【综合文库】
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律. 【解】
故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求: (1) X的分布律;
(2) X的分布函数并作图; (3).
【解】
故X的分布律为 X 0 1 2 P
(2)当x<0时,F(x)=P(X≤x)=0
当0≤x<1时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)=
当1≤x<2时,F(x)=P(X≤x)=P(X=0)+P(X=1)=当x≥2时,F(x)=P(X≤x)=1 故X的分布函数(3)
3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】
设X表示击中目标的次数.则X=0,1,2,3.
故X的分布律为 X 0 1 2 3
P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数
4.(1)设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ,
其中k=0,1,2,?,λ>0为常数,试确定常数a. (2)设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N,k=1,2,?,N, 试确定常数a. 【解】(1)由分布律的性质知故
(2) 由分布律的性质知
即 .
5.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次,求: (1)两人投中次数相等的概率; (2)甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数,则X~b(3,0.6),Y~b(3,0.7) (1)+
(2)
=0.243
6.设某机场每天有200架飞机在此降落,任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道,才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)?
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数,则X~b(200,0.02),设机场需配备N条跑道,则有即
利用泊松近似
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?
【解】设X表示出事故的次数,则X~b(1000,0.0001)
8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2},求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p,则
故
所以 .
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号, (1)进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率. 【解】(1)设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X~6(5,0.3)
(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Y~b(7,0.3)
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).
(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;
(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】(1) (2)11.设P{X=k}= ,k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4
分别为随机变量X,Y的概率分布,如果已知P{X≥1}= ,试求P{Y≥1}. 【解】因为,故 . 而 故得 即 从而
12.某教科书出版了2022册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2022册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2022册书中错误的册数,则X~b(2022,0.001).利用泊松近似计算,
得
13.进行某种试验,成功的概率为,失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数,试写出X的分布律,并计算X取偶数的概率. 【解】
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2022元赔偿金.求: (1)保险公司亏本的概率;
(2)保险公司获利分别不少于10000元、20220元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
(1)在1月1日,保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X,则X~b(2500,0.002),则所求概率为
由于n很大,p很小,λ=np=5,故用泊松近似,有
(2) P(保险公司获利不少于10000)
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P(保险公司获利不少于20220)
即保险公司获利不少于20220元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae?|x|,?∞ 故 . (2) (3) 当x<0时, 当x≥0时,故 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)= 求:(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率; (2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率; (3) F(x). 【解】 (1) (2) (3) 当x<100时F(x)=0 当x≥100时 故 17.在区间[0,a]上任意投掷一个质点,以X表示这质点的坐标,设这质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例,试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a],密度函数为 故当x<0时F(x)=0 当0≤x≤a时 当x>a时,F(x)=1 即分布函数 18.设随机变量X在[2,5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5],即 故所求概率为 19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求P{Y≥1}. 【解】依题意知,即其密度函数为 该顾客未等到服务而离开的概率为 ,即其分布律为 20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42). (1)若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些? (2)又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些? 【解】(1)若走第一条路,X~N(40,102),则 若走第二条路,X~N(50,42),则++ 故走第二条路乘上火车的把握大些. (2)若X~N(40,102),则 若X~N(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N(3,22), (1)求P{2 (2) c=3 22.由某机器生产的螺栓长度(cm)X~N(10.05,0.062),规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】 查看全文