【综合文库】
同理：
11?1?1?7?1? P(X?3)?3??????3????????4?4?44464????1?1 P(X?4)?????64?4?3223
故
E(X)?1?37197125 ?2??3??4??64646464165.[五]设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为
1?0?x?1500?(1500)2x,???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2?(1500)其他?0??求E (X) 解：E(X)???????xf(x)dx xx?dx?(1500)2?15000?30001500x?(3000?x)(1500)2dx1x315001? ?(1500)230(1500)2?1500(分)6.[六]设随机变量X的分布为
求E (X)， E (3X2+5) 解：
X Pk
－2 0.4
?x3?30002?1500x?3?1500 ??0 0.3
2 0.3
E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
7.[七]设随机变量X的概率密度为
?e?x,x?0f(x)??
?0,x?0
求（1）Y=2X
解：（1）E(y)?（2）Y=e
??－2x
的数学期望。
?????2xf(x)dx??02xe?xdx
??2xe?x?2e?x?????0??2
???0 （2）E(Y)????e?2xf(x)dx?e?2xe?xex
??1?3x?1e? 3038.[八]设（X，Y）的分布律为 X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1
(1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。
解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为
X Y －1 0 11 0.2 0.1 0.1 0.4 －1 2 0.1 0 0.1 0.2 3 0 0.3 0.1 0.40.3 0.4 0.3 1 0 E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0.1/3 1/2 1 （2） Z=Y/X －1/2 －1/3 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1
E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1= (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3） 0 1 4 9 16 Z (X－Y)2 (1-1)2 (1- 0)2或(2-1)2 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 (3- 0)2或(2-(-1))2 (3-(-1))2
pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0
E (Z )=030.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5
10.[十]一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
?1?1x?e4,x?0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一f(x)??4??0,x?0台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢
利的数学期望。
1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则
?14?1?1xe4dx0??e?x41?1?0e?14
)?e?14.设Y表示出售一台设备的净赢利
?(?300?100)??200,(X?1) Y?f(X)??100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e?300e?14?100e?14
?200?33.64
11.[十一]某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。
解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为
1??,x?(a,b) f(x)??b?a?0,其它.?用Y表示圆盘的面积，则Y?1πX2,从而 4E(Y)?
???1??ππxf(x)dx?442?ba(b3?a3)π1π2xdx???(a2?ab?b2).b?a4(b?a)31212.[十三]设随机变量X1，X2的概率密度分别为
?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)??
0,x?0?2求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)
解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx
??11311=??xe?2x?e?2x????xe?4x?e?4x????
???24??0???024422 （2）E(2X1?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?1?32??0x2?4e?4xdx
?x135=1?3??x2e?4x?e?4x?e?4x??1??
??2888??0 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?111?? 24813.[十四]将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )
?1第i号盒装第i号球解：引进随机变量Xi??
0第i号盒装非i号球? i=1, 2, ? n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为
∴
i=1, 2 ?? n
14.[十五]共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。
（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1）
X P 1 2 3 ??n ??
P: ?Xi?1ni
Xi: 1 0
1n n?1 nE(Xi)1 nni=1, 2 ?? n
E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?n?i?1i?1n1?1n1 nn?11 ?nn?1n?1n?21 ??nn?1n?21 n E(X)?1?1111?2???nn?1 ?2????n???nnnn2
（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。
?i第i次试开能开门设Xi??i=1, 2 ?? n
?0第i次试开不能开门则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?Xi?1ni
0 ∵
n?1n?211???? nn?1n?innnn?1 n1 ni=1, 2??n
E (Xi)=i?∴ E(X)?i12nn?1 ????????E(X)??nnnn2ii?1i?115. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1
（2）已知随机变量X的概率密度。
X?E(X)D(X)
?1?|1?x|,f(x)??,?0求X*的概率密度。 解：（1）E(X*)?E[0?x?2其它,
X?E(X)D(X)]?1D(X)[E(X)?E(X)]?0
2?X?E(X)?22
D (X* )= E [X*－E (X )* ]]= E (X* )= E??
D(X)????= （2）E(X)?211E[X?E(X)]2??D(X)?1 D(X)DX?20x[1?|1?x|]dx?202?10x[1?(1?x)]dx??21x[1?(1?x)]dx?1
E(X)?
?x[1?|1?x|]dx??10x2[1?(1?x)]dx
??217x2[1?(1?x)]dx?6
概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学)
浙大第四版（高等教育出版社） 第一章概率论的基本概念
1.[一]写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1）
o1n?100?S???,???，n表小班人数
n??nn（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2）
S={10，11，12，???，n，???}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)）
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二]设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。 （1）A发生，B与C不发生。 表示为：
ABC或A－ (AB+AC)或A－ (B∪C)
（2）A，B都发生，而C不发生。 表示为：
ABC或AB－ABC或AB－C
表示为：A+B+C
（3）A，B，C中至少有一个发生
（4）A，B，C都发生，表示为：ABC
表示为：ABC或S－ (A+B+C)或A?B?C
（5）A，B，C都不发生，
（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生 相当于AB,BC,AC中至少有一个发生。故表示为：AB?BC?AC。 （7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：A,B,C中至少有一个发生。故表示为：A?B?C或ABC （8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：AB，BC，AC中至少有一个发生。故表示为：AB+BC+AC
6.[三]设A，B是两事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？
解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1与P (A∪B)≤1矛盾）.
从而由加法定理得
P (AB)=P (A)+P (B)－P (A∪B)
(*)
（1）从0≤P(AB)≤P(A)知，当AB=A，即A∩B时P(AB)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6，
（2）从(*)式知，当A∪B=S时，P(AB)取最小值，最小值为P(AB)=0.6+0.7－1=0.3 。
7.[四] 设A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1. 求A，B，C至少有一个发生的概率。 81,P(AB)?P(BC)?0，4解：P (A，B，C至少有一个发生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+ P(ABC)=
315??0? 4888.[五]在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26
个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？
记A表“能排成上述单词”
2∵从26个任选两个来排列，排法有A26种。每种排法等可能。
字典中的二个不同字母组成的单词：55个 ∴
P(A)?5511 ?2A261309.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2??9）
记A表“后四个数全不同”
∵后四个数的排法有104种，每种排法等可能。
4后四个数全不同的排法有A10
∴
4A10P(A)?4?0.504
1010.[六]在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10?∵10人中任选3人为一组：选法有??3?种，且每种选法等可能。 ??5?又事件A相当于：有一人号码为5，其余2人号码大于5。这种组合的种数有1???2? ??∴
5?1???2????1 P(A)?12?10??3???（2）求最大的号码为5的概率。
10?记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有??3?种，且??
4?每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有1???2???种
4?1???2????1 P(B)?20?10??3???11.[七]某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。
432?C4?C3取得4白3黑2红的取法有C10
故
432C10?C4?C3252 P(A)??62431C1712.[八]在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 记“恰有90个次品”为事件A
1500?∵在1500个产品中任取200个，取法有??200?种，每种取法等可能。
??400??1100?200个产品恰有90个次品，取法有??90??110?种
?????400??1100??90??110?????
P(A)??1500??200???∴
（2）至少有2个次品的概率。 记：A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法
1100??400??1100?有??200?种，200个产品含一个次品，取法有?1??199?种 ??????∵
A?B0?B1且B0，B1互不相容。
∴
??1100???200????P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1??1500????200??????400??1100???1??199??????
??1500???200?????13.[九]从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 记A表“4只全中至少有两支配成一对” 则A表“4只人不配对”
10?∵从10只中任取4只，取法有??4?种，每种取法等可能。
??要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。取法有
?5??24 ?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121
P(A)?1?P(A)?1?15.[十一]将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记Ai表“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3, 三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332种。 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)
P(A1)?4?3?26 ?31642?4?3种。 对A2：必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。放法有C3
fη(u)????????u10f(u?y)fξ(y)dy(u?y)3e?(u?y)?ye?ydy
6u5?u?e120所以η的概率密度为
?u5?ue?fη(u)??120??0u?0u?0
30．设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，20）分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。
解：设X1，X2，X3，X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为：
2fT(t)?1e2π?20?(t?160)22?202
f{X?180}?FX(180)?令t?160?u200.8413u221180(t?160)2dt???2?202202?1180?60du??()20
12??1??e?查表设N=min{X1，X2，X3，X 4}
P {N>180}=P {X1>180, X2>180, X3>180, X4>180}
=P {X>180}4={1－p[X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八]设随机变量（X，Y）的分布律为X Y 0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 0 0.01 0.01 0.01 0.01 0.02 0.03 0.02 0.03 0.04 0.05 0.04 0.05 0.05 0.05 0.06 0.07 0.06 0.05 0.06 0.09 0.08 0.06 0.05 （1）求P {X=2|Y=2}，P {Y=3| X=0} （2）求V=max (X, Y )的分布律 （3）求U = min (X, Y )的分布律 解：（1）由条件概率公式
P{X?2,Y?2}P {X=2|Y=2}=
P{Y?2} = =
同理
P {Y=3|X=0}=
0.05
0.01?0.03?0.05?0.05?0.05?0.080.05?0.2 0.251 3（2）变量V=max{X, Y }
显然V是一随机变量，其取值为V：012345
P {V=0}=P {X=0Y=0}=0
P {V=1}=P {X=1，Y=0}+ P {X=1，Y=1}+ P {X=0，Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04
P {V=2}=P {X=2，Y=0}+ P {X=2，Y=1}+ P {X=2，Y=2}+P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16
P {V=3}=P {X=3，Y=0}+ P {X=3，Y=1}+ P {X=3，Y=2}+ P {X=3，Y=3}+P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28
P {V=4}=P {X=4，Y=0}+ P {X=4，Y=1}+ P {X=4，Y=2}+ P {X=4，Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24
P {V=5}=P {X=5，Y=0}+ ?? + P {X=5，Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 （3）显然U的取值为0，1，2，3
P {U=0}=P {X=0，Y=0}+??+ P {X=0，Y=3}+ P {Y=0，X=1}
+ ?? + P {Y=0，X=5}=0.28
同理P {U=1}=0.30P {U=2}=0.25P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式
（2）（3）
V Pk U Pk
0 0
1
2
3
4
5
0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 0 0.28
1 0.30
2 0.25
3 0.17
（4）W=V+U显然W的取值为0，1，??8P{W=0}=P{V=0 U=0}=0
P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0}
∵ V=max{X，Y}=0又U=min{X，Y}=1不可能 上式中的P{V=0，U=1}=0，
又P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2 故P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1，U=0}=0.2 P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1，U=1}= P{X=2 Y=0}+ P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}
=0.03+0.01+0.02=0.06
P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2，U=1}= P{X=3 Y=0}+ P{X=0，Y=3}+P{X=2，Y=1}+ P{X=1，Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3，U=1}+P{V=2，U=2}=P{X=4 Y=0}+ P{X=3，Y=1}+P{X=1，Y=3}+ P{X=2，Y=2} =0.19
P{W=5}= P{V+U=5}=P{V=5, U=0}+ P{V=5，U=1}
+P{V=3，U=2} =P{X=5 Y=0}+ P{X=5，Y=1} +P{X=3，Y=2}+ P{X=2，Y=3} =0.24
P{W=6}= P{V+U=6}=P{V=5, U=1}+ P{V=4，U=2}
+P{V=3，U=3} =P{X=5，Y=1}+ P{X=4，Y=2}
+P{X=3，Y=3} =0.19
P{W=7}= P{V+U=7}=P{V=5, U=2}+ P{V=4，U=3}
=P{V=5，U=2} +P{X=4，Y=3}=0.6+0.6=0.12
P{W=8}= P{V+U=8}=P{V=5, U=3}+ P{X=5，Y=3}=0.05 或列表为WP
0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
[二十一]设随机变量（X，Y）的概率密度为
?(x?y)?,?bef(x,y)???,?00?x?1,0?y???其它
（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX (x)，fY (y) （3）求函数U=max (X, Y)的分布函数。 解：（1）1?????1????????f(x,y)dydx???00be?(x?y)dydx?b[1?e?1]
∴b? （2）fX(x)?1 ?11?e?????f(x,y)dy
x?0或x?10?x?1
?0??????(x?y)e?xbedy?,?1?e?1?0?fY(y)?
?????f(x,y)dxy?0 y?0,?0???1?(x?y)bedx?e?y??0?（3）Fu (ω)=P {U ≤ u}=P {max(X,Y)?u)=P {X ≤ u, Y ≤ u} =F (u, u)= u<0, FU (u) = 0
??uuu????f(x,y)dxdy
0?u?1,FU(u)???0u0be?(x?y)dxdy?(1?e?u)21?e?1
u?1,FU(u)???0u10be?(x?y)dxdy?1?e?u
第四章
2.[二]某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次。每次随机地抽取10件产品进行检验，如果发现其中的次品数多于1，就去调整设备，以X表示一天中调整设备的次数，试求E (X)。（设诸产品是否是次品是相互独立的。）
解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξ
P=P（调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]1－0.7361=0.2639.
查二项分布表
?4?04
?因此X表示一天调整设备的次数时X～B(4, 0.2639). P (X=0)=?×0.2639×0.7361?0???=0.2936.
?4??4?1322
???P (X=1)=?×0.2639×0.7361=0.4210, P (X=2)= ×0.2639×0.7361=0.2264. ?1??2??????4??4?30
???P (X=3)=?×0.2639×0.7361=0.0541, P (X=4)= ×0.2639×0.7361=0.0049.从而 ?3??4?????E (X)=np=4×0.2639=1.0556
3.[三]有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。
∵事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）
∴
13?3?1?37?1? P(X?1)?3??????3????????4?4?4?4?64?4?223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”
∴
12?2?1?19?1? P(X?2)?3??????3????????4?4?4?4?64?4?223
?当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]" =?????y?12y?1212?ex2?2??dx? ???1e=
2π(y?1)y?14
（3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函数为FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0
当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴Y的概率密度为：
当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]" = (0)" =0
?y?y?1e2πx22dx
?y2x2?y1???2当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]" =?e2dx??e2
??y2π?π??33.[三十] （1）设随机变量X的概率密度为f (x)，求Y = X 3的概率密度。
?∵又且
Y=g (X )= X 3 是X单调增函数， X=h (Y ) =Y，反函数存在，
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞
13β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴Y的分布密度为：
ψ( y)= f [h ( h )]2| h" ( y)| = f1(y321?)?y3,???y???,但y?0 3?(0)?0
（2）设随机变量X服从参数为1的指数分布，求Y=X 2的概率密度。
?e?x法一：∵X的分布密度为：f(x)???0Y=x2是非单调函数
当x<0时y=x?反函数是x??y 当x<0时y=x2 ?x?2
x?0x?0
y=x2 y y
O ∴Y～ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)?－y y x
?0?1e??=?2y??0y?12ye?y,y?0y?0
法二：Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)
?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0
?1e??∴Y～ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0.
34.[三十一]设X的概率密度为
?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。
∵ FY ( y)=P (Y≤y)= P (sinX≤y) 当y<0时：FY ( y)=0
当0≤y≤1时：FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π－arc sin y≤X≤π)=当1 arcsiny?02xdx?π2?2xdx π?arcsinyπ2π?0 ?arcsiny02xdx?π2 ??2x?dx? π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时，ψ( y )=[ FY ( y)]" = (1)? = 0 36.[三十三]某物体的温度T (oF )是一个随机变量，且有T～N（98.6，2），试求θ(℃) 的概率密度。[已知θ?5(T?32)] 9法一：∵ T的概率密度为f(t)?12?2e?(t?98.6)22?2,???t??? 又 θ?g(T)? T?h(θ)?5(T?32)是单调增函数。 99θ?32反函数存在。 5 且α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(－∞, +∞)=－∞ β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(－∞, +∞)= +∞ ∴ θ的概率密度ψ(θ)为 9(θ?32?98.6)2?54eψ(θ)?f[h(θ)]?|h"(θ)|?12π2?9 5?9e ?10π81(θ?37)2100,???θ??? 法二：根据定理：若X～N（α1， σ1），则Y=aX+b～N (aα1+b, a2 σ2 ) 由于T～N（98.6, 2） 2?5??333?5?2?5160160?5?~N??98.6?,???2??N?,???2? 故θ?T?999?9??????9??9?9??故θ的概率密度为： ?333?????9???22?(?)? 1e52?29?5?2????2?9??910?e?81(??37)2100,??????? 第三章多维随机变量及其分布 1.[一]在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下： ,??0,若第一次取出的是正品X?? ??1,若第一次取出的是次品?,??0,若第二次取出的是正品Y?? ??1,若第二次取出的是次品?试分别就（1）（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。 解：（1）放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i,Y=j)=P (X=i)P (Y=j) P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )= 或写成 X Y 0 1 （2）不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=P {X=0, Y=1 }=P {X=1, Y=0 }=P {X=1, Y=1 }= 或写成 X Y 0 1 0 1 101025 ??1212361025 ??1212362105 ??121236221 ??12123625 365 365 361 3610945 ??12116610210 ??12116621010 ??121166211 ??121166 0 1 45 6610 6610 661 663.[二]盒子里装有3只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到白球的只数，求X，Y的联合分布律。 X Y 0 1 2 3 0 0 0 3235 35 1 0 612235 35 35 2 16335 35 35 0 解：（X，Y）的可能取值为(i, j)，i=0，1，2，3，为 P {C22X=0, Y=2 }= 2C2C4?1735 P {X=C1121, Y=1 }= 3C2C26C4?735 P {X=1, Y=2 }=C1213C2C26C4?735 P {X=2, Y=0 }=C2C232C4?3735 P {X=2, Y=1 }= C2113C2C212C4?735 P {X=2, Y=2 }=C223C2C4?3735 P {X=3, Y=0 }=C3C132C4?2735 j=0，12，i + j≥2，联合分布律 31C3C24C7P {X=3, Y=1 }=?2 35P {X=3, Y=2 }=0 ??k(6?x?y),0?x?2,2?y?45.[三]设随机变量（X，Y）概率密度为f(x,y)?? ?0,其它?（1）确定常数k。 （3）求P (X<1.5} （2）求P {X<1, Y<3} （4）求P (X+Y≤4} 分析：利用P {(X, Y)∈G}= ??f(x,y)dxdy???f(x,y)dxdy再化为累次积分，其中 GG?Do?0?x?2,???Do??(x,y)? 2?y?4????解：（1）∵1???????????f(x,y)dxdy???0212k(6?x?y)dydx，∴k?3 81 8（2）P(X?1,Y?3)???01dx3128(6?x?y)dy?（3）P(X?1.5)?P(X?1.5,Y??)?（4）P(X?Y?4)??1.50dx?127 (6?x?y)dy?2832412(6?x?y)dy? 00836．（1）求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 y ?2dx?4?x（2）求第2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。 解：（1）① 放回抽样（第1题） X Y 0 1 边缘分布律为 0 1 2 x+y=4 1 25 365 36X Pi2 0 5 361 361 o x Y 0 1 5616P2j 5616 ②不放回抽样（第1题） X Y 0 1 边缘分布为 0 1 45 6610 66X 0 1 10 661 66Y 0 1 Pi2 5616P2j 5616 （2）（X，Y ）的联合分布律如下 X Y 0 3 0 0 1 2 3 0 3 802 3 803 1 81 8 Y的边缘分布律 Y 1 3 解： X的边缘分布律 X 0 1 Pi2 1331P2j 88887．． 设二维随机变量（X，Y ）的概率密度为 ??4.8y(2?x)f(x,y)????0解：fX(x)?68 28 0?x?1,0?y?x其它求边缘概率密度. ??????x4.8y(2?x)dy?2.4x2(2?x)?f(x,y)dy??0??0?0?x?1其它 fY(y)??????1???4.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2)0?y?1 f(x,y)dx??y?其它?08.[六]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 ?y??e,0?x?y求边缘概率密度。 f(x,y)????0,其它.??y x=y 解:fX(x)???????e?ydy?e?x,x?0? f(x,y)dy??x?x?0?0,?o x ??fY(y)??????f(x,y)dx?????y0e?ydx?ye?y,y?0,0,y?0, 22??cxy,x?y?110．[七]设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)?? ?0,其它?（1）试确定常数c。（2）求边缘概率密度。 解: l= ??????????f(x,y)dxdy??dy?01?y?ycxydx?c2?1022421 ydy?c?c?3214y 5212?1212??2xydy?x(1?x4),?1?x?1X~fX(x)??x4 8?0,其它?5??y21272?dydx?y?Y~fY(y)???y42?0?0?y?1 其它o y=x2 x 15. 第1题中的随机变量X和Y是否相互独立。 解：放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 } = P {X=0}2P {Y=0} =P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}= 在放回抽样的情况下，X和Y是独立的 不放回抽样的情况： P {X=0, Y=0 } =P {X=0}= 25 365 365 361 3610945 ??121166105? 126P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }= 1092105???? 1211111165525 ??6636P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} P {X=0}2P {Y=0} = ∴ X和Y不独立 16.[十四]设X，Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布。Y ?1y?e2,y?0的概率密度为fY(y)??2 ?0,y?0.?（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。 ??1,x?(0,1)解：（1）X的概率密度为fX(x)?? ??0,其它Y的概率密度为 y y=x2 D o 1 x ?1?y?e2,y?0fY(y)??2且知X, Y相互独立， ?0,y?0.?于是（X，Y）的联合密度为 y?1?2?f(x,y)?fX(x)fY(y)??2e??00?x?1,y?0 其它2（2）由于a有实跟根，从而判别式??4X?4Y?0 2 即：Y?X记D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x} 2 P(Y?X2)???f(x,y)dxdy??dx?D01x20?1x21?1?22edy???dx?de?1??e2dx 0002yyx2?1?2??12??1?2.5066312?0.3413?1?0.8555?0.14450?0e?x22dx?1?2?(?(1)??(2))?1?2?(0.8413?0.5) 23．设某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为 ?t??te,f(t)????0t?0t?0 并设各周的需要量是相互独立的，试求（1）两周（2）三周的需要量的概率密度。 解：（1）设第一周需要量为X，它是随机变量 设第二周需要量为Y，它是随机变量 且为同分布，其分布密度为 f(t)???te?t,t?0? ??0t?0Z=X+Y表示两周需要的商品量，由X和Y的独立性可知： x,y)???xe?xye?yf(x?0,y?0?0其它 ∵ z≥0 ∴当z<0时，fz (z) = 0 当z>0时，由和的概率公式知 f??z(z)????fx(z?y)fy(y)dy??z?(z?y)?yz3?z0(z?y)e?yedy?6e?z3∴ fz)??e?z,z?0z(?6 ??0z?0?z3（2）设z表示前两周需要量，其概率密度为fz)??e?z,z(?6??0 设ξ表示第三周需要量，其概率密度为： fx)???xe?x,x?0ξ(? ??0x?0z与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则：∵η≥0， ∴当u<0， fη(u) = 0 当u>0时 z?0z?0 查看全文