注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．函数在区间的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C． D．1
7．在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ）
A． B．AB与平面所成的角为
C． D．与平面所成的角为
8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量，的夹角的余弦值为，且，则_________．
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
A． B． C． D．
9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量，的夹角的余弦值为，且，则_________．
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．
15．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．
16．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．
17. （1）解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）．
18. （1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因平面，
所以；
（2）.
19. （1）；
（2）分布列见解析，.
【解析】依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 | 10 | 20 | 30 | |
0.16 | 0.44 | 0.34 | 0.06 |
期望.
20. （1）；
（2）.
21. 已知函数．
（1）
（2）由题知,一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设
要证,即证
因为,即证
因为,即证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. （1）；
（2）的交点坐标为，，的交点坐标为，．
[选修4-5：不等式选讲]
23.（1）证明：由柯西不等式有，
所以，
当且仅当时，取等号，
所以；
（2）证明：因为，，，，由（1）得，
即，所以，
由权方和不等式知，
当且仅当，即，时取等号，
所以
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