摘要:几何是中学数学课程中不可或缺的重要内容,我国义务教育新课程标准强调要在数学活动中学习几何,即“做数学”,十分注重探索图形性质的过程。这篇文章以van Hiele思维层次理论为依据,阐述了初中学生学习几何的思维发展过程,提出了一些促进学生入门、提升学生几何思维发展的教学策略和手段,并附上了一节几何课的教学设计样例。
关键词:van Hiele思维层次;几何;五步教学法
在小学里,学生主要依靠直觉思维来解决有关图形的问题,进入中学后,学生开始正式的几何学习,初步接触到几何逻辑证明时,往往感到困难。这其中的原因并不绝对是学生的“懒惰”或者先天智商不高,而是学生的思维发展是一个循序渐进的过程,如果学生陡然遇到超过他们的思维理解能力的教学内容,那么他们会无法跟上。这就需要教师研究中学生的几何思维发展过程,针对学生的具体水平设计适当的教学,引导学生一步步经历和完成各阶段的学习,从而逐渐提高学生的思维水平。
一、Van Hiele几何思维层次
1957年,荷兰数学教育学家Dina van Hiele-Geldof和Pierre van Hiele提出了几何思维层次理论(Van Hiele levels)。他们将学生的几何思维发展分为逐级升高的五个层次:
层次1:视觉期(Visual)。学生仅凭视觉整体印象来辨认基本图形,直接将概念链接到门、篮球等具体模型;
层次2:描述期(Analysis)。学生能依据操作经验认识到图形的性质,但不理解性质之间的关系,不能区别充分和必要条件,也不能将图形分类;
层次3:关系期(Abstract/Informal Deduction)。学生接受并能使用定义,能认识图形之间和性质之间的逻辑关系,能作一些简单的非正式的推理,但不能形式化地区别命题和逆命题;
层次4:推理期(Deduction)。学生不再死记硬背,确信必须经过正式的逻辑推理才能建立定理,能建构证明过程;
层次5:公理期(Rigor)。学生能够理解几何体系及抽象性,能够在不同的公理系统下严谨地建立定理并且分析、比较这些系统。
Van Hiele认为:各层次的发展是循序渐进的,若要成功发展某一特定层次,必须先具备前一层次的概念和思维策略;思维层次的进步更依赖于教学,而非年龄的增长;没有一种教学法能让学生跳过某一层次而直接达到下一层次;某一层次的讨论对象可变成下一层次的研究对象;每一层次都有自己独特的语言符号及关系系统,同样的名词在不同层次所代表的概念可能不同。所以,最重要的是:教学必须配合学生的思维层次。
显然,刚从小学升入初中的学生的思维层次大多是层次1或2,这时数学教师的任务是促进学生“入门”,使学生经历能提升其几何思维层次的教学,做好两个学段几何学习的衔接。
二、促进初中生几何思维发展的教学策略
以讲授和记忆为主的、对学生的学习要求一刀切的教学不能导致有效的学习,经验、操作、讨论和反思才能帮助学生发展思维层次。具体地说:
1.教师应评估学生的几何思维水平,给思维层次不同的学生安排不同的学习任务和学习角色,使学生接受适合自身经验的学习任务,并互相促进。新课程标准明确指出“教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要。教学中要鼓励与提倡解决问题策略的多样化,尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平”。所以对于基础很弱的学生,应该从层次1起步。如果教师盲目地将不契合学生的思维水平的学习内容提供给学生,就会造成学生听不懂,继而死记硬背,最后丧失学习兴趣的后果。
2.教师应给学生提供探索和运用的机会,让学生获得在每一阶段应有的学习经验,发展对概念和性质的理解,从而逐级提高思维层次。在学习几何概念时,应该让学生经历认识图形,再分析图形的特征,再发现图形之间的关系,最后作简单的推理证明这样一个循序渐进的过程。例如在学习矩形时,先由学生作图,说明该图形是矩形的理由,归纳矩形的定义,通过测量发现性质,明确矩形也是平行四边形的一种,再反过来,用几何画板工具提供一个普通的凸四边形和一个平行四边形给学生,让他们拖动鼠标,分别找出四边形和平行四边形成为矩形应具备的条件。
3.教师应该给学生提供适当的机会进行讨论。在几何学习中,语言起十分重要的作用,学生通过说、听和读来明晰和发现自己的观点,从而获得知识,所以应提供动态的教室学习环境和适合学生积极参与、讨论、描述、示范的问题情境,使学生交谈,分享发现,质疑,确认,形成书面表达。每一个层次都有自己的语言风格和解释方式,对于层次1的学生要鼓励他们用非正式语言分类、列举和辨析,对于层次2的学生要通过问题和活动引导他们发现关系,总结定义,对于层次3的学生要鼓励他们口头解决问题并说出推理依据。
三、“五步教学法”促进初中生几何思维层次发展
Van Hieles夫妇推荐在特定的几何概念学习中使用五步教学法来提升学生的思维水平:
1.学前咨询(Information):在教学之前,教师通过观察与发问,了解学生已具备哪些知识,以作为教学准备与参考。在对话中及时引入主题、学习目标,提出问题。重点:双向沟通。
2.引导学习方向(Guided orientation):教师布置简短的任务(问题或作业),使学生探究所要研究的领域,并了解研究的进一步方向。这些任务大都要求学生在教师的引导下,使用排列、组合、积木、折纸、画图等操作方式进行探索。例如:让学生沿对角线折叠菱形,然后问他们有什么发现。在这种有计划的引导过程中,主题所包含的概念、性质和关系逐渐变得明确。重点:任务操作。
3.整合(Integration):使学生总结所学的几何概念、知识点和方法,形成知识网络,并在作业和其他任务中进一步理解和运用,在此过程中,学生也获得了相关解决问题的方法的经验。重点:总结,再运用。
例如:人教版七年级上学期“第四章4.2线段,射线,直线”中的概念教学设计:
A.导入新课(双向沟通)
提出问题:生活中,你见过线段、射线、直线吗?(学前咨询)
(由学生列举,教师板书,但不急于指明是否准确)(留下疑问)
指明学习目标(使学生明确学习目标)
1.理解和区别线段、射线、直线的概念;
2.会用符号表示线段、射线、直线;
3.理解公理“经过两点有且只有一条直线”。
指明学习方法:(使学生作好学习准备)
作图、讨论(希望同学们踊跃发言,提出观点和看法)
B.新课探索(任务操作)
1.请你在纸上用直尺和铅笔分别作出你心目中的线段、射线、直线;强化视觉然后向你的同伴解释一下哪个是线段,哪个是直线,哪个是射线。并且告诉他你根据什么来区分三者?(描述,解释)
2.找一对同伴到黑板作图和解释根据什么区分三者。(分享,表达)
C.学习新课(口头表达、书面表达)
(一)认识线段、射线、直线(解说)
1.线段:图形,表示方法,实例,特点。
2.射线:图形,表示方法,实例,特点。
3.直线:图形,表示方法,实例,特点。
请你想一想:生活中,还有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?
(发散思维)
请回头查一查:课前提出的几个生活中的实例是否符合这些定义?(现实生活中严格意义的直线较难看到)(收敛思维)
用表格归纳三者之间的联系及表达方式。(由学生填)(归纳,用图表强化记忆)
观察表格,说说有哪些值得注意的地方?(由学生说)(学习使用规范的语言)
(写清线的名称;直线与线段的表示方法基本相同;射线的端点必须写在前面)
D.自由探索(运用)
1.作图练习(自由探索,累积经验)
(1)作直线MN,在直线MN上任取一点C;这样的点可以取多少个?
(理解直线上有无数个点)
(2)作线段AB,先延长AB,再延长BA;线段AB与直线AB是什么关系?
(理解线段是直线的一部分)
(3)作线段CD,再反向延长线段CD;线段CD与射线DC是什么关系?(理解线段与射线的关系)
(4)作射线OK,再反向延长射线OK。射线OK与直线OK是什么关系?(理解射线是直线的一部分)
板书:线段,射线都是直线的一部分。(整合“关系”)
2.作图说话(再运用)
(1)作直线MN,在直线MN上任取两点A,B,你在图中找到了几条线段?
(因为线段无方向,所以线段AB就是线段BA)
(2)作直线MN,在直线MN上任取三点A,B,C,你在图中找到了几条线段?
(端点不同,线段不同)
(3)在直线MN上任取四点A,B,C,D,你又在图中找到了几条线段?
(4)顺着这个思路,你能给大家出下一问吗?
(在直线MN上任取n个点,你能找到几条线段?)
E.小结:线段、射线、直线的概念。(整合)
F.作业:课本132页第4题。(再运用)
这个教学设计将一个主题的学习过程分成“操作,观察,表达,辨析,归纳”五个流程,充分调动学生的视觉、语言表达能力,在操作、观察、表达和交流活动中来体会、感受概念之间的关系。
van Hiele思维层次或许仍有争议或者有其不完善的方面,但是其提倡从学生的视觉、语言表达、动手操作、探索概念间的关系、整合等多角度来完成几何教学,使学生逐步形成概念网络,养成“说理有据”的态度和勇于交流讨论的精神,体会到探索几何概念和性质的乐趣,这对刚入门学生几何学习的教学指导意义是不言而喻的,希望这篇论文所提出的建议能给数学教师以参考,使几何教学更加有趣、有效。
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