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近世代数第二章群论答案
§1.群的定义
1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？ 解：不是，因为普通减法不是适合结合律。 例如
3??2?1??3?1?2?3?2??1?1?1?0 3??2?1???3?2??1 2.举一个有两个元的群的例。 解：令G??e,a?,G的乘法由下表给出
首先，容易验证，这个代数运算满足结合律 (1) ?x?y?z?x?y?z????????x,y,z?G
因为，由于ea?ae?a，若是元素e在(1)中出现，那么(1)成立。(参考第一章，§4，习题3。)若是e不在(1)中出现，那么有
?aa?a?ea?aa?aa??ae?a
而(1)仍成立。
其次，G有左单位元，就是e；e有左逆元，就是e，a有左逆元，就是a。所以G是一个群。
读者可以考虑一下，以上运算表是如何作出的。
3.证明，我们也可以用条件Ⅰ，Ⅱ以及下面的条件IV?，V?来做群的
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定义：
IV? G里至少存在一个右逆元a?1，能让
ae=a 对于G的任何元a都成立；
V?对于G的每一个元a，在G里至少存在一个右逆元a?1，能让
aa?1=e
解：这个题的证法完全平行于本节中关于可以用条件I,II,IV,V来做群定义的证明，但读者一定要自己写一下。
§2. 单位元、逆元、消去律
1. 若群G的每一个元都适合方程x2=e，那么G是交换群。解：令a和b是G的任意两个元。由题设
?ab??ab?=?ab?=e 另一方面
?ab??ba?=ab2a=aea=a2=e 于是有?ab??ab?=?ab??ba?。利用消去律，得 ab=ba 所以G是交换群。
2. 在一个有限群里，阶大于2的元的个数一定是偶数。 解：令G是一个有限群。设G有元a而a的阶n>2。
考察a?1。我们有
an?a?1?=ee?a?1?=?a?1?=e
nnn2设正整数m m假设矛盾。这样，n也是a?1的阶，易见a?1?a。 第 2 页 共 20 页 否则a2=aa?1=e 与n>2的假设矛盾。这样，我们就有一对不同的阶大于2的元a和 a?1。 设G还有元b，b?a，b?a?1，并且b的阶大于2。那么b?1的阶也大于2，并且b?1?b。我们也有b?1?a。 否则e=b?1b=aa?1=b?1a?1 消去b?1得b=a?1，与假设矛盾。同样可证b?1=a?1。这样，除a和a?1外，又有一对不同的阶大于2的元b和b?1。 由于G是有限群，而G的阶大于2的元总是成对出现，所以G里这种元的个数一定是偶数。 3.假定G是一个阶是偶数的有限群。在G里阶等于2的元的个数一定是奇数。 解：由习题2知，G里阶大于2的元的个数是偶数。但G只有一个阶是1的元，就是单位元e。于是由于的阶是偶数，得G里阶等于2的元的个数是奇数。 4.一个有限群的每一个元的阶都有限。 解：令G是一个有限群而a是的任一元素，那么 a,a2,a3,... 不能都不相等。因此存在正整数 i，j，i?j，使ai?aj ，用a?j乘两边，得 （1） ai?j?e 这样，存在正整数i?j，使（1）成立，因此也存在最小的正整数m， 第 3 页 共 20 页 使am?e，这就是说，元a的阶是m。 4. 群的同态 假定在两个群G和G的一个同态映射之下， a?a。a与a的阶是不是一定相同？ 解：不一定。例如，令G是本章1中例2所给出的群而G是该节中例1所给出的的群。那么读者容易证明 ?:n?g n是G的任意元 是G到G的一个同态映射。但G的每一元n?0都是无限阶的，而g的阶是1。 5. 变换群 1. 假定?是集合A的一个非一一变换。?会不会有一个左逆元??1使得 ??1???? 解：可能有。例如令A={所有正整数}，则 ?：1?1，n?n?1n?1 显然是A的一个非一一变换。而A的变换 ??1：n?n?1 n?A 就能使??1???. 2. 假定A是所有实数作成的集合。证明，所有A的可以写成x?ax?b a和b是有理数， a?0 形式的变换作成一个变换群。这个群是不是一个变换群？ 解：令G是由一切上述变换作成的集合。考察G的任何两个元素 ?： x?ax?ba和b是有理数， a?0 第 4 页 共 20 页 ?：x?cx?dc和d是有理数， c?0 那么 ????(ax?)b?(ca?x) b???：x?xd?(ca)x?(cb?d) 这里ca和cb?d都是有理数，并且ca?0。 所以??仍属于G。 结合律对一般变换都成立，所以对上述变换也成立。 单位变换 ?：x?x 属于G。 容易验证，?在G中有逆，即 ??1： x?x?(?) 1aba因此G作为一个变换群。 但G不是一个交换群。令 ?1：x?x?1 ?2：x?2x 那么 ?1?2： x?(x?)??(x?1)??2x?2 122?2?1： x?(x?)??(2x)??2x?1 211?1?2??2?1 3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合。我们暂时用符号 ?： a?a"??(a) 第 5 页 共 20 页 查看全文