数学建模思想在大学数学教学中的体现

摘 要：本文探讨了在大学数学教学中贯穿数学建模思想的教学方法，从人才培养、科学研究、市场需求以及研究型教学三个方面阐述了该方法的重要性，并结合电子科技大学的情况提出了一些实施办法。

关键词：大学数学教育;数学建模;研究性教学

在我国，由教育部和中国工业与应用数学学会(CSIAM)联合组织了全国大学生数学建模竞赛，在过去的15年里取得了社会各界的广泛认同和辉煌的成绩。作为以工科(特别是电子信息科学)为主导的大学，电子科技大学的各级领导也十分重视数学建模的作用，以期使得学校的各个学科能交相呼应，取得共同的发展。在数学建模所取得的优秀成绩和作为国家工科数学基地的基础上，我们希望能将数学建模的思想更广泛地融入大学数学教育当中，使得学生在学习到数学知识的同时，也会运用学习到的知识去分析及解决实际问题。

一、在大学数学教学中贯穿数学建模思想的必要性

1.科学研究的需要

实际上，数学本身就是产生于对实际问题的分析及抽象化，文艺复兴之后，特别是微积分理论建立之后，对现实世界中的很多问题都可以通过适当的分析并建立模型，比如用MAXWELL方程组描述电磁学基本规律，Navier-Stokes方程为流体力学基本方程等，在适当的条件下(原问题为适定问题)利用计算机模拟便可以给出实际问题的解答。经过多年的发展，目前这种方法被成功应用于各个行业，是科学研究的一门基本工具。比如：

(1)天气和气候预报。气候变暖是目前全球面临的一个重要挑战，如果有更精确的数据为依据，较好地预测全球气候是如何变化的，就可以减少长期气候变化的不确定性和各种自然灾害对人们造成的损失和影响。要达到如此的精确就意味着要能用天气预报对全球进行正确的预测，这在目前还是不可行的，因为这需要存储海量的数据，需要超长的计算时间。因此，建立更有效的数学模型和提高计算性能便成为这一领域的核心问题。

(2)机械设计和交通控制。从有科学计算的早些日子开始，计算模式就已经用于飞行器元件的性能分析和设计，比如飞机起降分析和机翼推力设计等。当计算变得更为有力和计算机功能变得更强大时，计算模拟已被用作整个设计过程中的必须工具。例如，波音777是第一种100%数字设计的喷气式飞机，三维立体建模贯穿整个设计过程，飞机在电脑上预装配，节约了全面装配所需的巨额花费。在其他的机械系统设计过程中，比如机车，机器或机器人设计，计算机辅助设计(计算机模拟来观测系统设计中的动态反应)已成为标准的处理方法。因为这可以大大减少构造和测试原型的需要。模拟技术不仅仅用来提高性能，也用来提高安全性和人类居住环境。由于操作者和硬件方面的限制，实时模拟目前面临的实际挑战是模型，算法和软件的限制。这种情况在我国的城市交通路网管理上也已凸现。随着模拟能力的提高(比如用在内燃机设计中的燃烧数字模拟技术)，数学建模和求解将在整个设计和分析过程中扮演越来越重要的角色。

(3)电子设计自动化。电子设计自动化和计算模拟早已有着共生的关系。现代电子系统(大多数显然是微处理器)是极端复杂的。开发这样的系统只有也惟有在建模和计算工具的帮助下才有可能，用这种方法来模拟和验证系统设计过程中的每个部分。建模和计算在各种层次的电子设计中起着重要作用，从模拟制造半导体设备的各个过程，到模拟和验证微处理器系统的计算机电路或设计超大规模集成电路。

(4)生物科学。模拟技术现在对生物和医学科学正快速的变得不可或缺。模拟在医学设各的发展中有重要作用，包括诊断(电磁，超声波等)和人造器官设计(心脏，肾等)等。生物医学光学主要依赖计算建模来检测和治疗。数学建模在把数学和生物学融合进基因科学(基因组测序，基因表达的定型，基因分类等)中起着基本作用。在这个领域需要大规模的模拟，建立复杂的数学模型，并用来发展新的理论/概念模型和理解分子水平的相互作用。

(5)材料科学。材料研究是发明新材料，制造和加工已有的材料使其更加完美，让它们有我们想要的性能和环境反应。比如，对薄膜，有很多新的重要的应用，包括基于硅的微电子学，化合物半导体，光电设备，高温超导体和光电系统，这种薄膜的制造对很多因素都是极为敏感的，生产过程可通过各种处理完成，比如化学蒸发和沉积(Chemical Vapor Deposition)。模拟是在理解这个过程时的基本工具，这要求用到先进的数学模型和计算技术。近年来，大规模复杂计算建模已经被用于设计高压，高吞吐量的化学蒸发和沉积(CVD)反应器。为生产新型材料提供设各。

数学建模及计算在科学探索中也很重要，比如在天体物理学，量子力学，相对论，化学和分子生物学，以及实验起来太困难和花费太大的等各种科学研究领域，计算建模都逐渐成为重要的研究方法。总之，绝大多数科学性学科都从数学建模中获益。事实上，新的发现和模拟技术本身的不断发展，已经形成了在科学研究中，以模拟，实验和理论作为科学研究的基本模式。

2.人才市场的需要

在过去的十年间，信息和计算技术已成为带动全球经济增长的主要因素之一。美国自然科学和技术理事会不只一次的提到过，工业和自然科学实验室关心的是，他们早已不能满足大量增长的信息与计算技术培训的需求。另外，联邦部门，比如能源部的先进战略加速计算部门(ASCI)和信息技术指导部都依赖于既有科学知识又具有计算知识的职员。这么多人对计算教育的需求是过去十年计算机处理能力的持续增长和计算机价格的不断下降的共同结果。现在的学生能在计算机上玩电脑游戏，而十年前都认为这种性能的计算机只可能出现在政府部门的实验室里。

计算机现在已经渗透到我们日常工作和生活的方方面面，并且影响着人才市场需求。这就需要把一些人放在要求的知识超出自身所受教育的岗位上。相应的，具有多种知识和专业技能可以提高一个人的市场竞争能力和获得更多的工作机会。雇主愿意选择这些受过多种课程教育的雇员，这意味着他们可以雇少量的人员，而这些人员可以长时间的胜任相应的工作。但是，要具有多种学位的话，不但花费昂贵，并且由于选修多门课程，还要耗费大量时间用于学习。相对地，由于这些要求或工作的一大共同点是(用数学思想)分析问题并建立模型(用计算机)求解，因此将数学建模的思想融入课堂教学可以为这些学生节约时间和金钱，可以培养他们用数学方法解决实际问题的素养和兴趣，学生们积极参与其中，比他们仅仅是接受知识会学得更好，可以把原本不太投入的学生转化成积极活跃主动的学习者，可以更好的胜任今后的各种工作岗位。

3.研究性教学的需要

虽然数学建模课程的教学已开展多年并于2022

年由xxx推荐申报国家级精品课程。数学建模也受到学生的广泛认可和参与，但要看到的是这种教学本身依然是个案教学并且时间不长;传统的数学知识讲授主要集中在传授理论上，学生的普遍认识仅仅局限于同学位相关，对于数学的应用，哪怕是在他们的专业方向的应用也一点不知，更遑论分析及解决实际问题。而在大学数学教学中贯穿数学建模思想是让学生不但掌握数学基本知识，并且通过数学模型的应用来理解和领会科学。让许多科学和数学概念更容易被学生接受和理解，而这些概念用原来的教学方法学生可能很难理解甚至无法理解。另外，这种教学方法本身便带有研究性教学思想，更加符合国家的教育方针。数学建模教学自始至终提供学生感兴趣的现实材料，如果可以在平时的教学中针对不同专业的学生讲一些同其专业相关问题的数学解决方案并设置一些实际问题让学生思考(类似麻省理工学院偏微分方程数值解课程的Mini Project)，这样不但可以提高学生的学习兴趣，也为其将来的学习和工作奠定良好的基础。

二、实施方法

在平时的数学教学中如何做到所提供的材料学生感觉有兴趣又能不脱离教学呢?

1.挖掘教材内涵，激发求知欲望

渗透数学建模思想教学的最大特点是联系实际，作为数学选材并不难，数学应用意识始终贯穿在我们的教材中，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵应用数学的材料，从中加以应用、推广，结合不同的专业选编合适的实际问题、创设实际问题情境，多安排学生身边的或具有专业性的问题，让学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体会到所学知识的用途和好处，激发起学生的求知欲，同时在问题解决过程中学生能很好掌握知识，培养学生灵活运用和解决问题、分析问题的能力。如：学完概率与微积分后与学生探讨下面问题：报童卖报纸的诀窍。报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，这就是说，报童售出一份报纸赚a-b，退回一份赔b-c，报童每天如果购进的报纸太少不够卖的，会少赚钱;如果购进太多卖不完，将要赔钱，请你为报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。这个问题在我们现实生活中有很多类似的问题，具有普遍性，值得深入探讨，类似这样的日常问题还有很多，都能激发同学们的兴趣和动手操作、查找资料，培养学生的动手能力，解决分析问题能力。这正是数学建模教学所能达到的要求，也正是高等学校数学教学应做到的，用数学知识进行思考、分析，真正体验到学习数学的价值，从而强化学习动机，激发学习热情。

2.结合专业题材，强化应用意识

在电子科技大学，毕业生广泛从事的是工程和科学的相关职业，对这些毕业生来说，三种重要的技能是解决科学问题，综合信息和数学技能。这些技能对于从事软件相关职业的毕业生也是非常重要的。对其数学教学必须以应用研究型为目的，体现联系实际、深化概念、内涵与应用并重的思想，学数学主要是为了培养良好的分析及解决问题的思维方式并用来解决工作中出现的具体问题，这种要求决定了理解并使用数学的重要性。一些专业教材中(如《电磁场与波》)的问题都是现实中存在又必须解决的问题，正是数学建模教学的最佳材料。实际上现在有很多的诸如《数学物理》、《数学金融》、《生物数学》等《数学+x》教材，这些教材也是针对不同专业的学生选择实际问题的较好材料。因此在大学数学教学中结合专业知识，据不同的专业选取不同的典型问题进行教学，舍去部分数学教材中纯数学的例题，激起学生的兴趣、求知欲，强化数学思维及数学应用意识，提高学生的专业能力。如：函数的分析作图法对机械学院的学生可引用图解法和解析法高计盘形凸轮轮廓的例子;微电子与固体电子学院的学生则可引用材料拉伸过程的―：图专业知识习题;在讲授微分方程时，对微电子与固体电子学院的学生可以穿插LRC回路方程的建模和求解，使得他们在学习电路分析等课程时可以更加得心应手。在讲授函数的最值时，经济学专业可选取最小投入、最大收益、利润等典型例题，有条件的话可以让学生课外调查物品进价、售价与销售量的关系，寻找模拟函数，找出物品的最佳售价等。对数学系学生而言，在讲授数学分析中可以穿插一些力学问题建模或经济学问题，如Nash均衡等。通过接触大量与专业有联系的实例，能够使学生建立正确的数学观念，提高整体教学效果，拓宽学生的思路，提高学生分析并解决实际问题的能力，强化专业知识，提升人才培养的力度，为社会各界输送高质量的人才，体现在大学数学教学中贯穿数学建模思想的价值，实现国家科教兴国的战略。

3.课程体系的建设

前面阐述的二点都可以归结为在课堂教学中融入数学建模的思想，需要注意的是这些实施办法对任课教师的要求更高，这不仅需要掌握本专业的内容，还要尽可能了解其他学科专业课程内容，搜集现实问题与热门话题等等。比如，同样是微积分，但学生所学专业却差别很大，有通信、物理、化学、生物、地球科学，商业和金融等，而在这些领域数学建模运用又非常广泛，要讲好应用案例，就要求讲课教师要不断的吸取微积分在所讲授专业的应用。这本身是一个双赢的过程：一方面可以帮助教师的科学研究(比如笔者便利用课余时间同计算电磁学方向联合研究)，对老师而言，这是一个需要耗费大量时间和精力的工作，这就需要老师自己有端正的态度及不断学习新知识的理念。另一方面，这种教育也为学生铺开了一个新的有价值的世界，学习到现代专业人员需要的工具和技术知识，获得有价值的职业和科学研究技巧。当然，如果有好的教材，所有的工作都必将事半功倍。从国内的情况看，数学系的学生普遍仅仅限于学习纯粹的数学理论，在理工科学校，这种情况要好些。以电子科技大学为例，在数学系开设了电磁场与波这门课程，毫不夸张地讲，工程(自然)科学专业的专业课程基本上都是数学建模的一些案例。如广泛利用微分方程建模的电路分析，对电磁场分析建模并建立MAXWELL方程组的电磁场与波等。这也在一个侧面说明了在电子科技大学，工科学生的数学建模成绩总是好于数学系学生的原因――数学建模的思想贯穿工科专业教学的整个过程。

综上所述，在大学数学教学中贯穿数学建模思想，等于教给学生一种好的思想方法，更是给学生一把开启成功大门的钥匙，为学生架起了一座从数学知识到实际问题的桥梁，使学生能灵活地根据实际问题构建出合理的数学模型，得心应手地解决问题。