2022年河北中考数学试题及答案
一、选择题（本大题共16个小题．1~10小题每题3分，11~16小题每题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算得，则“？”是（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【详解】，则“？”是2，
故选：C．
2. 如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（）
A. 中线 B. 中位线 C. 高线 D. 角平分线
【答案】D
【详解】解：如图，
∵由折叠的性质可知，
∴AD是的角平分线，
故选：D．
3. 与相等的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：A．
4. 下列正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】解：A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故错误；
D.，故错误；
故选：B．
5. 如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（）
A. B.
C. D. 无法比较与的大小
【答案】A
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，
∴，
故选：A．
6. 某正方形广场的边长为，其面积用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解：面积为：，
故选：C．
7. ①~④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由6个小正方体构成的长方体，则应选择（）
A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④
【答案】D
【详解】解：观察图形可知，①~④的小正方体的个数分别为4，3，3，2，其中②③组合不能构成长方体，①④组合符合题意
故选D
8. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误；
一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误；
三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确；
故选：D．
9. 若x和y互为倒数，则值是（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
10. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．若该圆半径是9cm，∠P＝40°，则的长是（）
A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【详解】解：如图，
PA，PB分别与所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm，
故选：A．
11. 要得知作业纸上两相交直线AB，CD所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案Ⅰ、Ⅱ，说法正确的是（）
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C. Ⅰ、Ⅱ都可行 D. Ⅰ、Ⅱ都不可行
【答案】C
【详解】方案Ⅰ：如下图，即为所要测量的角
∵
∴
∴
故方案Ⅰ可行
方案Ⅱ：如下图，即为所要测量的角
在中：
则：
故方案Ⅱ可行
故选：C
12. 某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若m个人共同完成需n天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】解：依题意，
，
，且为整数．
故选C．
13. 平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形（如图），则d可能是（）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 8
【答案】C
【详解】解：如图，设这个凸五边形，连接，并设，
在中，，即，
在中，，即，
所以，，
在中，，
所以，
观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
14. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（）
A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数
【答案】D
【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8；
从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8；
从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；
5出现次数最多，众数为5；
综上，中位数和众数都没有改变，
故选：D．
15. “曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（）
A. 依题意 B. 依题意
C. 该象的重量是5040斤 D. 每块条形石的重量是260斤
【答案】B
【详解】解：根据题意可得方程；
故选：B．
16. 题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（）
A. 只有甲答的对 B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整 D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
【详解】过点C作于，在上取
∵∠B＝45°，BC＝2，
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC
通过观察得知：
点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；
点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，
点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）；
故选：B
二、填空题（本大题共3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分）
17. 如图，某校运会百米预赛用抽签方式确定赛道．若琪琪第一个抽签，她从1~8号中随机抽取一签，则抽到6号赛道的概率是______．
【答案】
【详解】解：根据题意得：抽到6号赛道的概率是．
故答案为：
18. 如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；
（2）AE＝______．
【答案】 ①. 是 ②. ##
【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，
∴△ACG≌△CFD，
∴∠CAG=∠FCD，
∵∠ACE+∠FCD=90°，
∴∠ACE+∠CAG=90°，
∴∠CEA=90°，
∴AB与CD是垂直的，
故答案为：是；
（2）AB=2，
∵AC∥BD，
∴△AEC∽△BED，
∴，即，
∴，
∴AE=BE=．
故答案为：．
19. 如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．
（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝______；
（2）设甲盒中都是黑子，共个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多______个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有个白子，此时乙盒中有y个黑子，则的值为______．
【答案】 ①. 4 ②. ③. 1
【详解】答题空1：
原甲：10 | 原乙：8 |
现甲：10-a | 现乙：8+a |
依题意：
解得：
故答案为：4
答题空2：
原甲：m | 原乙：2m |
现甲1：m-a | 现乙1：2m+a |
第一次变化后，乙比甲多：
故答案为：
答题空3：
原甲：m黑 | 原乙：2m白 |
现甲1：m黑-a黑 | 现乙1：2m白+a黑 |
现甲2：m黑-a黑+a混合 | 现乙2：2m白+a黑-a混合 |
第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，个黑子
则：
故答案为：1
三、解答题（本大题共7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 整式的值为P．
（1）当m＝2时，求P的值；
（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：∵
当时，
；
【小问2详解】
，由数轴可知，
即，
，
解得，
的负整数值为．
21. 某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．
（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【答案】（1）甲（2）乙
【小问1详解】
解：甲三项成绩之和为：9+5+9=23；
乙三项成绩之和为：8+9+5=22；
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
【小问2详解】
“能力”所占比例为：；
“学历”所占比例为：；
“经验”所占比例为：；
∴“能力”、“学历”、“经验”的比为3：2：1；
甲三项成绩加权平均为：；
乙三项成绩加权平均为：；
所以会录用乙．
22. 发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．验证：如，为偶数，请把10的一半表示为两个正整数的平方和．探究：设“发现”中的两个已知正整数为m，n，请论证“发现”中的结论正确．
【答案】验证：；论证见解析
【详解】证明：验证：10的一半为5，；
设“发现”中的两个已知正整数为m，n，
∴，其中为偶数，
且其一半正好是两个正整数m和n的平方和，
∴“发现”中的结论正确．
【点睛】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键．
23. 如图，点在抛物线C：上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．求点移动的最短路程．
【答案】（1）对称轴为直线，的最大值为4，
（2）5
【小问1详解】
，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，即的最大值为4，
把代入中得：
，
解得：或，
∵点在C的对称轴右侧，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴是由向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到，
平移距离为，
∴移动的最短路程为5．
24. 如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线．嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m．
（1）求∠C的大小及AB的长；
（2）请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1）
【答案】（1），
（2）见详解，约米
【小问1详解】
解：∵水面截线
，
，
，
在中，，，
，
解得．
【小问2详解】
过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示：
水面截线，，
，，
为最大水深，
，
，
，且，
，
，即，即，
在中，，，
，即，
解得，
，
最大水深约为米．
25. 如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出．
①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系；
②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数．
【答案】（1）
（2）①，理由见解析②5
【小问1详解】
解：设直线AB的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴AB所在直线的解析式为；
【小问2详解】
解：，理由如下：
若有光点P弹出，则c＝2，
∴点C（2，0），
把点C（2，0）代入得：
；
∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为；
②由①得：，
∴，
∵点，，AB所在直线的解析式为，
∴线段AB上的其它整点为，
∵有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，
∴直线CD过整数点，
∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即，
当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4，
当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10，
当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在，
当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8，
当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去），
当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2，
当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去），
综上所述，此时整数m的个数为5个．
26. 如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．
（1）求证：△PQM≌△CHD；
（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；
③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．
【答案】（1）见详解（2）①；
②；
③
【小问1详解】
∵，
∴
则在四边形中
故四边形为矩形
，
在中，
∴，
∵
∴；
【小问2详解】
①过点Q作于S
由（1）得：
在中，
∴
平移扫过面积：
旋转扫过面积：
故边PQ扫过面积：
②运动分两个阶段：平移和旋转
平移阶段：
旋转阶段：
由线段长度得：
取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，
过点G作于T
设，则
在中：
设，则，，
，，
∵DM为直径
∴
在中：
在中：
中：
∴，
PQ转过的角度：
s
总时间：
③旋转：
设，和中，
由：
得：
由：
即：
解得：
又∵，
解得：
旋转：
设，在和中，
由：
得：
由：
即：
解得：
又∵，
解得：，
综上所述：．
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