数学小论文百分数(一)
基于“数学现实”的自主建构
──“百分数的意义”教学探讨和设计
摘要：根据数学知识的内在联系和结构以及学生的“数学现实”，“百分数的意义”的教学不应通过各种方式引导学生去发现百分数、创造百分数，而要引导学生借助具有现实意义的素材和数学活动经验，探寻百分数和相关数学知识之间的内在联系，自主建构百分数的意义，在知识建构的过程中感受百分数在生产、生活中的广泛应用。
关键词：数学现实 自主建构 概念获得
“百分数”是数学知识概念体系中的一个基本概念，各种版本的小学数学教材都把《认识百分数》作为一个独立单元，在学生掌握了整数、小数、分数概念的基础上进行设计编排。其中“百分数的意义”又是这一单元中的重要内容。百分数意义的教学，教师在密切关注数学知识和学生生活常识之间关系的同时，必须根据数学知识的内在联系和结构有效地组织教学。下面试结合自己对百分数意义内容的理解对其教学思路和方式进行一些不成熟的探讨。
一、对“百分数的意义”传统教学思路的分析
经过对众多优秀课例进行分析，我发现基本上都是按照这样的思路来进行设计和实施教学：为了“比较”，需要用分数形式表示两个量的比率→为了便于“比较”，需要用分母是100的分数表示→概括百分数的含义→比较与应用中深化理解。
上述思路，教师在教学设计和教学过程中主要围绕“为什么要用比率表示？为什么要用分母是100的分数形式表示？百分数的含义是什么？”等问题展开。特别是围绕前两个问题大花笔墨，大做文章，进行细节性地深入挖掘和创新，尤其是课程改革以后，许多研究课、评优课为了充分体现“数学和生活的联系、实施探究性学习”等理念，从现实生活、生产实际中选择素材，围绕“为什么要用比率表示”这一问题挖掘很深很细。整个学习过程使人感觉学生好像经历了知识的发生、形成过程，主动地创造
了百分数，“科学探究味”很浓。
然而对具体的教学活动深入地观察和分析，我们就会发现，这种教学思路下的教学活动可以说是教师步步为营，生拉硬拽，刻意强加给学生的成分较浓。这一教学思路所呈现出的主要困惑或者说主要问题有：第一，为了便于“比较”，难道一定要用分母是100的分数表示？现实问题中难道用100作分母一定是最合适的？十分数、千分数在一定范围内不是也有较多运用吗？这应该是一种规定，是不需要由学生探究得出的。第二，每个学生在生活中或多或少接触到百分数，甚至对百分数已经有了一定的了解，难道我们的教学应该忽略学生的生活经验来实施教学吗？第三，通过较长时间的探究过程以及教师的讲解，学生虽然知道了百分数的定义，但并没有真正建立百分数和相关数学知识的实质性联系，针对“百分数和分数的联系与区别”这一本质问题，教师还要再花大量的时间引导学生结合具体的情境去讨论和分析，而不是在概念的获得过程中迎刃而解。第四，揭示百分数定义前的长时间的看似经历知识的发生、形成过程的“探究”学习活动，其实仅仅只是使学生知道了使用百分数在现实生产、生活中有利于进行统计和比较，而不是引导学生真正“数学地”地建构这一概念，把握其本质。
在上述貌似“科学探究”思路的教学中，教师过多关注了在生活、生产中为了进行比较引入比率，为了便于比较“产生”了百分数，也就是说过分注重引导学生经历知识的发生、形成过程，然而这些对于学生建构百分数的意义却又都是外在的、非本质的，没有更多切实的帮助。新课程倡导“自主、合作、探究”学习方式，在教学中如何根据数学知识特点和学生的“数学现实”，科学合理地引导学生开展探究性学习是值得我们深入思考的。并不是说学生只要探究了，教学就一定是有效的；并不是说学生原原本本地经历数学知识发生、形成的过程，教学才一定是有效的。
二、对“百分数的意义”教学再设计的理性分析
学生是否能够有效地自主建构百分数的意义，取决于教师对“百分数”
这一概念及其与相关知识联系的理解，取决于教师对学生生活经验的把握，以及学生自主建构获得概念的主要方式的认识。显然，必须从学生自己的“数学现实”（即已经拥有学习“百分数”相关的数学知识基础、数学生活经验和数学活动经验）出发，引导他们通过一系列数学活动自主建构百分数的意义，调整和完善数学认知结构。
1、对“百分数”的理解和分析。
关于百分数概念的表述，相关算术理论书籍以及一些字典、词典和辞海中的表述基本上是大同小异。其中由xxx中等师范学校教材编写组编，江苏教育出版社出版的1987版《小学数学基础理论》一书中对分数和百分数的定义和表述较为详细和系统，摘录如下：
形如m/n（m、n都是自然数，且n﹥1）的数叫做分数。
分母是10n（n∈N）的分数叫做十进分数。
n=2时的十进分数，当它表示“一个数是另一个数的百分之几”时，通常写成“R﹪”的形式，这就叫做百分数，又叫做百分比或百分率。
n=3时的十进分数，当它表示“一个数是另一个数的千分之几”时，通常写成“P‰”的形式，这叫做千分数，又叫做千分率。
农业生产中的“成数”，交易中的打折扣，都是分母为10的十进分数，也叫做十分数。十分数的性质与百分数一样。
分数起源于测量和均分，在运用分数时，一般可以这样理解分数的实际含义：一是，把单位“1”平均分成n份，表示含有m个这样的一份。（小学数学课本中就是根据这种含义来定义分数的。）二是，把m个单位平均分成n份，表示这样的一份的数。由此可得分数与除法的关系：m÷n=m/n。 上述对分数和百分数定义的表述比较清晰地诠释了百分数的内涵、外延以及与分数的关系。十进分数集是分数集的子集，百分数集又是十进分数的子集。相对来说分数是“上位概念”,百分数是“下位概念”。分数既可以表示一个具体的数，又可以表示两个数之间的倍比关系。而任何一个分母为100的分数要成为百分比（百分率），都需要一定条件，没有任何条件和
语言环境的分母是100的分数一定不是百分比（百分率），就一定不能表示谁是谁的百分之几。百分数在分数概念的基础上增加的内涵是：一是它必须是十进分数并且分母必须是100；二是这个分数是表示两个同类量的倍比关系。
百分数单独作为一个概念凸现了其实际意义以及与分数的联系和区别。百分数都是以1﹪作单位，利于进行比较分析，因而在生产生活中进行调查统计、分析比较时得到了广泛应用，十分数、千分数在现实生活中也有较多运用。百分数的书写形式以及使用是一种规定，在国际上是统一的。同时，学生在现实生活中也经常接触到百分数，对百分数已经有了一定的了解。由此，“百分数”这一概念的教学没必要通过多种方式引导学生去发现和创造，而是要重视数学知识之间的逻辑联系，帮助学生形成合理的认知结构。
2、对学生自主建构“百分数”方式的分析。
百分数意义的教学究其实质是属于概念教学范畴。学生获得数学概念一般有两种基本形式：一是概念的形成，就是从大量的具体例子出发,归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。它是由特殊到一般，由具体到抽象的过程，实质上是对具体事物本质属性的概括，比较接近人类自发形成概念的过程。二是概念的同化，是学生主动利用认知结构中原有的相关概念来理解、接纳新概念的过程。它较多地依赖于原有的概念，当学生具备适当的数学概念，认知水平达到一定程度，就可以成为概念获得的主要方式。
根据以上对百分数与分数概念的分析，我们知道，百分数属于分数概念范畴，是分数的下位概念，教材中对“百分数”一般都是这样下定义的：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。（或：像22﹪，28﹪……这样的分数叫做百分数，表示一个数是另一个数的百分之几。）百分数又叫做百分比或百分率。针对这一从属关系非常明确的“属概念加种差”方式定义的下位概念而言，由于学生对分数的意义已经掌握，所以可以说
已经具备了同化新概念的条件。
为了促进学生对数学知识的深刻理解，提高思维和探究能力，学生在建构数学概念时并不是只能选用其中一种方式，更多地是两种方式的相互补充和融合。百分数概念的建构可以根据百分数与分数之间的关系，依据分数的内涵和外延对具有现实语境的分数进行分类，在这一过程中建立百分数和相关数学知识实质性的联系，同时引导学生通过观察、比较、举例等活动，自主概括百分数的意义，体会百分数在现实生活中的广泛应用和作用。这样的教学过程既符合数学知识结构中相关概念的内在联系,又符合小学生的“数学现实”和学生学习概念时由具体到抽象的认知规律；在掌握形式的数学概念背后事实的同时，又能使学生在有限的时间内较快地理解概念所反映的事物的本质属性。
三、“百分数的意义”教学的设计思路与简析
根据数学知识的内在逻辑联系和结构以及学生的“数学现实”，《百分数的意义》的教学不应是通过多种方式引导学生去发现或者创造百分数，而是要引导学生借助具有现实意义的素材和数学活动经验，探寻百分数和相关数学知识之间的内在联系，自主建构百分数的意义，在知识建构的过程中感受百分数在生产、生活中的广泛应用。基于以上思考，我下面试对“百分数的意义”教学的基本过程作一简要的阐述和分析。
1、联系生活，问题导向。
（1）运用媒体或实物呈现含有百分数的生活素材。
如：牛奶包装盒，衣服商标，电脑下载软件的进展对话框，电脑视频的缓冲进度，等等。
（2）提问：上面这些素材提供的信息中有一些我们还没有学过的数，你认识吗？你对它又有哪些了解？
（学生根据生活经验，一般都知道或部分知道这些是百分数。如果学生不知道的话，直接由教师告诉学生这些数是百分数。）
（3）学生举例：现实生活中，你们还在哪里看到过百分数？
浅谈百分数应用题教学
数学来源于生活，生活又充满着数学，现实世界是数学的丰富源泉，小学生学习的数学应是生活中的数学，是学生“自己的数学”。 百分数的认识及其相关应用，百分数广泛应用于生活之中，因此在教学中必须强调联系生活实际，并能活学活用。让学生通过自己生活中的例子进行分析，解决有关数学问题，使他们真正体验到数学的应用和价值，体验到数学学习的乐趣和成就感。
在教学中我从现实世界中寻找数学题材让数学贴近生活。我设计了“甲同学有5元钱，已同学有4元钱，”提了几个问题，（1）甲是已的
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