【综合文库】
习题一随机事件及其概率
一、填空题
1．设随机试验E对应的样本空间S,与其任何事件不相容的事件为?，而与其任何事件相互独立的事件为?S；设有P（A|B）=1, 则A、B两事件的关系为 A=B；设E为等可能型试验，且S包含 10 个样本点，则按古典概率的定义其任一基本事件发生的概率为 0.1 。
2．若A表示某甲得100分的事件，B表示某乙得100分的事件，则
（1）A表示 甲未得100分的事件；
（2）A?B表示 甲乙至少有一人得100分的事件；（3）AB表示 甲乙都得100的事件；
（4）AB表示 甲得100分，但乙未得100分的事件； （5）AB表示 甲乙都没得100分的事件；（6）AB表示 甲乙不都得100分的事件；3
．
若
事
件
A,B,C相互独立，则P(A?B?C)?
P(A)?P(B?)P(C?)P(A)P(?B)P(A)P?(C)P(B)?P(C)BPCP(A。)P 4．若事件A,B相互独立，且P(A)?0.5,P(B)?0.25,则 P(A?B)?0.625。
111 5．设P(A)?P(B)?P(C)?,P(AB)?P(AC)?P(BC)?,P(ABC)?,则
4816P(A?B?C)?716；P(ABC)?916；P(A,B,C至多发生一个)?31634；；
P(A,B,C恰好发生一个）?P(A|A?B?C)?4。7
6．袋中有 50 个乒乓球，其中 20 个是黄球，30 个白球，今有两人依次随机地从袋中各取1球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是0.4。 7．将 C，C，E，E，I,N,S 七个字母随机地排成一行，则恰好排成英文单词 SCIENCE的概率为
1。1260 8．10 件产品有 4 件次品，现逐个进行检查，则不连续出现 2 个次品的概
率为 。
1 9．在[-1,1]上任取一点，则该点到原点距离不超过的概率是0.33。
3 10．在区间（0，1）上随机地取出两个u,v，则关于x 的一元二次方程
x2?2vx?u?0有实根的概率是0.33。
11．若有n个人随机地站成一列，其中有甲、乙两个，则夹在甲和乙之间恰 有r个人的概率为
2(n?r?1)n(n?1)。
12．对二事件A,B已知P(A)?0.6，P(B)?0.7,那么P(AB)可能取到的最大值是 0.6 ；可能取到的最小值是 0.3 ；P(A?B)可能取到的最大值是 1 ；可能取到的最小值是 0.7 。
13．由装有 3 个白球 2 个黑球的箱中，随机地取出 2 个球，然后放到装有 4个白球和4个黑球的箱子中，试计算最后从第二个箱子中取出一球，此球为白球的概率为 0.52。二、选择题
1．以下命题正确的是（ABCD）A.(AB)?(AB)?A； B.若A?B，则AB?A；C.若A?B，则B?A；D.若A?B，则A?B?B.
2．某学生做了三道题，以A表示“第i题做对了的事件”(i?1,2,3)，则该生至少做对了两道题的事件可表示为 （ B D）A. A1A2?A2A3?A1A3；1A2A3?A1A2A3?A1A2A3； B. AC. A1A2?A2A3?A1A3 ；D. A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.3． 若事件A与B相容，则有 （B ） A.P(A?B)?P(A)?P(B)；B. P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)； C. P(A?B)?1?P(A)?P(B)； D. P(A?B)?1?P(A)P(B).
4 .事件A与B互相对立的充要条件是 （ C）
A.P(AB)?P(A)P(B);B.P(AB)?0且P(A?B)?1; C.AB??且A?B?S; D.AB??. 5.已知P(B)?0且A1A2??,则（ ABC）成立.
A.P(A1|B)?0；B.P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)；C.P(A1A2|B)?0；D. P(A1A2|B)?1.
6．若P(A)?0,P(B)?0且P(A|B)?P(A)，则（AB ）成立.A. P(B|A)?P(B)； B.P(A|B)?P(A)；C.A,B 相容；D.A,B不相容.7．对于事件A与B，以下命题正确的是().A.若A、B互不相容,则A、B 也互不相容；B.若A、B相容,则A、B 也相容； C.若A、B独立，则A、B 也独立； D.若A、B对立，则A、B 也对立.
8．若事件A与B独立，且P(A)?0,P(B)?0， 则（ AB ）成立.A. P(B|A)?P(B)； B.P(A|B)?P(A)；C.A,B 相容；D.A,B不相容.三、解答题
1． 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间S与随机事件A：（1）掷一颗骰子，观察向上一面的点数；事件A表示“出现奇数点”；（2）对一个目标进行射击，一旦击中便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击不超过3次”；
（3）把单位长度的一根细棒折成三段，观察各段的长度；事件A表示“三段 细棒能构成一个三角形”。
解:(1) S1??1,2,3,4,5,6?,A1=?1,3,5?; (2) S2??1,2,??, A2=?1,2,3?;
(3) 设折得三段长度分别为x,y和1-x-y，S3???x,y?0?x?y?1,0?x,y?1?, .
111A3?{(x,y)|0?x?,0?y?,?x?y?1}
2222．化简下列各式
(1)AB?AB(2)(A?B)?(A?B) (3)(A?B)?(A?B)解：(1) AB?AB=A（B?B）=AS=A (2) (A?B)?(A?B)=?(A?B)?A???(A?B)?B???????
(3) (A?B)?(A?B)=(A?B)?(AB)?ABAB?AABB??AA??BB??? 3．一工人生产了四件产品，以Ai表示他生产的第i件产品是正品(i?1,2,3,4)，试用Ai表示(i =1,2,3,4)下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解：(1) A1A2A3A4;(2) A1A2A3A4(A1?A2?A3?A4);
(3) A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4; (4) ?A1A2???A1A3???A1A4???A2A3???A2A4???A3A4? 4．掷两颗骰子，试求出现的点数之和大于9的概率。
解：用x,y表示两颗骰子掷出的点数，则1?x,y?6,每一点对?x,y?表示每次掷两颗骰子的结果即为一基本事件，则样本空间S?(x,y)x,y?1,2,?,6?，A表示掷两颗骰子出现的点数之和大于9的事件。则A=?(4,6)(5,5)(5,6)(6,4)(6,5)(6,6)?，而样本空间中包含的样本点总数为36，由古典概型计算公式，P(A)?61?。 366?5. 已知N件产品中有M 件是不合格品，今从中随机地抽取n件，试求: (1) n 件中恰有k件不合格品的概率；(2) n 件中至少有一件不合格品的概率。
n解：从N件产品中抽取n件产品的每一取法构成一基本事件,共有CN种不同取法.
(1)设A表示抽取n件产品中恰有k件不合格品的事件，则A中包含样本点数为
CCkMn?kN?Mkn?kCMCN?M,由古典概型计算公式，P(A)?。 nCN(2) 设B表示抽取n件产品中至少有一件不合格品的事件，则B表示n件产品全为合格品的事件，包含CnN?MnCNM个样本点。则P(B)?1?P(B)?1??。 nCN6. 一个口袋里装有10只球，分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球。试求：
(1) 最小号码是5的概率；(2) 最大号码是5的概率。
3解:从10只球中任取3只的每一种取法构成一基本事件，则样本点总数为C10。
2C53C102C43C10(1)设A表示“3只球中最小号码是5的取法”，共有
2C5种取法，因此P(A)??1 121 20(2)设B表示“3只球中最大号码是5的取法”，共有
2C4种取法，因此P(A)??7. 一份试卷上有6道题。某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的 错误。试求，
(1) 这4处错误发生在最后一道题上的概率；(2) 这4处错误发生在不同题上的概率；(3) 至少有3道题全对的概率。
解：4个错误发生在6道题中的可能结果共有64=1296种，即样本点总数为1296。 (1) 设A表示“4处错误发生在最后一道题上”，只有1种情形，因此P(A)?1； 1296(2) 设B表示“4处错误发生在不同题上”，即4处错误不重复出现在6道题上，共有P64种方式，因此有6?5?4?3?360种可能，故P(B)?3605?. 129618(3) 设C表示“至少有3道题全对”相当于“至少有2个错误发生在同一题上”，
13而C表示“4处错误发生在不同题上”，C?B，P(C)?1?P(B)?.
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