高中数学：椭圆知识点归纳总结及经典例题

【综合文库】

椭圆

1．椭圆的定义：把平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：

MF2

ccc OxF1F2OcMx F1x2y2y2x2?2?1（a＞b＞0） 2?2?1（a＞b＞0） 2abab焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为mx+ny=1(m>0，n>0)不必考虑焦点位置，求出方程

3.求轨迹方程的方法:定义法、待定系数法、相关点法、直接法

例1如图,已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2.从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP?,求线段PP?中点M的轨迹.y解:(相关点法)设点M(x, y),点P(x, y),

y则x＝x0, y＝ 0 得x0＝x， y0＝2y.

2∵x0＋y0＝4, 得x＋(2y)＝4,

P MOP?x2即?y?1.所以点M的轨迹是一个椭圆. 4x

2222

4.范围.x≤a，y≤b，∴|x|≤a，|y|≤b．椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

5.椭圆的对称性

椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．

6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B1(0,－b)、B2(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令y＝0，得x＝±a，点A1(－a,0)、A2(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A1(－a, 0)、A2(a, 0)、B1(0, －b)、B2(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.a叫做椭圆的

y长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．

B2|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1|＝|B2F2|＝a．

222baA在Rt△OB2F2中，|OF2|＝|B2F2|－|OB2|， A12222

c即c＝a－b． xF1OF2

B11. 若椭圆的连个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为（）

112A. B. C. D. 无法确定 633

x2y22. 椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F1(?c,0)，A(?a,0)、B(0,b)是两个顶点，ab

b如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e?.7x2y23. 求经过点M(1,2)，且与椭圆??1有相同的离心率的椭圆的标准方程.

126y(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b?a2?c2越小，因此椭圆越扁；(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，因此椭圆越接近于圆；

Ox(3)当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为 x2?y2?a2.

x2y22. 已知P为椭圆??1上的点，F1，F2为左右焦点，PF1?PF2，4520(1)求S?PF1F2;(2)求P点坐标.

椭圆典型例题

例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c?2，根据关系a?b?c可求出m的值．

222x2y2??1．因为焦点在y轴上，所以2m?6，解得m?3．解：方程变形为

62m又c?2，所以2m?6?2，m?5适合．故m?5．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．

222x2y2解：当焦点在x轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．

ab由椭圆过点P?3，0?，知

9022a?3b??1b?1a?9，故椭圆的方．又，代入得，22abx2?y2?1．程为9y2x2当焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．

ab由椭圆过点P?3，0?，知

9022a?3b??1a?81b?9，故椭圆．又，联立解得，22aby2x2??1．的方程为

819

例3 ?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

BC中点为原点建立直角坐标系．解：（1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，

由GC?GB?20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，

c?8，有b?6，

x2y2??1?y?0?．故其方程为

10036x?2y?2??1?y??0?．① （2）设A?x，y?，G?x?，y??，则

10036??xx?，?x2y2?3??1?y?0?，由题意有?代入①，得A的轨迹方程为其轨迹是椭圆（除

y900324?y???3?去x轴上两点）．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为F1、F2，且PF1?4525和，334525，PF2?．从椭圆定义知332a?PF1?PF2?25．即a?5．

从PF2F1中，1?PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt?PFsin?PF1F2?PF21?， PF12可求出?PF1F2??6，2c?PF1?cos?6?1025222，从而b?a?c?．

33x23y23x2y2??1或??1． ∴所求椭圆方程为

510105x2y2例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，P是椭

ab圆上一点，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??1absinC求面积． 2解：如图，设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F222?PF1?PF2?2PF1·PF2cos??4c．①

222b2由椭圆定义知： PF． 1?PF2?1?PF2?2a ②，则②－①得 PF1?cos?2故S?F1PF2

1?12b2?PF1?PF2sin??sin??b2tan． 2221?cos?例6 已知动圆P过定点A??3，0?，且在定圆B：?x?3??y2?64的内部与其相内切，求动

2圆圆心P的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，

即定点A??3，0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等于定圆半径，

即PA?PB?PM?PB?BM?8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，

x2y2??1．半长轴为4，半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：

16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

x2?y2?1 例7 已知椭圆2（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则

?11??22?1， 2