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麦克斯韦速率分布律、三种统计速率
1、选择题
题号：21111001 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B两部分面积相等，则该图表示 （A）v0为最概然速率 （B）v0为平均速率 （C）v0为方均根速率
（D）速率大于和小于v0的分子数各占一半
[] 答案：（ D ）
题号：21111002 分值：3分
难度系数等级：1
麦克斯韦速率分布函数f(v)的物理意义是，它是气体分子
（A） 处于v附近单位速率区间的概率（B） 处于v附近的频率
（C） 处于v~v?dv速率区间内的概率（D） 处于v~v?dv速率区间内的相对
分子数
[] 答案：（ A ）
题号：21111003 分值：3分
难度系数等级：1
2气体的三种统计速率：最概然速率vp、平均速率v、方均根速率v，它们之间的大
小关系为
（A）vp.?v.?v2（B）vp?v?v2
（C）vp?v?v2 （D）无法确定
[] 答案：（ C ）
题号：21111004 分值：3分
难度系数等级：1
设在平衡状态下，一定量气体的分子总数为N，其中速率在v~v?dv区间内的分子数为dN，则该气体分子的速率分布函数的定义式可表示为
dN1dN （B）f(v)?NNdv1dN1dN（C）f(v)? （D）f(v)?
NvdvNv2dv（A）f(v)? []
答案：（ B ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
空气中含有氮分子和氧分子，它们两者的平均速率关系为 （A）vN2?vO2 （B）vN2?vO2（C）vN2?vO2（D）无法确定[] 答案：（ A ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
已知n为单位体积分子数，示为
（A）单位时间内碰到单位面积器壁上的速度分量vx处于vx（B）单位体积内速度分量vx处于vxf(vx)为麦克斯韦速度分量的分布函数，则nf(vx)dvx表
~vx?dvx区间的分子数
~vx?dvx区间的分子数
（C）速度分量在vx附近，dvx区间内的分子数占总分子数的比率 （D）速度分量在vx附近，dvx区间内的分子数
[] 答案：（ B ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K时的平均速率为v1，在温度为2.7 K（星际空间温度）时的平均速率为v2，则平均速率v1和v2的大小分别为 （A）v1?1.69?102 m/s，v2?1.78?103 m/s（B）v1?1.78?103 m/s，v2?1.69?102 m/s （C）v1?1.83?102 m/s，v2?1.93?102 m/s （D））v1?1.58?103 m/s，v2?1.50?103 m/s，
[] 答案：（ B ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K时的最概然速率为vp1，在温度为2.7 K（星际空间温度）时的最概然速率为vp2，则最概然速率vp1和vp2的大小分别为 （A）vp1?1.69?10 m/s，vp2?1.78?10 m/s（B）vp1?1.78?10 m/s，vp2?1.69?10 m/s （C）vp1?1.58?10 m/s，vp2?1.50?10 m/s （D））vp1?1.50?10 m/s，vp2?1.58?10 m/s，
[] 答案：（ C ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
设氢分子在温度为300 K时的方均根速率为v1，在温度为2.7 K（星际空间温度）时的方均根速率为v2，则方均根速率v1和v2的大小分别为
2
2
2
2
23323223（A）v1?1.78?10 m/s，v2?1.69?10 m/s（B）v1?1.58?10 m/s，v2?1.50?10 m/s （C）v1?1.93?10 m/s，v2?1.83?10 m/s （D））v1?1.93?10 m/s，v2?1.83?10 m/s，
[] 答案：（ D ）
题号：21112022 分值：3分
难度系数等级：2
设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率vi（m/s） 2 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 2322232323222322则其最概然速率为 （A）3.18 m/s （B）3.37 m/s（C）4.00 m/s（D）5.00 m/s[] 答案：（ C ）
题号：21113011 分值：3分
难度系数等级：3
理想气体的温度由27?C升高到927?C，其最概然速率将增大到原来的 （A） 2倍 （B） 4倍（C） 6倍 （D） 34倍[] 答案：（ A ）
题号：21113012 分值：3分
难度系数等级：3
已知n为单位体积的分子数，f(v)为麦克斯韦速率分布函数，则nf(v)表示 （A） 速率v附近，dv区间内的分子数
（B） 单位体积内速率在v~v?dv区间内的分子数 （C）速率v附近，dv区间内的分子数占总分子数的比率
（D） 单位时间内碰到单位器壁上，速率在v~v?dv区间内的分子数
[]
答案：（ B ）
题号：21113013 分值：3分
难度系数等级：3
已知一定量的某种理想气体，在温度为T1和T2时分子的最概然速率分别为vp1和vp2，分子速率分布函数的最大值分别为中正确的是 （A） vp1>vp2，（B） vp1vp2，（D） vp1 f(vp1)和f(vp2)，已知T1>T2，则在下列几个关系式 f(vp1)>f(vp2) f(vp1)>f(vp2) f(vp1) [] 答案：（ C ） 题号：21113014 分值：3分 难度系数等级：3 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率vi（m/s） 2 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 则其方均根速率为 （A）3.18 m/s（B）3.37 m/s （C）4.00 m/s （D）2.41 m/s[] 答案：（ B ） 题号：21113015 分值：3分 难度系数等级：3 某理想气体处于平衡状态，其速率分布函数为f(v)，则速率分布在速率间隔v1~v2内的气体分子的算术平均速率的计算式为 ?（A）v??v2v1v2vf(v)dv0?（B）v?f(v)dv?v2v1?vf(v)dv v1f(v)dv ?（C）v??v2v1?vf(v)dv0?（D）v?f(v)dv?v2v1v2vf(v)dv v1f(v)dv [] 答案：（ D ） 题号：21113016 分值：3分 难度系数等级：3 设有一群粒子按速率分布如下： 粒子数Ni 速率vi（m/s） 2 1.00 4 2.00 6 3.00 8 4.00 2 5.00 则其平均速率为 （A）3.18 m/s（B）3.37 m/s （C）4.00 m/s （D）0.68 m/s [] 答案：（ A ） 题号：21114017 分值：3分 难度系数等级：4 如右下图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，(vp)o和(vp)H分别表示氧 22气和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是 （A）图中a表示氧气分子的速率分布曲线，且 (vp)O(vp)H(vp)O(vp)H2?4 2（B）图中b表示氧气分子的速率分布曲线，且 2?4 1 41 42（C）图中a表示氧气分子的速率分布曲线，且 (vp)O(vp)H(vp)O(vp)H2?2（D）图中b表示氧气分子的速率分布曲线，且 2?2[ ] 答案：（ C ） 题号：21114018 分值：3分 难度系数等级：4 如右图所示，两条曲线分别表示在相同温度下氧气和氢气分子速率分布曲线，(vp)o和(vp)H分别表示氧气 22和氢气的最概然速率，则下列表述正确的是 （A）图中a表示氧气分子的速率分布曲线，且(vp)O2?2022m/s ?2022m/s ?2022m/s ?2022m/s （B）图中a表示氢气分子的速率分布曲线，且(vp)H（C）图中b表示氧气分子的速率分布曲线，且(vp)O22（D）图中b表示氢气分子的速率分布曲线，且(vp)H2 [] 答案：（ D ） 题号：21114019 分值：3分 难度系数等级：4 一氧气瓶的容积为V，充了气未使用时的压强为p1，温度为T1，使用后瓶内氧气的质量减少为原来的一半，其压强降为p2，则使用前后分子热运动平均速率之比 v1为v2（A） 2p1p1p22p2 （B）（C）（D） p22p22p1p1 [] 答案：（ B ） 题号：21115020 分值：3分 难度系数等级：5 处于平衡状态的理想气体，其分子的速率分布曲线如图所示，设vp表示最概然速率，?Np表示速率分布在vp~vp??v之间的分子数占总分子数的百分比，当温度降低时，则 （A）vp减小，?Np也减小（B）vp增大，?Np也增大 （C）vp减小，?Np增大（D）vp增大，?Np减小 [] 答案：（ C ） 2、判断题 题号：21121001 分值：2分 难度系数等级：1 理想气体分子的最概然速率，就是麦克斯韦速率分布曲线峰值对应的速率。 [] 答案：对 题号：21121002 分值：2分 难度系数等级：1 两容器都储有氢气，温度和体积都相同，但两者的气体质量不相等，所以它们的分子速率分布也不相同。 [] 答案：错（因两容器的分子质量和温度相等） 题号：21122022 分值：2分 难度系数等级：2 两容器都储有氢气，温度相同，体积不相同，两者的气体质量也不相等，但它们的分子速率分布相同。 [] 答案：对（因两容器的分子质量相等、温度相等） 题号：21122022 分值：2分 难度系数等级：2 气体处于平衡态时，具有某一速率的分子数是确定的，速率刚好为最概然速率的分子数与总分子数的比值也是确定的。 [] 答案：错 题号：21122022 分值：2分 难度系数等级：2 麦克斯韦速率分布函数f(v)?dN是平衡态下理想气体质心的速率分布函数。它表示Ndv平衡态下的理想气体分子数按速率的分布规律。 [] 答案：对 题号：21123006 分值：2分 难度系数等级：3 两容器分别储有氮气和氢气，温度和体积都相同，而且两气体的质量相等，所以它们的分子速率分布也相同。 [] 答案：错（因两气体的分子质量不相等） 题号：21123007 分值：2分 难度系数等级：3 两容器分别贮有氢气和氧气，如果压强、体积和温度都相同，则它们的分子速率分布也是相同的。 [] 答案：错（因两气体的分子质量不相等） 题号：21123008 分值：2分 难度系数等级：3 混合气体处于平衡状态时，每种气体分子的速率分布情况与该种气体单独存在时分子的速率分布情况完全相同。 [] 答案：对 题号：21124009 分值：2分 难度系数等级：4 恒温器中放有氢气瓶，现将氧气通入瓶内，某些速率大的氢分子具备与氧分子化合的条件而化合成水，所以瓶内剩余的氢分子的速率分布将会改变。 [] 答案：错（因温度不变，所以氢分子的速率分布也不变） 题号：21124010 分值：2分 难度系数等级：4 ?v2v1vf(v)dv表示在v1~v2区间分子的平均速率。 [] 答案：错（vv~v21???v2v1v2vf(v)dv） v1f(v)dv 题号：21125011 分值：2分 难度系数等级：5 最概然速率相同的两种不同气体，它们的速率分布曲线一定相同。 [] 答案：对（f(v)? 4?3v?pe?(v2)vpv2） 3、填空题 题号：21131001 分值：2分 难度系数等级：1 已知某理想气体的速率分布函数为f(v)?子速率在vdN，其中N为气体的总分子数，dN为分Ndv~v?dv区间内的分子数，则表达式Nf(v)dv的物理意义是： 。 答案：表示速率在v 题号：21131002 分值：2分 难度系数等级：1 在标准状态下，氮分子的平均速率为 m/s。 答案：455 m/s 题号：21131003 分值：2分 难度系数等级：1 温度为127C的氧气分子的最概然速率为 m/s。 答案：456 m/s 0~v?dv区间内的分子数 题号：21131004 分值：2分 难度系数等级：1 温度为127C的氧气分子的方均根速率为 m/s。 答案：558 m/s 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 如图所示，两条曲线分别表示相同温度下 的氢气和氧气分子的速率分布曲线，则b曲 线表示 分子的速率分布曲线。 （填氧气或氢气） 答案：氢气 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 已知某理想气体的速率分布函数为f(v)?子速率在v0dN，其中N为气体的总分子数，dN为分Ndv~v?dv区间内的分子数，则表达式f(v)dv的物理意义是： ~v?dv区间的分子数占分子总数的百分比，或者 。 答案：表示在总分子数N中，速率在v表示分子在速率v 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 同温度下氢气分子与氧气分子的平均速率之比为_____ ____。 答案：4：1 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氧气分子的最概然速 ~v?dv区间内的概率 率为。 答案：vpo2?600 m/s 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 在麦克斯韦速率分布关系中，若取Nf(v) 为纵坐标，速率v为横坐标，则速率分布曲线与横坐标所包围的总面积等于____ 。 答案：N 题号：21132022 分值：2分 难度系数等级：2 理想气体分子的最慨然速率vp 的物理意义是。 答案：分子速率在vp附近分布的概率最大或分子速率在vp附近的分子数最多 题号：21133011 分值：2分 难度系数等级：3 已知f(v)麦克斯韦速率分布函数，vp为分子的最概然速率，则 vp?0f(v)dv表 示。 答案：速率区间0~?p的分子数占总分子数的百分比 题号：21133012 分值：2分 难度系数等级：3 已知某理想气体分子总数为N，分子质量为m，在温度T时的速率分布曲线如图所示，其中f(v)?v2Nf表达式?v1dN为速率分布函数，则Ndv(v)dv的物理意义是 。 答案：表示速率在v1 题号：21133013 分值：2分 难度系数等级：3 温度为127C的氧气分子的平均速率为 m/s。 答案：514 m/s 题号：21133014 分值：2分 难度系数等级：3 已知f(v)麦克斯韦速率分布函数，vp为分子的最概然速率，则v?vp速率的分子的平均速率表达式为： 。 0~v2区间内的平均分子数 ?f（v）·dv?vpv·答案：?? ?dv?vpf（v） 题号：21133015 分值：2分 难度系数等级：3 一个容器内有摩尔质量分别为?1和?2两种不同的理想气体，当此混合气体处于平衡状态时，1和2两种气体分子的方均为根速率之比是。 答案： ?2/?1 题号：21133016 分值：2分 难度系数等级：3 如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则氢气分子的最概然速率为。 答案：vpH2?2400 m/s 题号：21134017 分值：2分 难度系数等级：4 在容积为3.0?10m的容器中装有2.0?10?2kg的理想气体，容器内气体的压强为 ?235.06?104Pa，则气体分子的最概然速率为 m/s。 答案：389 m/s或390 m/s 题号：21134018 分值：2分 难度系数等级：4 已知某理想气体分子总数为N，分子质量为m，在温度 T时的速率分布曲线如图所示，其中f(v)?v2函数，则表达式?v1dN为速率分布Ndvf(v)dv的物理意义是。 答案：表示在总分子数N中，速率在v1~v2区间内的平均分子数占总分子数的百分比 题号：21134019 分值：2分 难度系数等级：4 如图所示为同一温度下氢气和氧气的麦克斯韦分子速率分布曲线，则气体的温度为。 答案：T=693 K 题号：21135020 分值：2分 难度系数等级：5 已知某理想气体分子总数为N，分子质量为m，在温度T时的速率分布曲线如图所示，其中f(v)?v2则表达式?v1dN为速率分布函数，Ndv12mvNf(v)dv的物理意义是 2 。 答案：表示速率在v1 ~v2区间内分子的平均平动动能之和 4、计算题 题号：21141001 分值：10分 难度系数等级：1 20个质点的速率如下：2个具有速率v0，3个具有速率2v0，5个具有速率3v0，4个具有速率4v0，3个具有速率5v0，2个具有速率6v0，1个具有速率7v0。试计算：（1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。 解答及评分标准： 根据定义，有 v?（1） 2?v0?3?2v0?5?3v0?4?4v0?3?5v0?2?6v0?1?7v020（3分） ?3.65v0（2） 222222212?v?3?(2v)?5?(3v)?4?(4v)?3?(5v)?2?(6v)?1?(7v)0000000v2?[]220 =3.99v0（5分） （3）因为有5个质点速率是3v0，所以 vp?3v0 （2分） 题号：21141002 分值：10分 难度系数等级：1 在一容积为V的容器内盛有质量分别为 M1和M2的两种不同的单原子分 子气体，此混合气体处于平衡状态时，其中两种组分的气体内能相等，均为E，求两种气体分子的平均速率之比解答及评分标准： 由 v1。 v2v?8RT?? ， 得： v1?v2?2?1（4分） ?2M2M13M23又由内能相同E?（3分） RT?RT，即 ??12?22?1M1故 v1?v2M2（3分） M1 题号：21142022 分值：10分 难度系数等级：2 求速率大小在最概然速率vp与1.01vp之间的气体分子数占总分子数的百分之几。 解答及评分标准： 根据vp?2kT，可以将麦克斯韦速率分布函数公式改写为 m 2?N4??x2e?x?x （5分） N?式中x?v?v，?x? vpvp根据题意v?vp，所以 x?1,?v?0.01vp,?x?0.01 （3分） 代入，有 ?N4??e?1?0.01?0.830（2分） 0N? 题号：21142022 分值：10分 难度系数等级：2 一容器内储有温度为127 ?C的理想气体，其压强为2.07×104 Pa。求该气体的（1）分子数密度；（2）分子平均平动动能；（3）理想气体是H2时的方均根速率；（4）理想气体是CO2时的平均速率。 解答及评分标准： p2.07?10424?3??3.75?10m（1）n?（2分） ?23kT1.38?10?400（2）?k?33kT??1.38?10?23?400?8.28?10?21J（2分） 223p32.07?104?21???8.28?10J 或：?k?242n23.75?10（3）v2?3RT?H28RT??3?8.31?4003?2.23?10m/s（3分） ?32?108?8.31?400?439m/s （3分） ?33.14?44?10（4）v???CO2 题号：21142022 分值：10分 难度系数等级：2 证明：麦克斯韦速率分布函数可写成?(x)?解答及评分标准： ?mv2m322?mv22kT22kT)?v?e?Cve由麦克斯韦速率分布函数f(v)?4?( 2?kT4?x2e?x，其中 x?v。 vp4v2?e ?3v?p令 x?v2v2p（5分） dvv?vp，故有 ，则有 dxvp ?(x)?f(v)?42?x?dv??xe（5分） ???dx?v?xvp 题号：21143006 分值：10分 难度系数等级：3 一氧气瓶的容积为V ，充了氧气后，未使用时的压强为p1，温度为T1；使用后瓶内氧 气质量减少为原来的一半，其压强降为p2。（1）试求使用前后氧气分子热运动平均速率之比v1v2；（2）若使用后氧气分子的平均平动动能为6.21?10速率和此时氧气的温度。 解答及评分标准： （1）设使用前质量为M，则使用后为则p1V??21J，试求氧气分子的方均根 M 2M?RT1,p2V?1MRT2 （2分） 2?所以 T2?2T1p2,p1p1/2p2 （3分） v1v2?T1/T2?（2）由平均平动动能公式：?k?得 氧气分子的方均根速率为： v??213?26mv2?kT ，（氧分子：m?5.31?10kg）（1分） 221/2??2?k/m?1/2?483.63m?s?1（2分） 此时氧气的温度为：T?2?k/3k?300K（2分） 题号：21143007 分值：10分 难度系数等级：3 设N个粒子系统的速率分布函数为：dNv?Kdv（V?v?0，K为常数） dNv?0 （v?V） 求：（1）画出分布函数图；（2）用N和V定出常数K；（3）用V表示出算术平均速率。 解答及评分标准： （1）因为dNv?Kdv，所以 f(v)?dNvK? （V?v?0） NdvNf(v)?0 （v?V） 其分布函数图如右上图所示。（4分） KNdv?1K?，得 ?00NV?KV112v?vf(v)dv?vdv??V?（3）?0?0NV2（2）由 ?f(v)dv??V（3分） 1V（3分） 2 题号：21143008 分值：10分 难度系数等级：3 试利用麦克斯韦速率分布函数，推求气体分子的最概然速率vp。 解答及评分标准： 麦克斯韦速率分布函数为 ?mv2m322?mv22kT22kT)?v?e?Cve f(v)?4?( （3分） 2?kT?mv2df(v)m2kT)v?vp?Ce(2v??2v3?0 （5分） 求极值，有 (dv2kT最概然速率为 vp?2kT（2分） m或者 vp?2RT?（?为分子摩尔质量） 题号：21144009 分值：10分 难度系数等级：4 N个假想的气体分子，其速率分布如图所示 （当 v > 2 v0时，粒子数为零）。 求：（1）C ；（2）速率在v0到2v0之间的分子数； （3）气体分子的平均速率。 解答及评分标准： (1) 由归一化条件：得 C???0f(v)dv?1v0?C?v0?C?1 22 （3分） 3v0222v0f(v)dv?N?C?(2v?v)?Nv?N （3分） 000?v03v0322?2??曲线下所围总面积??N??1?N 33?3?(2) ?N?N或：?N?N??0?v?v0（3） f(v)?2v23v023v0?? v0?v?2v0f(v)?C?N?2v0?所以v???0vdNN?0vf(v)dvN2v00vf(v)dv?223v0?v00v2dv?23v0?2v0v0 vdv211v0?v0?v0（4分） 99 题号：21145010 分值：10分 难度系数等级：5 导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动（故称电子气）。设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为vF（称为费米速率），电子在速率v~v?dv之间的概 dN4?A2dN?vdv（vF?v?0，A为常数）?0（v?vF），。（1）画出分布函数NNN3图；（2）用N、vF定出常数A；（3）证明电子气中电子的平均动能???F，其中 512?F?mvF。 2率为 解答及评分标准： （1）由题设可知，电子的速率分布函数为 f(v)?dN4?A2?v（vF?v?0，A为常数） NdvNdNf(v)??0 （v?vF） Ndv其分布函数图如下图所示（4分） （2）由分布函数的归一化条件得A??vF04?A2vdv?1 N3N （3分） 34?vFvF524?AvF3vF4?A4vdv?? N5N5（3）v?2??0vf(v)dv??2022113vF322??F，其中?F?mvF电子的平均动能 ??mv?m（3分） 22255证毕。 查看全文