高中数学教学中数学思想方法的渗透
摘要： 现阶段很多高中学生学不明白高中数学, 大部分学生能看明白教材中的内容, 对于教师讲解的知识也基本都能听明白, 但是一进入考场解题时就会出现很多问题, 其中最主要的原因就是缺乏必要的数学思想方法, 导致学生在考场没有解题思路, 因此, 要求学生灵活掌握数学思想方法是必要的。高中数学思想方法是分析、处理和解决问题的策略, 是高中数学知识体系的精髓与灵魂, 同时也是对高中数学知识最高层次的概括与提炼。在高中数学教学中对思想方法的教学渗透意义重大。
关键词： 高中数学; 思想方法; 教学; 渗透;
高中数学教学的重要任务是让学生能够准确理解数学知识, 并且能够将所学的知识灵活应用, 这就需要高中数学教师在日常教学中要注重数学思想方法的渗透。
一、高中数学七大基本思想方法
1. 函数与方程思想
第一, 函数思想是用变化的观点解决实际问题中的数量关系, 根据具体问题建立相应的函数关系式, 再结合相关的函数知识解决问题的思想。在研究方程、不等式、数列和解析几何等内容时, 把函数思想应用于其中。第二, 方程思想是分析高中数学问题中变量间的相等关系, 解决相关计算问题的基本思想, 高考将函数与方程思想作为重点来考查。
2. 数形结合思想
数学研究的对象就是数与形两个方面, 数形结合的数学思想方法就是根据数与形之间的相互关系, 在处理数学问题时运用数与形之间的彼此互换来解决问题的思想方法。在初中学习的一维空间中, 将实数与数轴上的点建立了一一对应关系;而在学习二维空间中, 又将这种一一对应的关系创立在实数对 (x, y) 与坐标平面上的点;在高中阶段学习了三维空间, 又将数对 (x, y, z) 与空间中的点建立了一一对应的关系。在高考数形结合思想方法应用中, 对数到形的转化的考察主要体现在选择、填空题上, 而对学生推理论证是否严密的考察则是在解答题中体现的, 并且突出形到数的转化考察。
3. 分类与整合思想
分类与整合的思想方法是解决高中数学问题的基本逻辑方法, 对如何选择适合的分类标准, 要根据题目而定。分类与整合思想的本质属性是先分再合, 当教师侧重检查学生数学思维是否严谨与周密时, 就可把分类与整合思想的研究运用在含字母参数的数学题目上。
4. 化归与转化思想
化归与转化思想要求学生在处理数学问题时要具备化繁为简和化难为易的能力。一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化等这些数学思想常用方法在高考中都是检验学生数学素养的重要内容。
5. 特殊与一般思想
在处理数学问题时, 首先应着手特殊问题, 由表及里, 层层深入。从问题的表面现象揭示其本质规律, 并以此由特殊推广到一般, 在解决特殊问题的实践中总结、形成解决一般问题的理论, 解决其他特殊问题时可以加以指导。在近几年的高考中, 对学生特殊与一般思想加大了考查力度。
6. 有限与无限的思想
将对无限的研究转化为对有限的研究, 是解决无限问题的必由之路。当积累了解决无限问题的经验后, 可以将有限的问题转化成无限来解决。在高中阶段立体几何中, 对球的表面积公式和体积公式的推导过程正是运用了这一思想:先对球进行有限次分割, 然后再求和, 求极限。
7. 或然与必然的思想
随机事件的产生是随机的, 而事件产生的频率是不变的, 这要求学生能够在偶然事件中寻找到必然规律, 再用必然规律去解决出现的偶然事件。高中阶段的等可能性事件的概率、互斥事件发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、对立重复试验、随机事件的分布列、数学期望等都是高考的重点考查内容。
二、高中数学思想方法在教学中的渗透
教师想要提高学生的思维能力和解决问题的能力, 在数学教学中就要渗透数学思想方法。教师可以在课堂教学过程中渗透数学思想方法。在讲解数学概念时, 可采用数形结合法, 让学生借助图形的形象直观性来理解概念, 这样做可加深学生对概念的理解。在数学公式的讲解中, 也可以运用数学思想方法。在解题过程中渗透数学思想方法教学, 能提高学生的解题能力, 运用数学思想方法分析和解决问题可以优化解题策略, 提高学生解题速度。
1. 函数与方程的思想方法
方程的思想是通过解析式将变量间的关系表示出来, 函数与方程之间有着必然的联系, 如方程f (x) =0的解就是函数y=f (x) 的图像与x轴的交点的横坐标。高中数学知识系统繁杂, 而其中的一条主线就是函数与方程思想, 函数教学自始至终贯穿高中数学, 也是高考必考内容, 分为高、中、低三个难度档次。
例:当x∈[-2, 1]时, 不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立, 求实数a的取值范围。
本例题在恒成立的条件下求参数a的取值范围, 教学过程中要注意引导学生将参数a分离出来, 这样此问题就转化为求函数在给定区间的最值问题, 然后运用函数单调性及其相关性质求出最值, 此问题也就得以解决。
函数与方程的数学思想是解决高中数学问题的一种很常用的方法, 它主要表现在两个方面:第一, 建立函数关系或者构造出新函数, 将所要求的问题转化为函数的相关性质的问题解决;第二, 利用一些基本初等函数的相关性质解决有关解方程、不等式或求参数取值范围等问题。
2. 数形结合的思想方法
数形结合的思想方法是把抽象的字母和符号与直观的图形结合, 实现数与形间的相互转化。使用数形结合的思想方法既直观又形象, 还可以使很多较难的问题简单化。解决高中数学题目时, 常常会使用数形结合的思想方法。比如, 求函数的最值、解方程等问题。另一方面, 数形结合的思想方法也可以运用到高考中, 尤其是处理某些抽象的选择题与填空题, 在速度与准确率方面比较有优势。
本例题常规的解法是去分母, 将其转化为三角函数的形式, 然后利用三角函数的有界性求出y的范围, 但是, 这种常规方法计算起来很复杂, 计算量很大。因此, 在教学过程中渗透数形结合思想, 将此问题与图形结合起来, 转化为求A (3, 2) 和点B (cos x, -sin x) 所确定的直线的斜率的最值问题来解决, 再结合图形的直观性来分析就更简单了, 这样就将问题简单化了, 既容易理解, 又容易计算。
在运用数形结合的方法解题时, 图形要准确, 这样才能让学生快速准确找到解决问题的方法。当然, 问题的最终解决离不开准确的运算。
3. 分类讨论的思想方法
分类讨论的数学思想方法是教师在教学过程中常常用到的一种重要的方法。教师在日常教学中经常会遇到这样的问题:这些问题并不能进行统一研究, 但是局部和整体之间又有着一定的关系。这样的问题可通过分类讨论的方法按照一定的标准进行分类, 再对每个局部进行研究, 最后综合各类的结果得到整个问题的答案。分类讨论是高中数学思想方法中相当重要的组成部分, 在高考中, 分类讨论这方面的数学问题一直都占据着重要地位。
例:已知函数f (x) =In x+a (1-x) , 讨论f (x) 的单调性。
本题是含有字母参数的函数确定其单调性, 一般要根据字母的取值范围进行分类讨论, 其方法是以函数在定义域内的极值点为分界点, 把定义域划分为若干个区间, 在不同区间上确定导数的符号, 对极值的确定也要根据字母的取值进行讨论。一般地, 如果遇到问题的条件就是分类给出的、问题中含有参数变量、几何问题中位置变化的或以分段形式给出的数学公式等问题时, 要进行分类求解。分类讨论的原则是分类对象确定, 分类标准一致, 做到不重不漏, 最后还要归纳总结出结论。
以上介绍的几种数学思想方法是高中数学中常常用到的数学思想方法, 如果学生能熟练掌握这些数学思想方法, 并能够灵活运用, 一定能提高自己的数学成绩, 从而使高中数学学习变得更加容易。教师在高中数学教学的任何一个环节都应该注重数学思想方法的渗透, 学生掌握好了高中数学思想方法, 一定会受益终生。
参考文献
[1] 高中数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社, 2003.
[2] 罗增儒, 李文铭.数学教学论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2003.
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