【综合文库】
第一章基础数学实验
基础实验一数列极限与函数极限
一、实验目的
从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。
二、实验材料
1.1割圆术
中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率?。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。
“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。
以Sn表示单位圆的圆内接正3?2n?1多边形面积，则其极限为圆周率?。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{Sn}的收敛情况：
m=2;n=15;k=10;
n?1For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正3?2多边形边长)
n?1s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圆内接正3?2多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];
Print[i,\ \ \ \ \]
t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)
ListPlot[t](散点图)
1.2裴波那奇数列和黄金分割
由F0?0;F1?1;Fn?Fn?1?Fn?2有著名的裴波那奇数列{Fn}。
如果令Rn?1?Fn?1，由Fn递推公式可得出 Fnn?1Fn111?1?5???? Rn?，Fn?[??Fn?Fn?11?Fn?1/Fn1?Rn?15?2???1?5??]； ???2???n?1limRn?limn??n??Fn?Fn?15?1。 2用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{Rn}的收敛情况：n=14,k=10;
For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2;
f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项) rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i,\\\\]
t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]
ListPlot[t]
1.3收敛与发散的数列
数列{??pi}当p?1时收敛，p?1时发散；数列{sinn}发散。 i?1n1.4函数极限与数列极限的关系
用Mathematica程序
m=0;r=10^m;x0=0;
f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]
观察f(x)?xsinx?1的图象可以发现，函数在x?0点处不连续，且函数值不存在，但在x?0点处有极限。
令x?an?1/n,n?1,2,?,100，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况
k=10;p=25; a[n_]=1/n;
tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf]
Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]
分别取不同的数列an(要求an?0)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。
对于g(x)?sinx?1，类似地考察在x?0点处的极限。
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1考察数列敛散性
改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。
3.2考察函数极限与数列极限的关系
改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。
基础实验二定积分数值计算
一、实验目的
学习定积分的数值计算方法，理解定积分的定义，掌握牛顿-莱布尼兹公式。
二、实验材料
2.1定积分的数值计算
计算定积分?af(x)dx的近似值，可将积分区间n等分而得矩形公式 ?af(x)dx??in?1f[a?(i?1)或
?af(x)dx??in?1f[a?ibbbb?ab?a ]nnb?ab?a] nnb?af(a)?f(b)b?a)?] n2nb?a1b?ab?an)?4?i?1f(a?(i?))?f(a)?f(b)] n226n也可用梯形公式近似计算 ?af(x)dx?[?in??11f(a?ib如果要准确些，可用辛普森公式 ?af(x)dx?[2?in??11f(a?i1b对于?0sinxdx，矩形公式、梯形公式、辛普森公式的Mathematica程序为
a=0;b=1;k=10;
f[x_]:=Sin[x];
d=N[Integrate[f[x],{x,a,b}],k];（计算精确值）
s1[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k];（取小区间左端点的矩形公式）s2[m_]:=N[Sum[f[a+(i+1/2)*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （取小区间中点的矩形公式）s3[m_]:=N[Sum[f[a+i*(b-a)/m]*(b-a)/m,{i,1,m}],k]; （取小区间右端点的矩形公式）
s4[m_]:=N[Sum[(f[a+i*(b-a)/m]+f[a+(i+1)*(b-a)/m])/2*(b-a)/m,{i,0,m-1}],k]; （梯形公式）s5[m_]:=N[(b-a)/m/6*((f[a]+f[b])+2*Sum[f[a+i*(b-a)/m],{i,1,m-1}]+4*Sum[f[a+(i-1/2)*(b-a)/m],{i,1,m}]),k];（辛普森公式）
r1[m_]:=d-s1[m];r2[m_]:=d-s2[m];r3[m_]:=d-s3[m];r4[m_]:=d-s4[m];r5[m_]:=d-s5[m];（误差）t=Table[{s1[m],r1[m],s2[m],r2[m],s3[m],r3[m],s4[m],r4[m],s5[m],r5[m]}, {m,100,1000,100}]
利用以上程序计算?0dx、?0xdx、?0x2dx，并对几个公式比较。
1112.2可积条件
如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，则f(x)在区间?a,b?上可积。反之不然。
2.3牛顿-莱布尼兹公式
设函数f(x)在?a,b?上连续，而且F(x)是f(x)的一个原函数，则有牛顿-莱布尼兹公式?af(x)dx?F(b)?F(a)。
函数f(x)???1x?0在??1,2?不连续、不存在原函数，但在??1,2?上可积；函数
0x?0?x?0在??1,2?不连续，但在??1,2?上可积、存在原函数x?0b2x?g(x)???1?1?2xsinx?cosx?x2G(x)??2?1?xsinxx?0x?0。
此外函数D(x)???1x?Q处处不连续、不存在原函数，在任意区间(长度大于0)
0x?Q?上不可积。
求原函数并验证牛顿-莱布尼兹公式的Mathematica程序
f[x_]:=Sin[x];
Integrate[f(x),x]（求不定积分） F[x_]:=%（定义原函数）
d=NIntegrate[f(x),{x,a,b}]（求定积分） df=F[b]-F[a] （计算原函数的增量） r=d-df
三、实验准备
认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。
四、实验思路提示
3.1定积分的定义
先对一个函数，例如sinx在区间[0,1]，在程序中改变m（例如m?10、100、
，运行程序计算定积分的近似10000）并适当扩展有效数字（例如k?10、20、50）
值，分析误差。再考虑其它函数。最后对几个公式比较。
3.2牛顿-莱布尼兹公式
先对一个函数，例如sinx在区间[0,1], 运行程序计算。再考虑其它函数，例如指数函数、分段连续函数、D(x)。分析可积条件及牛顿-莱布尼兹公式成立的条件。
基础实验三盈亏转折与投入产出
一、实验目的
理解微观经济学的基本理论与方法，利用线性代数的有关理论和方法解决经济管理中的盈亏转折及投入产出问题。
二、实验材料
2.1盈亏转折分析
已知某企业的产品数量x与成本C的若干数据如下： 产品数量x（百件） 6 10 20 成本数量C（千元） 104 160 370 设每件产品的出厂价?=20（千元／百件），判断企业盈亏转折时的产品数量x的变化范围及企业获取最大利润额时的产品数量。
设成本函数C?C(x)?a0?a1x?a2x2，其中a1,a2,a3为待定系数；产值函数
R?R?x???x，于是利润函数
L?L?x??R?x?-C?x??ωx??a0?a1x?a2x2?
成本函数的导函数称为边际成本，利润函数的导函数称为边际利润。
设x1与x2为方程L?x??0的两个实根x1与x2称为盈亏转折点。当a2?0并且x1?x?x2时，L?x??0，即使企业获得利润的产品数量的范围为?x1,x2?；而x在这个范围之外企业不能获得利润。利润函数L?x?的唯一极大值点x0即L?x?的最大值点，就是使企业获得最大利润的产品数量。 Mathematica程序
data={{6，104}，{10，160}，{20，370}}；（原始数据）
InterpolatingPolynomial[data，x]（求内插多项式，即成本函数） L[x_]：=2 0*x-（0.5*x^2＋ 6*x+50）（利润函数） Roots[L[x]==0，x]（利润函数的零点）
FindMaximum[L[x]]，{x，0}]（求利润函数L?x?的极大值）
MATLAB程序
>>x=[6，10，20]； %产品数量 y=[104，160，370]； %成本数量
c=polyfit（x，y，2） %拟合二次多项式 >>c=[0，20，0]-c；
r＝roots(c)%求盈亏转折点
>>r1=roots（polyder（c））%求微分多项式的根 >>L=polyval（c，rl）%求最大利润
2.2投人产出分析
某地区有三个重要产业，一个煤矿，一个发电厂和一条地方铁路。开采一元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费；生产一元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05元的运输费；创收一元钱的运输费，铁路要支付 0.55元的煤费及0.10元的电费。在某一周内，煤矿接到外地金额为50000元的定货，发电厂接到外地金额为 25000元的定货，外界对地方铁路没有需求，问三个企业在这一周内总产值多少才能满足自身及外界的需求？
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