程有两个实数解，故此选项错误;

　　C、当k=﹣1时，﹣x2+2x﹣1=0，则(x﹣1)2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确;

　　D、由C得此选项错误.

　　故选：C.

　　【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键.

　　7.如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA= ，则下列结论正确的有(　　)

　　①DE=6cm;②BE=2cm;③菱形面积为60cm2;④BD= cm.

　　A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

　　【考点】解直角三角形.

　　【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，运用验证法，逐个验证从而确定答案.

　　【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，

　　∴AD=AB=BC=CD=10.

　　∵DE⊥AB，垂足为E，

　　sinA= = = ，

　　∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm.

　　∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2.

　　在三角形BED中，

　　BE=2cm，DE=6cm，BD=2 cm，∴①②③正确，④错误; =2

　　∴结论正确的有三个.

　　故选C.

　　【点评】此题看上去这是一道选择题实则是一道综合题，此题考查直角三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解.

　　8.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于(　　)

　　A.2：5 B.14：25 C.16：25 D.4：21

　　【考点】翻折变换(折叠问题).

　　【分析】在Rt△BEC中利用勾股定理计算出AB=10，根据折叠的性质得到AD=BD=5，EA=EB，设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，在Rt△BEC中根据勾股定理计算出x= ，则EC=8﹣ = ，

　　利用三角形面积公式计算出S△BCE= BC•CE= ×6× = ，在Rt△BED中利用勾股定理计算出ED= = ，利用三角形面积公式计算出S△BDE= BD•DE= ×5× = ，然后求出两面积的比.

　　【解答】解：在Rt△BAC中，BC=6，AC=8，

　　∴AB= =10，

　　∵把△ABC沿DE使A与B重合，

　　∴AD=BD，EA=EB，

　　∴BD= AB=5，

　　设AE=x，则BE=x，EC=8﹣x，

　　在Rt△BEC中，∵BE2=EC2+BC2，即x2=(8﹣x)2+62，

　　∴x= ，

　　∴EC=8﹣x=8﹣ = ，

　　∴S△BCE= BC•CE= ×6× = ，

　　在Rt△BED中，∵BE2=ED2+BD2，

　　∴ED= = ，

　　∴S△BDE= BD•DE= ×5× = ，

　　∴S△BCE：S△BDE= ： =14：25.

　　故选B.

　　【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等.也考查了勾股定理.

　　二、填空题

　　9.当x　> 　时，在实数范围内有意义.

　　【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件.

　　【分析】本题考查了代数式有意义的x的取值范围.一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0;偶次根式被开方数大于或等于0;当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分.

　　【解答】解：由分式的分母不为0，得2x﹣3≠0，即x≠ ，

　　又因为二次根式的被开方数不能是负数，所以有2x﹣3≥0，得x≥ ，

　　所以，x的取值范围是x> .

　　故当x> 时，在实数范围内有意义.

　　【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数.易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母的不等于0混淆.

　　10.已知四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b= ，c= ，则d=　　.

　　【考点】比例线段.

　　【分析】根据题意列出比例式，再根据比例的基本性质，易求d的值.

　　【解答】解：∵四条线段a，b，c，d成比例，并且a=2，b= ，c= ，

　　∴a：b=c：d，即2： = ：d，

　　解得d= ，

　　故答案为 .

　　【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用了两内项之积等于两外项之积.

　　11.在一个陡坡上前进5米，水平高度升高了3米，则坡度i=　　.

　　【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

　　【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的距离：水平方向前进的距离，即可解题.

　　【解答】解：如图所示：AC=5米，BC=3米，

　　则AB= = =4(米)，

　　则坡度i= = .

　　故答案为：3：4.

　　【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比.

　　12.如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为　　.

　　【考点】旋转的性质;解直角三角形.

　　【分析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据旋转性质可知，∠B′=∠B，把求tanB′的问题，转化为在Rt△BCD中求tanB.

　　【解答】解：过C点作CD⊥AB，垂足为D.

　　根据旋转性质可知，∠B′=∠B.

　　在Rt△BCD中，tanB= = ，

　　∴tanB′=tanB= .

　　故答案为 .

　　【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等;三角函数的定义及三角函数值的求法.

　　13.两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，若较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，则较小三角形的周长为　14　cm，面积为　　cm2.

　　【考点】相似三角形的性质.

　　【分析】由两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，可得此相似三角形的相似比为：6：18=1：3;即可得此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，又由较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，即可求得答案.

　　【解答】解：∵两个相似三角形对应的中线长分别是6cm和18cm，

　　∴此相似三角形的相似比为：6：18=1：3;

　　∴此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9，

　　∵较大三角形的周长是42cm，面积是12cm2，

　　∴较小三角形的周长为：42× =14(cm)，面积为：12× = (cm2).

　　故答案为：14， .

　　【点评】此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意掌握相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比;相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比.相似三角形的面积的比等于相似比的平方.

　　14.共青团x委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长30cm、宽20cm的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等(如图所示)，若设彩纸的宽度为xcm，则列方程整理成一般形式为　x2+25x﹣150=0　.

　　【考点】由实际问题抽象出一元二次方程.

　　【分析】设彩纸的宽度为xcm，则镶上宽度相等的彩纸后长度为30+2x，宽为20+2x，它的面积等于原来面积的2倍，由此列出方程.

　　【解答】解：设彩纸的宽度为xcm，

　　则由题意列出方程为：(30+2x)(20+2x)=2×30×20.

　　整理得：x2+25x﹣150=0，

　　故答案为：x2+25x﹣150=0.

　　【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，变形后的面积是原来的2倍，列出方程即可.

　　15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3.点D是BC边上的一动点(不与点B、C重合)，过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处.当△AEF为直角三角形时，BD的长为　1或2　.

　　【考点】翻折变换(折叠问题);含30度角的直角三角形;勾股定理.

　　【分析】首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案.

　　【解答】解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，

　　∵DE⊥BC，

　　∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，

　　∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，

　　∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，

　　∴AC=BC•tan∠B=3× = ，∠BAC=60°，

　　如图①若∠AFE=90°，

　　∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

　　∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，

　　∴∠FAC=∠EFD=30°，

　　∴CF=AC•tan∠FAC= × =1，

　　∴BD=DF= =1;

　　如图②若∠EAF=90°，

　　则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，

　　∴CF=AC•tan∠FAC= × =1，

　　∴BD=DF= =2，

　　∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2.

　　【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题.此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.

　　三、解答题(共75分)

　　16.计算：4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2.

　　【考点】特殊角的三角函数值;绝对值;零指数幂;负整数指数幂;二次根式的性质与化简.

　　【分析】按照实数的运算法则依次计算：cos30°= ，| ﹣2|= ，( )0=1， =3 ，(﹣ )﹣2=9.

　　【解答】解：4cos30°﹣| ﹣2|+( )0﹣ +(﹣ )﹣2

　　= (5分)

　　=8.(6分)

　　【点评】本题重点考查了实数的基本运算能力.涉及知识：负指数为正指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1;绝对值的化简;二次根式的化简.

　　17.用配方法解方程：x2+4x﹣1=0.

　　【考点】解一元二次方程-配方法.

　　【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可.

　　【解答】解：方程变形得：x2+4x=1，

　　配方得：x2+4x+4=5，即(x+2)2=5，

　　开方得：x+2=± ，

　　解得：x1=﹣2+ ，x2=﹣2﹣ .

　　【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

　　18.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.

　　(1)求证：△CDF∽△BGF;

　　(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.

　　【考点】相似三角形的判定;三角形中位线定理;梯形.

　　【分析】(1)利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF.

　　(2)根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则CD=BG，只要求出BG的长即可解题.

　　【解答】(1)证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，

　　∴∠CDF=∠G，∠DCF=∠GBF，(2分)

　　∴△CDF∽△BGF.

　　(2)解：由(1)△CDF∽△BGF，

　　又∵F是BC的中点，BF=FC，

　　∴△CDF≌△BGF，

　　∴DF=GF，CD=BG，(6分)

　　∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，

　　∴E为AD中点，

　　∴EF是△DAG的中位线，

　　∴2EF=AG=AB+BG.

　　∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，

　　∴CD=BG=2cm.(8分)

　　【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂.

　　19.(10分)(2016秋•xxx期末)如图，一条抛物线经过(﹣2，5)，(0，﹣3)和(1，﹣4)三点.

　　(1)求此抛物线的函数解析式.

　　(2)假如这条抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，试判断△OCB的形状.

　　【考点】抛物线与x轴的交点;待定系数法求二次函数解析式.

　　【分析】(1)待定系数法求解可得;

　　(2)分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案.

　　【解答】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

　　将(﹣2，5)，(0，﹣3)和(1，﹣4)三点代入，

　　得：，

　　解得：，

　　∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;

　　(2)令y=0，即x2﹣2x﹣3=0，

　　解得：x=﹣1或x=3，

　　∴抛物线与x轴的两个交点为(﹣1，0)、(3，0)，

　　∵c=﹣3，

　　∴抛物线与y轴的交点为(0，﹣3)，

　　∴OB=OC，

　　∴△OCB是等腰直角三角形.

　　【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

　　20.(10分)(2012•苏州模拟)如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：，且AB=30m，李亮同学在大堤上A点处用高1.5m的测量仪测出高压电线杆CD顶端D的仰角为30°，己知地面BC宽30m，求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字， ≈1.732)

　　【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

　　【分析】由i的值求得大堤的高度AE，点A到点B的水平距离BE，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD.

　　【解答】解：延长MA交直线BC于点E，

　　∵AB=30，i=1：，

　　∴AE=15，BE=15 ，

　　∴MN=BC+BE=30+15 ，

　　又∵仰角为30°，

　　∴DN= = =10 +15，

　　CD=DN+NC=DN+MA+AE=10 +15+15+1.5≈17.32+31.5≈48.8(m).

　　【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度.

　　21.(10分)(2013•闸北区二模)为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：

　　每千克售价(元) 25 24 23 … 15

　　每天销售量(千克) 30 32 34 … 50

　　如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：

　　(1)求y与x之间的函数解析式;(不写定义域)

　　(2)若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元?

　　【考点】一元二次方程的应用;一次函数的应用.

　　【分析】(1)利用表格中的数据得到两个变量的对应值，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可;

　　(2)设这一天每千克的销售价应定为x元，利用总利润是200元得到一元二次方程求解即可.

　　【解答】解：(1)设y=kx+b (k≠0)，将(25，30)(24，32)代入得：…(1分)

　　解得：，

　　∴y=﹣2x+80.

　　(2)设这一天每千克的销售价应定为x元，根据题意得：

　　(x﹣15)(﹣2x+80)=200，

　　x2﹣55x+700=0，

　　∴x1=20，x2=35.

　　(其中，x=35不合题意，舍去)

　　答：这一天每千克的销售价应定为20元.

　　【点评】本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，列方程及函数关系式的关键是找到等量关系.

　　22.(11分)(2014•北京)阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长.

　　小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决(如图 2).

　　请回答：∠ACE的度数为　75°　，AC的长为　3　.

　　参考小腾思考问题的方法，解决问题：

　　如图 3，在四边形 ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求BC的长.

　　【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;解直角三角形.

　　【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角形的判定，可得AE=AC，根据正切函数，可得DF的长，根据直角三角形的性质，可得AB与DF的关系，根据勾股定理，可得答案.

　　【解答】解：∠ABC+∠ACB=∠ECD+∠ACB=∠ACE=180°﹣75°﹣30°=75°，

　　∠E=75°，BD=2DC，

　　∴AD=2DE，

　　AE=AD+DE=3，

　　∴AC=AE=3，

　　∠ACE=75°，AC的长为3.

　　过点D作DF⊥AC于点F.

　　∵∠BAC=90°=∠DFA，

　　∴AB∥DF，

　　∴△ABE∽△FDE，

　　∴ =2，

　　∴EF=1，AB=2DF.

　　在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°，

　　∴∠ACD=75°，AC=AD.

　　∵DF⊥AC，

　　∴∠AFD=90°，

　　在△AFD中，AF=2+1=3，∠FAD=30°，

　　∴DF=AFtan30°= ，AD=2DF=2 .

　　∴AC=AD=2 ，AB=2DF=2 .

　　∴BC= =2 .

　　【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理.

　　23.(11分)(2016秋•xxx期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点P(t，0)在x轴上，B是线段PA的中点.将线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，连结OB、BC.

　　(1)判断△PBC的形状，并简要说明理由;

　　(2)当t>0时，试问：以P、O、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形?若能，求出相应的t的值?若不能，请说明理由;

　　(3)当t为何值时，△AOP与△APC相似?

　　【考点】相似形综合题.

　　【分析】(1)根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形.

　　(2)根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP2=2OB2，即t2=2( t2+1)，求出符合题意的t的值，即可得出答案;

　　(3)根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当 = = 时和 = = 时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可.

　　【解答】解：(1)△PBC是等腰直角三角形，理由如下：

　　∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，

　　∴PB=PC，

　　∵B是线段PA的中点，

　　∴∠BPC=90°，

　　∴△PBC是等腰直角三角形.

　　(2)当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形.

　　∵∠OBP=∠BPC=90°，

　　∴OB∥PC，

　　∵B是PA的中点，

　　∴OB= AP=BP=PC，

　　∴四边形POBC是平行四边形，

　　当OB⊥BP时，有OP= OB，即OP2=2OB2，

　　∴t2=2( t2+1)，

　　∴t1=2，t2=﹣2(不合题意)，

　　∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形.

　　(3)由题意可知，∠AOP=∠APC=90°，

　　当 = = 时，

　　△AOP∽△APC，

　　此时OP= OA=1，

　　∴t=±1，

　　当 = = 时，

　　△AOP∽△CPA，

　　此时OP=2OA=4，

　　∴t=±4，

　　∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似.

　　【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解.